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8.由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°,则$\tan∠ ABC=$（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
8.C
解析
【分析】
遇到菱形网格中求锐角三角函数的问题，我们可以先设小菱形的边长为1简化计算；结合已知∠O=60°，利用菱形四边相等的性质，先求出∠ABC所在三角形的各边长度，再通过构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解即可。
【解析】
设每个小菱形的边长为1。
1. 求AB的长度：过点A作AD⊥OB于点D，在Rt△AOD中，∠O=60°，OA=1，因此：
$OD=OA·\cos60°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$AD=OA·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
已知OB=2，所以$DB=OB-OD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+DB^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$。
2. 求$\tan∠ABC$：由菱形四边相等的性质可得$AC=BC=1$，即△ABC为等腰三角形。
过点C作CF⊥AB于点F，根据等腰三角形三线合一，F为AB中点，因此$BF=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△BCF中，$\cos∠ABC=\frac{BF}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$∠ABC=30°$，因此$\tan∠ABC=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；锐角三角函数
【点评】
本题综合考查菱形性质、勾股定理和锐角三角函数的计算，解题关键是合理设小菱形边长为1，通过构造直角三角形将所求角放到直角三角形中分析，需要熟记特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
遇到菱形网格中求锐角三角函数的问题，我们可以先设小菱形的边长为1简化计算；结合已知∠O=60°，利用菱形四边相等的性质，先求出∠ABC所在三角形的各边长度，再通过构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解即可。
【解析】
设每个小菱形的边长为1。
1. 求AB的长度：过点A作AD⊥OB于点D，在Rt△AOD中，∠O=60°，OA=1，因此：
$OD=OA·\cos60°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$AD=OA·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
已知OB=2，所以$DB=OB-OD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+DB^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$。
2. 求$\tan∠ABC$：由菱形四边相等的性质可得$AC=BC=1$，即△ABC为等腰三角形。
过点C作CF⊥AB于点F，根据等腰三角形三线合一，F为AB中点，因此$BF=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在Rt△BCF中，$\cos∠ABC=\frac{BF}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$∠ABC=30°$，因此$\tan∠ABC=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；锐角三角函数
【点评】
本题综合考查菱形性质、勾股定理和锐角三角函数的计算，解题关键是合理设小菱形边长为1，通过构造直角三角形将所求角放到直角三角形中分析，需要熟记特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
9.下面计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答步骤.
$6\sin 60° - 3\tan 45° + \sqrt{9}$.
$=6× \frac{\sqrt{3}}{3} - 3× \sqrt{3} + 3··· ①$
$=3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3··· ②$
$=3··· ③$
(1)错误步骤:
(2)写出正确解答步骤.
$6\sin 60° - 3\tan 45° + \sqrt{9}$.
$=6× \frac{\sqrt{3}}{3} - 3× \sqrt{3} + 3··· ①$
$=3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3··· ②$
$=3··· ③$
(1)错误步骤:
①
.(填最先出错的步骤序号即可)(2)写出正确解答步骤.
答案
9.解:(1)$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan45°=1$,
$\therefore$第①步出现错误.
(2)原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2}-3×1+3$
$=3\sqrt{3}-3+3=3\sqrt{3}.$
$\therefore$第①步出现错误.
(2)原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2}-3×1+3$
$=3\sqrt{3}-3+3=3\sqrt{3}.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要准确记忆特殊锐角的三角函数值，再对比题目给出的计算步骤找出错误，最后按照实数运算规则正确计算。第一步先回忆$\sin60°$、$\tan45°$的准确值，再核对步骤①的代入是否正确，确定最先出错的步骤；第二步将正确的三角函数值代入原式，先算乘法，再算加减即可得到正确结果。
【解析】
(1) 因为$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，题目步骤①中错误将$\sin60°$代换为$\frac{\sqrt{3}}{3}$、将$\tan45°$代换为$\sqrt{3}$，所以最先出错的步骤是①。
(2) 正确解答如下：
原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×1 + 3$
$=3\sqrt{3} - 3 + 3$
$=3\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×1 + 3 = 3\sqrt{3} - 3 + 3 = \boxed{3\sqrt{3}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题是三角函数运算的基础题型，核心考查特殊角三角函数值的记忆，出错的主要原因是混淆不同特殊角的三角函数值，解题时要先准确代入对应数值，再按运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要准确记忆特殊锐角的三角函数值，再对比题目给出的计算步骤找出错误，最后按照实数运算规则正确计算。第一步先回忆$\sin60°$、$\tan45°$的准确值，再核对步骤①的代入是否正确，确定最先出错的步骤；第二步将正确的三角函数值代入原式，先算乘法，再算加减即可得到正确结果。
【解析】
(1) 因为$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，题目步骤①中错误将$\sin60°$代换为$\frac{\sqrt{3}}{3}$、将$\tan45°$代换为$\sqrt{3}$，所以最先出错的步骤是①。
(2) 正确解答如下：
原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×1 + 3$
$=3\sqrt{3} - 3 + 3$
$=3\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×1 + 3 = 3\sqrt{3} - 3 + 3 = \boxed{3\sqrt{3}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题是三角函数运算的基础题型，核心考查特殊角三角函数值的记忆，出错的主要原因是混淆不同特殊角的三角函数值，解题时要先准确代入对应数值，再按运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=45°,∠ C=75°$,夹边$BC$的长为6.求$△ ABC$的面积. 
答案
10.解:如图,作$CD⊥AB$于点D.
$\because ∠B=45°,CD⊥AB,\therefore ∠BCD=45°,$
$\because BC=6,\therefore CD=3\sqrt{2},$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$∠ACD=75°-45°=30°,$
$\therefore AD=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{6},$
$\therefore S=\frac{1}{2}×(3\sqrt{2}+\sqrt{6})×3\sqrt{2}=9+3\sqrt{3},$
$\therefore △ABC$的面积是$9+3\sqrt{3}.$
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知边BC的长度，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解：首先作AB边上的高CD，把△ABC拆分为Rt△BCD和Rt△ACD。先在Rt△BCD中利用∠B=45°和BC=6，求出高CD和线段BD的长度；再结合∠ACB=75°算出∠ACD=30°，在Rt△ACD中利用30°角的三角函数值求出AD的长度，得到AB的总长后，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，作$CD⊥AB$于点D。
$\because ∠B=45°,CD⊥AB$，
$\therefore ∠BCD=90°-∠B=45°$，
$\because BC=6$，
$\therefore$ 在$Rt△BCD$中，$CD=BC· \sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，$BD=CD=3\sqrt{2}$。
又$\because ∠ACB=75°$，
$\therefore ∠ACD=∠ACB - ∠BCD=75°-45°=30°$，
在$Rt△ACD$中，$\tan∠ACD=\frac{AD}{CD}$，
$\therefore AD=CD· \tan30°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{6}$，
$\therefore AB=BD+AD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×(3\sqrt{2}+\sqrt{6})×3\sqrt{2}=9+3\sqrt{3}$。
【答案】
$△ ABC$的面积是$9+3\sqrt{3}$.
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题通过作高实现斜三角形向直角三角形的转化，将未知边长的求解转化为特殊直角三角形的边长计算，解题的核心是合理构造辅助线，准确运用特殊角的三角函数值计算对应边长。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，已知边BC的长度，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解：首先作AB边上的高CD，把△ABC拆分为Rt△BCD和Rt△ACD。先在Rt△BCD中利用∠B=45°和BC=6，求出高CD和线段BD的长度；再结合∠ACB=75°算出∠ACD=30°，在Rt△ACD中利用30°角的三角函数值求出AD的长度，得到AB的总长后，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：如图，作$CD⊥AB$于点D。
$\because ∠B=45°,CD⊥AB$，
$\therefore ∠BCD=90°-∠B=45°$，
$\because BC=6$，
$\therefore$ 在$Rt△BCD$中，$CD=BC· \sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，$BD=CD=3\sqrt{2}$。
又$\because ∠ACB=75°$，
$\therefore ∠ACD=∠ACB - ∠BCD=75°-45°=30°$，
在$Rt△ACD$中，$\tan∠ACD=\frac{AD}{CD}$，
$\therefore AD=CD· \tan30°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{6}$，
$\therefore AB=BD+AD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×(3\sqrt{2}+\sqrt{6})×3\sqrt{2}=9+3\sqrt{3}$。
【答案】
$△ ABC$的面积是$9+3\sqrt{3}$.
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题通过作高实现斜三角形向直角三角形的转化，将未知边长的求解转化为特殊直角三角形的边长计算，解题的核心是合理构造辅助线，准确运用特殊角的三角函数值计算对应边长。
【难度系数】
0.7
