7. 如图,四边形ABCD为正方形,延长BC至点E,以线段CE为边作正方形CEFG,取BC的中点H,连结DH,下列能说明点G是线段DC的黄金分割点的条件是 ()


A.$HC=CE$
B.$DH=2CE$
C.$DH=HE$
D.$DH=\sqrt{2}CE$

7. C

【分析】
我们可以通过设参数简化计算的思路解题：先设正方形ABCD的边长为2（取2是因为H是BC中点，可直接得到HC=1，简化计算），设正方形CEFG的边长为x，则CG=CE=x。首先回忆黄金分割点的定义：若点G把线段DC分成两段，满足较长段与全长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），则G是DC的黄金分割点。我们先利用勾股定理算出DH的长度，再逐个验证选项，看哪个选项能推导出CG和DC的比符合黄金比即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，
∵H是BC的中点，
∴$HC=\frac{1}{2}BC=1$。
设正方形CEFG的边长为x，则$CG=CE=x$，$HE=HC+CE=1+x$。
在$Rt△ DCH$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{DC^2+HC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
若G是DC的黄金分割点，则$\frac{CG}{DC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$x=\sqrt{5}-1$。
逐一验证选项：
A. 若$HC=CE$，则$x=1≠\sqrt{5}-1$，不符合；
B. 若$DH=2CE$，则$\sqrt{5}=2x$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{2}≠\sqrt{5}-1$，不符合；
C. 若$DH=HE$，则$\sqrt{5}=1+x$，解得$x=\sqrt{5}-1$，符合黄金分割的条件，此时G是DC的黄金分割点；
D. 若$DH=\sqrt{2}CE$，则$\sqrt{5}=\sqrt{2}x$，解得$x=\frac{\sqrt{10}}{2}≠\sqrt{5}-1$，不符合。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合正方形性质、勾股定理和黄金分割的定义出题，通过设参数的方法可以大幅简化计算，解题的关键是牢记黄金分割的比值特征，逐一验证选项即可得出结论。
【难度系数】
0.65

8. 如图,在$Rt△ OAB$中,$∠ OAB=90°$, $OA=2$,$AB=1$,在$OB$上截取$BC=BA$,以原点$O$为圆心,$OC$为半径画弧,交$OA$于点$P$,则$\dfrac{OP}{OA}=$。

8. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

【分析】
解题时先从已知的直角三角形入手，首先利用勾股定理计算出斜边OB的长度；再根据BC=BA的条件，求出线段OC的长度；接着结合圆的性质，同圆的半径相等，得到OP=OC；最后代入OP和OA的长度，计算两者的比值即可。
【解析】
在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
$\because BC=BA=1$，
$\therefore OC=OB-BC=\sqrt{5}-1$。
$\because$ 以原点$O$为圆心，$OC$为半径画弧交$OA$于点$P$，
$\therefore OP=OC=\sqrt{5}-1$。
$\therefore \dfrac{OP}{OA}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理；同圆半径相等；线段的比
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的勾股定理与圆的基本性质结合考查，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，计算量小，只要掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

9. 我们知道黄金比例是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：aⓖb = a + $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$b，比如1ⓖ2 =1 + $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×2=√5。若xⓖ(2ⓖ4)=5，则x的值为。

9. $\sqrt{5}$

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路分为两步：第一步遵循有括号先算括号内的运算顺序，先根据“黄金算法”的规则计算出2ⓖ4的结果；第二步将计算出的结果代入原式，再依据新运算规则列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
首先计算括号内的2ⓖ4，根据新定义aⓖb = a + $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$b，代入a=2、b=4：
$2ⓖ4=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}×4=2+2(\sqrt{5}-1)=2+2\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$
将$2ⓖ4=2\sqrt{5}$代入原式$xⓖ(2ⓖ4)=5$，得$xⓖ2\sqrt{5}=5$，再次套用新运算规则：
$x+\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2\sqrt{5}=5$
化简计算：
$x+\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)=5$
$x+5-\sqrt{5}=5$
移项解得：
$x=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
新定义运算、二次根式计算、解一元一次方程
【点评】
本题将新定义运算和二次根式运算结合考查，核心是准确理解新运算的规则，严格按照运算顺序计算，只要仔细化简计算即可得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.7

10. 宽与长的比是黄金比的矩形叫作黄金矩形。如图，AC是矩形ABCD的对角线（矩形ABCD是黄金矩形），△AB'C与△ABC关于直线AC成轴对称，AB'交CD于点E，求$\frac{DE}{AD}$的值。

10. $\frac{1}{2}$

【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先利用黄金矩形的定义得到宽与长的比值关系，再根据轴对称的性质得到相等的角，结合矩形对边平行的性质推出∠EAC=∠ECA，进而得到AE=CE；随后设出矩形的长、宽及DE的长度，借助勾股定理建立方程表示出DE，最后代入黄金比的关系化简即可求出$\frac{DE}{AD}$的值。
【解析】
设矩形ABCD的长AB=a，宽AD=b，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$b=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2}$①。
∵△AB'C与△ABC关于直线AC轴对称，
∴∠B'AC=∠BAC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠B'AC=∠DCA，
∴AE=CE。
设DE=x，则CE=CD-DE=a-x，即AE=a-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2+DE^2=AE^2$，
代入得：$b^2+x^2=(a-x)^2$，
展开整理得：$b^2=a^2-2ax$，
解得：$x=\frac{a^2-b^2}{2a}$②。
将①代入②，先计算$a^2-b^2=a^2-\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}a^2=\frac{(\sqrt{5}-1)a^2}{2}$，
因此$x=\frac{\frac{(\sqrt{5}-1)a^2}{2}}{2a}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{4}$，
则$\frac{DE}{AD}=\frac{x}{b}=\frac{\frac{(\sqrt{5}-1)a}{4}}{\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
黄金矩形，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题综合了黄金矩形定义、轴对称性质、等腰三角形判定和勾股定理等知识点，解题核心是通过几何性质找到线段的等量关系，合理设参数后结合代数运算化简得到结果，能有效考查学生的几何分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.6