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10. 已知：$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$，且 $a - b + 2c =22$。
(1)求$a,b,c$的值。
(2)添上一个数$d$，使得$a,b,c,d$四个数能构成比例式，求$d$的值。
(1)求$a,b,c$的值。
(2)添上一个数$d$，使得$a,b,c,d$四个数能构成比例式，求$d$的值。
答案
10. (1)$a=4,b=6,c=12$ (2)2或8或18
解析
【分析】
(1) 对于连比相等的问题，通常采用设参数k的方法，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式a-b+2c=22，即可求出k的值，进而得到a、b、c的具体数值。
(2) 四个数构成比例式时，由于比例式的顺序未明确给出，需结合比例的基本性质（内项之积等于外项之积）分三种情况讨论：d分别与a、b、c作为比例外项的情况，分别列方程求解即可得到d的所有可能值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=k(k≠0)$，则可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=6k$
将其代入$a - b + 2c =22$，得：
$2k - 3k + 2×6k = 22$
合并同类项得：$11k=22$
解得：$k=2$
因此$a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=6×2=12$。
(2) 已知a=4，b=6，c=12，要使这四个数与d构成比例式，根据比例的基本性质，分三种情况讨论：
① 当$ad=bc$时，$4d=6×12$，解得$d=18$；
② 当$bd=ac$时，$6d=4×12$，解得$d=8$；
③ 当$cd=ab$时，$12d=4×6$，解得$d=2$。
综上，d的值为2或8或18。
【答案】
(1)$a=4,b=6,c=12$；(2)2或8或18
【知识点】
比例的基本性质；设参数法解比例；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查比例相关知识的应用，设k法是解决连比类问题的常用技巧，第二问需注意比例式未指定顺序时要全面分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 对于连比相等的问题，通常采用设参数k的方法，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式a-b+2c=22，即可求出k的值，进而得到a、b、c的具体数值。
(2) 四个数构成比例式时，由于比例式的顺序未明确给出，需结合比例的基本性质（内项之积等于外项之积）分三种情况讨论：d分别与a、b、c作为比例外项的情况，分别列方程求解即可得到d的所有可能值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=k(k≠0)$，则可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=6k$
将其代入$a - b + 2c =22$，得：
$2k - 3k + 2×6k = 22$
合并同类项得：$11k=22$
解得：$k=2$
因此$a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=6×2=12$。
(2) 已知a=4，b=6，c=12，要使这四个数与d构成比例式，根据比例的基本性质，分三种情况讨论：
① 当$ad=bc$时，$4d=6×12$，解得$d=18$；
② 当$bd=ac$时，$6d=4×12$，解得$d=8$；
③ 当$cd=ab$时，$12d=4×6$，解得$d=2$。
综上，d的值为2或8或18。
【答案】
(1)$a=4,b=6,c=12$；(2)2或8或18
【知识点】
比例的基本性质；设参数法解比例；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查比例相关知识的应用，设k法是解决连比类问题的常用技巧，第二问需注意比例式未指定顺序时要全面分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
11.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例。若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列表达正确的是（
A.舞蹈社不变，溜冰社减少
B.舞蹈社不变，溜冰社不变
C.舞蹈社增加，溜冰社减少
D.舞蹈社增加，溜冰社不变
D
）A.舞蹈社不变，溜冰社减少
B.舞蹈社不变，溜冰社不变
C.舞蹈社增加，溜冰社减少
D.舞蹈社增加，溜冰社不变
答案
11. D
解析
【分析】
首先明确表格中给出的是各社团人数的比例，而非实际人数，上下学期的总份数不同，不能直接比较比例数值判断人数变化。解题时抓住“上下学期学生总人数不变”这一核心条件，可通过计算各社团人数占总人数的比例，比较占比大小即可判断人数变化；也可设总人数为上下学期总份数的公倍数，计算出各社团实际人数再比较。
【解析】
先计算上下学期各社团人数占总人数的比例：
1. 上学期总份数：$3+4+5=12$
舞蹈社人数占比：$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
溜冰社人数占比：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
2. 下学期总份数：$4+3+2=9$
舞蹈社人数占比：$\frac{4}{9}$
溜冰社人数占比：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
因为上下学期总人数不变，占比越大对应人数越多：
舞蹈社：$\frac{4}{9}＞\frac{1}{4}$，所以人数增加
溜冰社：占比均为$\frac{1}{3}$，所以人数不变
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
比例的应用，按比例分配，分数大小比较
【点评】
本题的易错点是忽略上下学期比例的总份数不同，直接把比例数值当作实际人数比较导致错选。解题关键是抓住总人数不变的前提，通过计算各部分占总体的比例来判断数量变化。
【难度系数】
0.7
首先明确表格中给出的是各社团人数的比例，而非实际人数，上下学期的总份数不同，不能直接比较比例数值判断人数变化。解题时抓住“上下学期学生总人数不变”这一核心条件，可通过计算各社团人数占总人数的比例，比较占比大小即可判断人数变化；也可设总人数为上下学期总份数的公倍数，计算出各社团实际人数再比较。
【解析】
先计算上下学期各社团人数占总人数的比例：
1. 上学期总份数：$3+4+5=12$
舞蹈社人数占比：$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
溜冰社人数占比：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
2. 下学期总份数：$4+3+2=9$
舞蹈社人数占比：$\frac{4}{9}$
溜冰社人数占比：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
因为上下学期总人数不变，占比越大对应人数越多：
舞蹈社：$\frac{4}{9}＞\frac{1}{4}$，所以人数增加
溜冰社：占比均为$\frac{1}{3}$，所以人数不变
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
比例的应用，按比例分配，分数大小比较
【点评】
本题的易错点是忽略上下学期比例的总份数不同，直接把比例数值当作实际人数比较导致错选。解题关键是抓住总人数不变的前提，通过计算各部分占总体的比例来判断数量变化。
【难度系数】
0.7
12.若方程$x^2 + ax + 2b = 0$的两个根是方程$x^2 + cx + d = 0$的两个根的2倍，则判断$a,b,c,d$是否成比例。
答案
12. 设$m$和$n$是方程$x^2+cx+d=0$的两个根,则$2m$和$2n$是方程$x^2+ax+2b=0$的两个根,$\therefore m+n=-c,mn=d,2m+2n=-a,2m· 2n=2b,\therefore c=\frac{a}{2},d=\frac{b}{2},\therefore ad=bc,\therefore a:b=c:d$,$\therefore a,b,c,d$成比例
解析
【分析】
要判断a,b,c,d是否成比例，核心是验证四个数是否满足比例的基本性质（即$ad=bc$）。已知两个一元二次方程的根存在2倍关系，解题时可先设出其中一个方程的两根，结合根的倍数关系得到另一个方程的两根，再分别对两个方程应用韦达定理（根与系数的关系），列出根与系数的等式，消去根的参数后就能得到a,b,c,d的数量关系，最后验证是否符合成比例的条件即可。
【解析】
设$m$和$n$是方程$x^2+cx+d=0$的两个根，则根据题意，方程$x^2+ax+2b=0$的两个根为$2m$和$2n$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
对于方程$x^2+cx+d=0$，可得：$m+n=-c$，$mn=d$；
对于方程$x^2+ax+2b=0$，可得：$2m+2n=-a$，$2m· 2n=2b$。
对上述等式变形推导：
由$2(m+n)=-a$，将$m+n=-c$代入得：$2×(-c)=-a$，整理得$c=\frac{a}{2}$；
由$4mn=2b$，将$mn=d$代入得：$4d=2b$，整理得$d=\frac{b}{2}$。
验证比例基本性质：$ad=a×\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}$，$bc=b×\frac{a}{2}=\frac{ab}{2}$，因此$ad=bc$，由比例的基本性质可得$a:b=c:d$。
【答案】
a,b,c,d成比例，满足$a:b=c:d$
【知识点】
韦达定理，比例的基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程与比例知识的综合基础题，解题关键是通过根的倍数关系建立两个方程系数的关联，要求熟练掌握韦达定理的应用和比例的判定方法。
【难度系数】
0.7
要判断a,b,c,d是否成比例，核心是验证四个数是否满足比例的基本性质（即$ad=bc$）。已知两个一元二次方程的根存在2倍关系，解题时可先设出其中一个方程的两根，结合根的倍数关系得到另一个方程的两根，再分别对两个方程应用韦达定理（根与系数的关系），列出根与系数的等式，消去根的参数后就能得到a,b,c,d的数量关系，最后验证是否符合成比例的条件即可。
【解析】
设$m$和$n$是方程$x^2+cx+d=0$的两个根，则根据题意，方程$x^2+ax+2b=0$的两个根为$2m$和$2n$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
对于方程$x^2+cx+d=0$，可得：$m+n=-c$，$mn=d$；
对于方程$x^2+ax+2b=0$，可得：$2m+2n=-a$，$2m· 2n=2b$。
对上述等式变形推导：
由$2(m+n)=-a$，将$m+n=-c$代入得：$2×(-c)=-a$，整理得$c=\frac{a}{2}$；
由$4mn=2b$，将$mn=d$代入得：$4d=2b$，整理得$d=\frac{b}{2}$。
验证比例基本性质：$ad=a×\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}$，$bc=b×\frac{a}{2}=\frac{ab}{2}$，因此$ad=bc$，由比例的基本性质可得$a:b=c:d$。
【答案】
a,b,c,d成比例，满足$a:b=c:d$
【知识点】
韦达定理，比例的基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程与比例知识的综合基础题，解题关键是通过根的倍数关系建立两个方程系数的关联，要求熟练掌握韦达定理的应用和比例的判定方法。
【难度系数】
0.7
