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1.若$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，且$b$是$a$，$c$的比例中项，那么$\frac{b}{c}$等于（
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{9}{16}$
A
）A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{9}{16}$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足$a:b = b:c$。结合题目给出的已知条件$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，将其代入比例中项对应的比例式，即可直接求出$\frac{b}{c}$的取值。
【解析】
∵b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义可得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
又
∵已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$
∴$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例中项，比例的基本性质
【点评】
本题考查比例中项的基础应用，核心是牢记比例中项对应的比例关系，解题时注意区分比例的前后项即可快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足$a:b = b:c$。结合题目给出的已知条件$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，将其代入比例中项对应的比例式，即可直接求出$\frac{b}{c}$的取值。
【解析】
∵b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义可得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
又
∵已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$
∴$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例中项，比例的基本性质
【点评】
本题考查比例中项的基础应用，核心是牢记比例中项对应的比例关系，解题时注意区分比例的前后项即可快速得出结果，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
2. 我们在学习书法的初期需要经历临格阶段，黄金格是一种临摹时的习字格。如图所示，正方形ABCD是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点(端点除外)都是这条线段的黄金分割点，即$AF^2 = AB × BF$。若$AB = 10$，则$AF$的长为（
A.$5\sqrt{5} -5$
B.$15\sqrt{5} -5$
C.6
D.8
A
）A.$5\sqrt{5} -5$
B.$15\sqrt{5} -5$
C.6
D.8
答案
2. A
解析
【分析】
题目给出了黄金分割对应的等量关系$AF^2 = AB × BF$，已知$AB=10$，首先根据线段和差关系可知$BF=AB-AF$，把$BF$用含$AF$的代数式表示后代入已知等量关系，就能得到关于$AF$的一元二次方程，求解方程后根据线段长度为正数舍去负根，即可得到$AF$的长度。
【解析】
设$AF$的长为$x$，
$\because AB=10$，点$F$在线段$AB$上，
$\therefore BF=AB-AF=10-x$，
根据题意$AF^2 = AB × BF$，代入得：
$x^2=10(10-x)$，
整理得$x^2+10x-100=0$，
由求根公式解得：
$x=\frac{-10\pm\sqrt{10^2+4×100}}{2}=\frac{-10\pm10\sqrt{5}}{2}=-5\pm5\sqrt{5}$，
$\because$线段长度为正数，
$\therefore x=-5+5\sqrt{5}=5\sqrt{5}-5$，即$AF=5\sqrt{5}-5$。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割、一元二次方程求解、线段和差关系
【点评】
本题结合习字格的实际场景考查黄金分割的相关计算，解题的核心是利用题干给出的等量关系列方程，求解时注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
题目给出了黄金分割对应的等量关系$AF^2 = AB × BF$，已知$AB=10$，首先根据线段和差关系可知$BF=AB-AF$，把$BF$用含$AF$的代数式表示后代入已知等量关系，就能得到关于$AF$的一元二次方程，求解方程后根据线段长度为正数舍去负根，即可得到$AF$的长度。
【解析】
设$AF$的长为$x$，
$\because AB=10$，点$F$在线段$AB$上，
$\therefore BF=AB-AF=10-x$，
根据题意$AF^2 = AB × BF$，代入得：
$x^2=10(10-x)$，
整理得$x^2+10x-100=0$，
由求根公式解得：
$x=\frac{-10\pm\sqrt{10^2+4×100}}{2}=\frac{-10\pm10\sqrt{5}}{2}=-5\pm5\sqrt{5}$，
$\because$线段长度为正数，
$\therefore x=-5+5\sqrt{5}=5\sqrt{5}-5$，即$AF=5\sqrt{5}-5$。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割、一元二次方程求解、线段和差关系
【点评】
本题结合习字格的实际场景考查黄金分割的相关计算，解题的核心是利用题干给出的等量关系列方程，求解时注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
3. 已知线段$a=3,b=27$,则线段$a,b$的比例中项为
9
。答案
3. 9
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确比例中项的定义：若x是线段a、b的比例中项，则满足$x^2=a· b$，同时需注意线段的长度为正数，最终结果只能取正根。解题时先设比例中项为x，代入已知的a、b的值列方程，再求解并筛选符合实际意义的根即可。
【解析】
设线段a，b的比例中项为x。
根据比例中项的性质可得：$x^2 = a × b$
将$a=3$，$b=27$代入得：
$x^2 = 3 × 27 = 81$
∵ 线段的长度为正数，
∴ $x = \sqrt{81} = 9$
【答案】
9
【知识点】
比例中项的定义；算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例中项的相关知识，易错点是容易忽略线段长度为正的隐含条件，错填±9，熟练掌握比例中项的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需明确比例中项的定义：若x是线段a、b的比例中项，则满足$x^2=a· b$，同时需注意线段的长度为正数，最终结果只能取正根。解题时先设比例中项为x，代入已知的a、b的值列方程，再求解并筛选符合实际意义的根即可。
【解析】
设线段a，b的比例中项为x。
根据比例中项的性质可得：$x^2 = a × b$
将$a=3$，$b=27$代入得：
$x^2 = 3 × 27 = 81$
∵ 线段的长度为正数，
∴ $x = \sqrt{81} = 9$
【答案】
9
【知识点】
比例中项的定义；算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例中项的相关知识，易错点是容易忽略线段长度为正的隐含条件，错填±9，熟练掌握比例中项的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.85
4.已知数3,6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是
12
（只需填写一个数）。答案
4. 12
解析
【分析】
首先回忆比例中项的定义：如果三个数a、b、c满足$b^2=ac$，那么b叫做a和c的比例中项。本题要求三个数中一个数是另外两个数的比例中项，我们可以选择让已知数6作为3和待求数的比例中项，代入公式即可快速计算出结果，也可以分其他情况求解，任选一个符合要求的答案即可。
【解析】
设所求的数为$ x $。
若选择6为3和$ x $的比例中项，根据比例中项的性质可得：
$ 6^2 = 3x $
计算得：$ 36 = 3x $
两边同时除以3，解得：$ x = 12 $
验证：$ 3:6 = 6:12 $，符合比例中项的要求。
（注：本题还有其他解，如$ \pm 3\sqrt{2} $、$ \frac{3}{2} $，任选其一即可）
【答案】
12
【知识点】
1. 比例中项的定义
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对比例中项概念的理解，解题时可通过分情况讨论得到多个符合要求的结果，只需填写任意一个正确答案即可，注重对基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.8
首先回忆比例中项的定义：如果三个数a、b、c满足$b^2=ac$，那么b叫做a和c的比例中项。本题要求三个数中一个数是另外两个数的比例中项，我们可以选择让已知数6作为3和待求数的比例中项，代入公式即可快速计算出结果，也可以分其他情况求解，任选一个符合要求的答案即可。
【解析】
设所求的数为$ x $。
若选择6为3和$ x $的比例中项，根据比例中项的性质可得：
$ 6^2 = 3x $
计算得：$ 36 = 3x $
两边同时除以3，解得：$ x = 12 $
验证：$ 3:6 = 6:12 $，符合比例中项的要求。
（注：本题还有其他解，如$ \pm 3\sqrt{2} $、$ \frac{3}{2} $，任选其一即可）
【答案】
12
【知识点】
1. 比例中项的定义
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对比例中项概念的理解，解题时可通过分情况讨论得到多个符合要求的结果，只需填写任意一个正确答案即可，注重对基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.8
5.如图已知点A,B,C在一条直线上，AB=1，且点C为黄金分割点，求AC的长。
答案
5. $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C将线段AB分为AC、BC两段（AC＞BC），满足AC与AB的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则点C是AB的黄金分割点。接下来结合题目给出的图形，可判断AC是较长的线段，因此只需用AB的长度乘以黄金比，即可求出AC的长度。
【解析】
解：由图可知$AC＞BC$，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AB=1$，
∴$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割的概念；比例线段计算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题核心是先结合图形确定较长线段，再代入黄金比计算，只要掌握黄金分割的定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C将线段AB分为AC、BC两段（AC＞BC），满足AC与AB的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则点C是AB的黄金分割点。接下来结合题目给出的图形，可判断AC是较长的线段，因此只需用AB的长度乘以黄金比，即可求出AC的长度。
【解析】
解：由图可知$AC＞BC$，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AB=1$，
∴$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割的概念；比例线段计算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题核心是先结合图形确定较长线段，再代入黄金比计算，只要掌握黄金分割的定义就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程$ax^2 + 2bx + c = 0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
6. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题已知$b$是$a$和$c$的比例中项，我们可以先根据比例中项的定义得到$a、b、c$的数量关系，再代入该方程的判别式中计算$\Delta$的取值，即可判断根的情况。
【解析】
解：$\because b$是$a$和$c$的比例中项，
$\therefore$根据比例中项的性质可得：$b^2=ac$，
$\because$方程$ax^2+2bx+c=0$是一元二次方程，
$\therefore$其根的判别式$\Delta=(2b)^2-4ac=4b^2-4ac$，
将$b^2=ac$代入上式得：$\Delta=4ac-4ac=0$，
$\therefore$该一元二次方程有两个相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例中项的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质和一元二次方程根的判别式的用法，先通过比例中项得到$a、b、c$的关系，再代入判别式计算即可得出结论，属于高频考点题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题已知$b$是$a$和$c$的比例中项，我们可以先根据比例中项的定义得到$a、b、c$的数量关系，再代入该方程的判别式中计算$\Delta$的取值，即可判断根的情况。
【解析】
解：$\because b$是$a$和$c$的比例中项，
$\therefore$根据比例中项的性质可得：$b^2=ac$，
$\because$方程$ax^2+2bx+c=0$是一元二次方程，
$\therefore$其根的判别式$\Delta=(2b)^2-4ac=4b^2-4ac$，
将$b^2=ac$代入上式得：$\Delta=4ac-4ac=0$，
$\therefore$该一元二次方程有两个相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例中项的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质和一元二次方程根的判别式的用法，先通过比例中项得到$a、b、c$的关系，再代入判别式计算即可得出结论，属于高频考点题型。
【难度系数】
0.8
