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【例3】如图，有一块形状为$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜板余料.已知$∠ A=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$.要把它加工成一个形状为$□ DEFG$的工件，使$GF$在$BC$上，$D,E$两点分别在$AB,AC$上，且$DE=5\ \mathrm{cm}$，求工件$□ DEFG$的面积.
答案
解:过点$A$作$AM ⊥ BC$,交$DE$于点$N$,可求得$AM=4.8(\mathrm{cm})$,
$\because$四边形$DEFG$是平行四边形,
$\therefore DE // BC, DE = FG = 5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC, \therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AN}{AM} = \frac{1}{2}$,
$\therefore AN = MN = 2.4\ \mathrm{cm}, \therefore □ DEFG$的面积为$5 × 2.4 = 12(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要计算平行四边形DEFG的面积，已知底DE=5cm，只需求出平行四边形对应的高（即DE与BC之间的距离）即可。首先利用勾股定理求出Rt△ABC斜边BC的长度，再通过面积法求出BC边上的高AM；因为DE//BC，可判定△ADE与△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比求出点A到DE的距离AN，AN与AM的差值就是平行四边形的高，最后用底乘高即可得到平行四边形的面积。
【解析】
解：过点$A$作$AM ⊥ BC$于点$M$，交$DE$于点$N$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AM$，代入数值计算：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AM$，解得$AM=4.8\ \mathrm{cm}$。
$\because$四边形$DEFG$是平行四边形，
$\therefore DE // BC$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
$\because$相似三角形对应高的比等于相似比，
$\therefore \frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$，解得$AN=\frac{1}{2}×4.8=2.4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$平行四边形$DEFG$的高$MN=AM-AN=4.8-2.4=2.4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{□DEFG}=DE× MN=5×2.4=12(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于常见的几何综合题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形的性质和平行四边形面积公式求解，掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要计算平行四边形DEFG的面积，已知底DE=5cm，只需求出平行四边形对应的高（即DE与BC之间的距离）即可。首先利用勾股定理求出Rt△ABC斜边BC的长度，再通过面积法求出BC边上的高AM；因为DE//BC，可判定△ADE与△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比求出点A到DE的距离AN，AN与AM的差值就是平行四边形的高，最后用底乘高即可得到平行四边形的面积。
【解析】
解：过点$A$作$AM ⊥ BC$于点$M$，交$DE$于点$N$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AM$，代入数值计算：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AM$，解得$AM=4.8\ \mathrm{cm}$。
$\because$四边形$DEFG$是平行四边形，
$\therefore DE // BC$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
$\because$相似三角形对应高的比等于相似比，
$\therefore \frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$，解得$AN=\frac{1}{2}×4.8=2.4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$平行四边形$DEFG$的高$MN=AM-AN=4.8-2.4=2.4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{□DEFG}=DE× MN=5×2.4=12(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于常见的几何综合题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形的性质和平行四边形面积公式求解，掌握相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
练习3如图，折叠边长为4的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处。分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是边BC的中点，则FG=
$\frac{5}{3}$
。答案
3.$\frac{5}{3}$ 【解析】连结$DF$,可证得$\mathrm{Rt}△ DAF ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$(HL),则$AF=EF$,设$AF=x\ \mathrm{cm}$,则$EF=x\ \mathrm{cm}$,在$△ FBM$中,利用勾股定理求得$x=\frac{4}{3}$,再由$△ FGE ∽ △ FMB$,即可求得答案.
解析
【分析】
本题是正方形折叠的几何综合题，解题思路如下：第一步，先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，明确已知线段长度和直角；第二步，要求FG的长度，需先求出AF的长度，连接辅助线DF后，可通过HL证明Rt△DAF和Rt△DEF全等，得到AF=EF，设AF为x，可表示出FB、FM的长度，在Rt△FBM中利用勾股定理列方程求解x；第三步，找到含FG的相似三角形，由公共角和直角可证△FGE∽△FMB，利用相似三角形对应边成比例即可求出FG的长度。
【解析】
已知正方形ABCD边长为4，M是BC中点，因此$BM=MC=2$。
由折叠的性质可得$△ DCM≌△ DEM$，因此$DE=DC=4$，$EM=CM=2$，$∠ DEM=∠ C=90°$，故$∠ DEF=∠ A=90°$。
连接$DF$，在$\mathrm{Rt}△ DAF$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}AD=DE=4 \\DF=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ DAF≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，因此$AF=EF$。
设$AF=EF=x$，则$FB=AB-AF=4-x$，$FM=EF+EM=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△ FBM$中，由勾股定理得：
$FB^2 + BM^2 = FM^2$
代入得：$(4-x)^2 + 2^2 = (x+2)^2$
展开化简：$16-8x+x^2 +4 = x^2 +4x +4$
移项合并得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$。
因此$EF=\frac{4}{3}$，$FB=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，$FM=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$。
在$△ FGE$和$△ FMB$中：
$∠ F$是公共角，$∠ FEG=∠ B=90°$，因此$△ FGE∽△ FMB$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{FG}{FM}=\frac{FE}{FB}$
代入数值：$\frac{FG}{\frac{10}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{1}{2}$
解得$FG=\frac{10}{3} × \frac{1}{2}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类的常见题型，解题的关键是结合折叠性质构造全等三角形，通过设未知数利用勾股定理求解线段长度，再借助相似三角形的性质得到所求线段的长度，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是正方形折叠的几何综合题，解题思路如下：第一步，先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，明确已知线段长度和直角；第二步，要求FG的长度，需先求出AF的长度，连接辅助线DF后，可通过HL证明Rt△DAF和Rt△DEF全等，得到AF=EF，设AF为x，可表示出FB、FM的长度，在Rt△FBM中利用勾股定理列方程求解x；第三步，找到含FG的相似三角形，由公共角和直角可证△FGE∽△FMB，利用相似三角形对应边成比例即可求出FG的长度。
【解析】
已知正方形ABCD边长为4，M是BC中点，因此$BM=MC=2$。
由折叠的性质可得$△ DCM≌△ DEM$，因此$DE=DC=4$，$EM=CM=2$，$∠ DEM=∠ C=90°$，故$∠ DEF=∠ A=90°$。
连接$DF$，在$\mathrm{Rt}△ DAF$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}AD=DE=4 \\DF=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ DAF≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，因此$AF=EF$。
设$AF=EF=x$，则$FB=AB-AF=4-x$，$FM=EF+EM=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△ FBM$中，由勾股定理得：
$FB^2 + BM^2 = FM^2$
代入得：$(4-x)^2 + 2^2 = (x+2)^2$
展开化简：$16-8x+x^2 +4 = x^2 +4x +4$
移项合并得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$。
因此$EF=\frac{4}{3}$，$FB=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，$FM=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$。
在$△ FGE$和$△ FMB$中：
$∠ F$是公共角，$∠ FEG=∠ B=90°$，因此$△ FGE∽△ FMB$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{FG}{FM}=\frac{FE}{FB}$
代入数值：$\frac{FG}{\frac{10}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{1}{2}$
解得$FG=\frac{10}{3} × \frac{1}{2}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类的常见题型，解题的关键是结合折叠性质构造全等三角形，通过设未知数利用勾股定理求解线段长度，再借助相似三角形的性质得到所求线段的长度，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
【例4】根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月28日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288 cm，高192 cm，则下图矩形尺寸不符合标准的是 （
B
）答案
4.B
解析
【分析】要判断哪个矩形不符合国旗标准，首先明确相似矩形的性质：相似矩形的对应边成比例。解题时先计算出一号标准国旗长与高的比值，再分别计算四个选项矩形的长与高的比值，和标准比值不同的即为不符合标准的选项。
【解析】首先计算一号标准国旗长与高的比值：
$\frac{\mathrm{长}}{\mathrm{高}}=\frac{288}{192}=\frac{3}{2}$，即标准国旗长宽比为$3:2$。
逐一计算各选项长宽比：
A选项：$\frac{240}{160}=\frac{3}{2}$，与标准比值一致，符合要求；
B选项：$\frac{160}{120}=\frac{4}{3}≠\frac{3}{2}$，与标准比值不一致，不符合要求；
C选项：$\frac{144}{96}=\frac{3}{2}$，与标准比值一致，符合要求；
D选项：$\frac{96}{64}=\frac{3}{2}$，与标准比值一致，符合要求。
综上，不符合标准的是B选项。
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质、比的化简
【点评】本题是相似性质在实际生活中的应用，解题核心是抓住相似图形对应边成比例的特点，通过计算比值对比即可得出结论，体现了数学知识和生活实际的关联性。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算一号标准国旗长与高的比值：
$\frac{\mathrm{长}}{\mathrm{高}}=\frac{288}{192}=\frac{3}{2}$，即标准国旗长宽比为$3:2$。
逐一计算各选项长宽比：
A选项：$\frac{240}{160}=\frac{3}{2}$，与标准比值一致，符合要求；
B选项：$\frac{160}{120}=\frac{4}{3}≠\frac{3}{2}$，与标准比值不一致，不符合要求；
C选项：$\frac{144}{96}=\frac{3}{2}$，与标准比值一致，符合要求；
D选项：$\frac{96}{64}=\frac{3}{2}$，与标准比值一致，符合要求。
综上，不符合标准的是B选项。
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质、比的化简
【点评】本题是相似性质在实际生活中的应用，解题核心是抓住相似图形对应边成比例的特点，通过计算比值对比即可得出结论，体现了数学知识和生活实际的关联性。
【难度系数】0.8
练习4如图,菱形ABCD与菱形AEFG相似.菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的边BC上运动,GF与AB相交于点H,∠E=60°.若CG=3,AH=7,则菱形ABCD的边长为
9
.答案
4.9 【解析】连结$AC$,首先证明$△ ABC$是等边三角形,再证明$△ BGH ∽ △ CAG$,推出$\frac{BG}{AC}=\frac{BH}{CG}$,由此构建方程即可解决问题.
解析
【分析】
首先结合菱形相似的性质和已知∠E=60°，可得两个菱形内角对应相等，菱形ABCD中∠B=60°，进而推出△ABC是等边三角形，AC等于菱形边长；再通过角的等量代换证明△BGH与△CAG相似，设菱形边长为x，用x表示出BG、BH的长度，利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设菱形ABCD的边长为$x$，则$AB=BC=x$。
∵ 菱形ABCD与菱形AEFG相似，$∠ E=60°$，
∴ $∠ B=∠ E=60°$，$∠ AGF=∠ E=60°$，
又
∵ 菱形ABCD中$AB=BC$，$∠ B=60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC=x$，$∠ ACB=∠ B=60°$。
∵ $CG=3$，
∴ $BG=BC-CG=x-3$，
∵ $AH=7$，
∴ $BH=AB-AH=x-7$。
∵ $∠ AGB$是$△ AGC$的外角，
∴ $∠ AGB=∠ C+∠ CAG=60°+∠ CAG$，
又
∵ $∠ AGB=∠ AGF+∠ BGH=60°+∠ BGH$，
∴ $∠ CAG=∠ BGH$，
又
∵ $∠ C=∠ B=60°$，
∴ $△ BGH ∽ △ CAG$，
∴ $\frac{BG}{AC}=\frac{BH}{CG}$，
代入得$\frac{x-3}{x}=\frac{x-7}{3}$，
交叉相乘得：$3(x-3)=x(x-7)$，
整理得：$x^2-10x+9=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=1$，
当$x=1$时，$BH=1-7=-6$，不符合实际，舍去，
∴ 菱形ABCD的边长为9。
【答案】
9
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的关键是结合菱形性质推导等边三角形，再通过角的关系证明三角形相似，进而构建方程求解，解题时要注意根据实际意义对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.6
首先结合菱形相似的性质和已知∠E=60°，可得两个菱形内角对应相等，菱形ABCD中∠B=60°，进而推出△ABC是等边三角形，AC等于菱形边长；再通过角的等量代换证明△BGH与△CAG相似，设菱形边长为x，用x表示出BG、BH的长度，利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设菱形ABCD的边长为$x$，则$AB=BC=x$。
∵ 菱形ABCD与菱形AEFG相似，$∠ E=60°$，
∴ $∠ B=∠ E=60°$，$∠ AGF=∠ E=60°$，
又
∵ 菱形ABCD中$AB=BC$，$∠ B=60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=BC=x$，$∠ ACB=∠ B=60°$。
∵ $CG=3$，
∴ $BG=BC-CG=x-3$，
∵ $AH=7$，
∴ $BH=AB-AH=x-7$。
∵ $∠ AGB$是$△ AGC$的外角，
∴ $∠ AGB=∠ C+∠ CAG=60°+∠ CAG$，
又
∵ $∠ AGB=∠ AGF+∠ BGH=60°+∠ BGH$，
∴ $∠ CAG=∠ BGH$，
又
∵ $∠ C=∠ B=60°$，
∴ $△ BGH ∽ △ CAG$，
∴ $\frac{BG}{AC}=\frac{BH}{CG}$，
代入得$\frac{x-3}{x}=\frac{x-7}{3}$，
交叉相乘得：$3(x-3)=x(x-7)$，
整理得：$x^2-10x+9=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=1$，
当$x=1$时，$BH=1-7=-6$，不符合实际，舍去，
∴ 菱形ABCD的边长为9。
【答案】
9
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的关键是结合菱形性质推导等边三角形，再通过角的关系证明三角形相似，进而构建方程求解，解题时要注意根据实际意义对方程的解进行取舍。
【难度系数】
0.6
