1.$\sin 30°$的值为 （）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

1.A

【分析】
本题考查特殊锐角的正弦值，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；再结合含30°角的直角三角形的边长性质（30°角对应的直角边是斜边的一半），即可推导得出sin30°的值，也可以直接通过记忆常用特殊角的三角函数值快速作答。
【解析】
根据锐角正弦的定义：在含30°锐角的直角三角形中，$\sin30°=\frac{30°角的对边}{斜边}$。
由直角三角形的性质可知，30°角所对的直角边长度为斜边的$\frac{1}{2}$，设30°角对的直角边长为$a$，则斜边长为$2a$，代入公式可得：
$\sin30°=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角正弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握，熟练记忆30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值即可快速得出答案，是考试中常见的基础考点。
【难度系数】
0.9

2.若$∠ A$为锐角，且$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$∠ A$的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

2.B

【分析】
解题时首先明确题干给出的两个条件：一是∠A为锐角（即角度在0°到90°之间），二是$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$。我们的解题思路是回忆30°、45°、60°这几个常用特殊锐角的正弦函数值，将已知的正弦值和记忆中的数值一一对应，即可快速得到∠A的度数。
【解析】
先写出常见特殊锐角的正弦值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
已知∠A是锐角，且$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，对比上述特殊角的正弦值，可得$∠ A=45°$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，重点考查学生对特殊锐角三角函数值的识记能力，熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9

3.下列等式正确的是 （）

A.$\sin 60°=\frac{1}{2}$
B.$\cos 45°+\sin 45°=\sqrt{2}$
C.$\sin 60°=\sin(2×30°)=2\sin 30°$
D.$\tan 60°+\tan 30°=2\sqrt{3}$

3.B

【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路是：首先牢记30°、45°、60°这三个常用特殊角的正弦、余弦、正切值，再逐一计算每个选项等式左右两边的结果，对比是否相等，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确各特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
选项A：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}≠\frac{1}{2}$，该选项错误；
选项B：$\cos45°+\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，该选项正确；
选项C：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，$\frac{\sqrt{3}}{2}≠1$，且三角函数不适用于乘法分配律，不能直接将倍数提出计算，该选项错误；
选项D：$\tan60°+\tan30°=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}≠2\sqrt{3}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的记忆与运算能力，解题时需注意三角函数不是普通乘法，不能随意套用乘法分配律，只要准确记忆特殊角的三角函数值，逐一验证即可得分。
【难度系数】
0.8

4.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，$\tan A=1$，$\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，你认为对$△ ABC$最确切的判断是（）

A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形

4.B

【分析】
解题时首先结合特殊角的锐角三角函数值，分别求出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数，最后根据三个角的度数特征判断三角形的形状即可。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，且$\tan A=1$，
又
∵$\tan45°=1$，
∴$∠ A=45°$，
∵∠B是锐角，且$\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
又
∵$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ B=45°$，
根据三角形内角和定理，$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-45°=90°$，
∴$△ ABC$的三个内角度数为$45°$、$45°$、$90°$，是等腰直角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值、三角形内角和定理、等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握，只要能准确记忆常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速判断三角形形状。
【难度系数】
0.85

5.$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{1}{2}$，则$\tan B$的值是 （）

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

5.D

【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，结合∠A是直角三角形中的锐角，且sinA=1/2，回忆特殊角的三角函数值，确定∠A的度数；第二步，利用直角三角形两锐角互余的性质，计算出∠B的度数；第三步，根据特殊角的正切值，求出tanB的结果，对应选项即可。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$\sin A=\dfrac{1}{2}$，且∠A为锐角
∴$∠ A=30°$
∵直角三角形两锐角互余，即$∠ A+∠ B=90°$
∴$∠ B=90°-30°=60°$
∴$\tan B=\tan60°=\sqrt{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角互余，正切函数计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握常见特殊角的三角函数值，结合直角三角形的角度关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85

6.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2BC$，现给出下列结论：①$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；②$\cos B=\dfrac{1}{2}$；③$\tan A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；④$\tan B=\sqrt{3}$.其中正确的是________.(只需填上正确结论的序号)

6.②③④

【分析】
拿到本题首先明确已知条件：Rt△ABC中∠C=90°，斜边AB=2BC，BC是∠A的对边。第一步可根据直角三角形“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用，推出∠A的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，最后将角度代入各结论的三角函数中计算，对比结果判断结论是否正确即可。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2BC$，
BC为$∠ A$的对边，根据直角三角形的性质可得：$∠ A=30°$，
∴$∠ B=90°-∠ A=60°$，
对各结论逐一判断：
①$\sin A=\sin30°=\dfrac{1}{2}≠\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，故①错误；
②$\cos B=\cos60°=\dfrac{1}{2}$，故②正确；
③$\tan A=\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故③正确；
④$\tan B=\tan60°=\sqrt{3}$，故④正确。
综上，正确的结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
1. 直角三角形的性质 2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过直角三角形边的数量关系确定内角的度数，再结合特殊角的三角函数值判断正误，解题时需注意区分各特殊角的三角函数值，避免混淆对边、邻边导致计算错误。
【难度系数】
0.8

7.求下列各式的值：
(1)$2\cos 60° + \tan 45° - 4\sin 30°$.
(2)$\cos^2 45° + \tan 60° · \cos 30°$.
(3)$\sin^2 45° + \tan 60° \sin 60° + \cos^2 60° + \sin^2 60°$.

7.解:(1)原式$=2×\frac{1}{2}+1-4×\frac{1}{2}$
$=1+1-2$
$=0.$
(2)原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{3}×\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$
$=2.$
(3)原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+1$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1$
$=3.$

【分析】
这三道题均考查特殊锐角的三角函数值的运算，解题思路如下：第一步，先准确记忆30°、45°、60°对应的正弦、余弦、正切值；第二步，将原式中的三角函数替换为对应的数值；第三步，按照实数四则运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算，其中第(3)题可利用同角三角函数的平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，先合并$\cos^260°+\sin^260°=1$，简化计算步骤。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$：
原式$=2×\frac{1}{2}+1-4×\frac{1}{2}$
$=1+1-2$
$=0$
(2) 代入特殊角的三角函数值$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$：
原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$
$=2$
(3) 代入特殊角的三角函数值$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合$\cos^260°+\sin^260°=1$：
原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+1$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1$
$=3$
【答案】
(1)$0$；(2)$2$；(3)$3$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心要求是熟练记忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，计算时严格遵循运算顺序即可，需要注意乘方、乘法运算的准确性，避免因记错三角函数值或计算失误失分。
【难度系数】
0.85