10.根据等式的性质，若等式$ m = n $可以变形得到$ m + a = n - b $，则$ a $，$ b $应满足的条件是()

A.$ a $，$ b $互为相反数
B.$ a $，$ b $互为倒数
C.$ a = b $
D.$ a = 2b $

A

【分析】
解题时首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。对比原等式$ m=n $和变形后的等式$ m+a=n-b $，可知等式左边加了$ a $，右边减了$ b $（等价于加了$ -b $）。根据等式性质1，要让变形后的等式成立，两边加的数必须相等，由此可推出$ a $和$ b $的关系，再结合相反数的定义即可得出答案。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立。
已知$ m = n $，变形后得到$ m + a = n - b $，即等式左边加$ a $，右边加$ -b $。
要使等式仍然成立，需满足两边加的数相等，因此：
$ a = -b $
移项得$ a + b = 0 $
根据相反数的定义：和为0的两个数互为相反数，可知$ a $、$ b $互为相反数。
综上本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；相反数的定义
【点评】
本题主要考查对等式性质1的理解与运用，核心是明确等式两边需进行相同的加减运算才能保持等式成立，同时结合相反数的判定条件即可解题，属于基础概念的综合应用题。
【难度系数】
0.8

11.已知等式 $4x - 1 = 8y - 2$，根据等式的性质进行变形，不能得到的是()

A.$4x - 8y = -2 + 1$
B.$4x = 8y - 2 + 1$
C.$x = \frac{8y - 3}{4}$
D.$x = 2y - \frac{1}{4}$

C

【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题时先明确等式的两条基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。我们可以将原等式按照各个选项的变形方向逐一用等式性质验证，就能找到错误的变形。
【解析】
原等式为$4x - 1 = 8y - 2$，逐个分析选项：
1. 验证选项B：根据等式性质1，等式两边同时加1，左边变为$4x-1+1=4x$，右边变为$8y-2+1$，可得$4x=8y-2+1$，因此B选项变形正确，不符合题意。
2. 验证选项A：根据等式性质1，等式两边同时减$8y$加1，左边变为$4x-1-8y+1=4x-8y$，右边变为$8y-2-8y+1=-2+1$，可得$4x-8y=-2+1$，因此A选项变形正确，不符合题意。
3. 验证选项D：先由等式性质1，两边加1得$4x=8y-1$，再根据等式性质2，两边同时除以4，得$x=\frac{8y-1}{4}=2y-\frac{1}{4}$，因此D选项变形正确，不符合题意。
4. 验证选项C：由上面的计算可知，$x=\frac{8y-1}{4}$，与C选项的$x=\frac{8y-3}{4}$不相等，因此C选项变形错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题时要注意移项要变号，系数化为1时每一项都要除以系数，避免出现漏算常数项的错误。
【难度系数】
0.8

12. 整体思想 已知式子$a^2 - 2b + 7$的值是13，那么式子$2a^2 - 4b$的值是()

A.6
B.12
C.24
D.36

B

【分析】
首先观察已知式子和所求式子的关联，已知给出$a^2 - 2b +7=13$，我们可以先利用等式的性质求出$a^2 - 2b$的值，再发现所求式子$2a^2 -4b$恰好是$a^2 -2b$的2倍，用整体代入的方法就能直接算出结果，不需要单独求出a、b的具体数值。
【解析】
解：根据题意可得：
$a^2 - 2b + 7 = 13$
根据等式的性质，等式两边同时减去7，得：
$a^2 - 2b = 13 -7 =6$
对所求式子变形可得：
$2a^2 -4b = 2(a^2 -2b)$
将$a^2 -2b=6$代入上式，得：
$2×6=12$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整体代入思想，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，避免复杂的字母求解过程，通过对已知条件和所求式子的变形关联即可快速得出答案，解题关键是找到两个式子之间的倍数关系。
【难度系数】
0.8

13. 跨学科·物理 在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度$v$、时间$t$、路程$s$之间有以下关系：$v=\frac{s}{t}$。将该式变形得$vt=s$，那么其变形的依据是()


A.等式的性质1
B.等式的性质2
C.等式的基本事实
D.以上都不对

B

【分析】
解题时首先要回忆等式的两个基本性质的区别：等式性质1是对等式两边做加减操作，等式性质2是对等式两边做乘除操作（除数不为0）。接下来看题目中的变形：原式为$v=\frac{s}{t}$，要得到$vt=s$，是对等式两边同时乘以$t$，属于乘同一个不为0的数的操作，对应就能判断变形依据是等式的性质2。需要注意这里的$t$是运动时间，取值不为0，满足等式性质2的使用条件。
【解析】
首先明确等式的两个基本性质：
1. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对原式$v=\frac{s}{t}$变形：
因为运动时间$t≠0$，在等式两边同时乘$t$，可得$v× t=\frac{s}{t}× t$，化简后即$vt=s$。
该变形是给等式两边同时乘同一个不为0的数，因此依据是等式的性质2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；等式变形；跨学科应用
【点评】
本题结合物理匀速运动的速度公式考查等式性质的应用，需要先厘清变形过程的操作类型，再对应匹配等式的性质，解题时注意乘除操作时要保证除数不为0，本题中t为运动时间，天然满足不为0的条件，变形合法。题目同时体现了数学工具在其他学科中的应用，需要具备结合不同学科知识解题的意识。
【难度系数】
0.9

14.下列变形错误的是 ()

A.若$a = b$，则$ac^2 = bc^2$
B.若$ac^2 = bc^2$，则$a = b$
C.若$a = b$，则$1 - 3a = 1 - 3b$
D.若$\frac{a}{c^2} = \frac{b}{c^2}$，则$a = b$
【补充设问】如果$a = b$，那么$\frac{a}{c - 1} = \frac{b}{c - 1}$成立时$c$应满足的条件是。

B
【补充设问】$c≠1$

【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题时需逐个选项结合等式的性质判断变形是否正确，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，这是解题的关键。首先回忆等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。接下来逐一验证各选项，再根据分母不为0求解补充设问即可。
【解析】
结合等式的性质逐个分析选项：
选项A：若$a = b$，等式两边同时乘$c^2$，根据等式性质，无论$c$取何值，变形$ac^2 = bc^2$都成立，故A变形正确。
选项B：若$ac^2 = bc^2$，当$c=0$时，$c^2=0$，此时无论$a$、$b$是否相等，等式两边都为0，不能直接两边除以$c^2$得到$a = b$，故B变形错误。
选项C：若$a = b$，等式两边先同时乘$-3$得$-3a=-3b$，再同时加1得$1 - 3a = 1 - 3b$，符合等式的性质，故C变形正确。
选项D：若$\frac{a}{c^2} = \frac{b}{c^2}$，该等式成立的前提是$c^2≠0$，等式两边同时乘$c^2$即可得到$a = b$，故D变形正确。
综上变形错误的是B。
补充设问：要使$\frac{a}{c - 1} = \frac{b}{c - 1}$成立，需保证分母不为0，即$c-1≠0$，解得$c≠1$。
【答案】
B
【补充设问】$c≠1$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 除数不能为0
【点评】
本题是等式性质应用的基础题，易错点是忽略了等式两边同时除以的整式不能为0的前提，遇到含字母系数的等式变形时，一定要注意考虑除数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.7

15. 推理能力 已知○、△、分别代表不同的物体，用天平比较它们的质量，如图所示. 根据砝码显示的质量，可得○=g，=g.

$12.5$;$18.75$

【分析】
解题时先依据天平平衡时左右两侧质量相等的原理，提取题目中的等量关系：①2个正方形的质量等于3个圆形的质量；②1个圆形和1个正方形的总质量为31.25g。接下来利用等式的性质对等量关系变形，通过代入消元的方法就可以依次求出圆形和正方形的质量。
【解析】
根据天平平衡的性质，我们可以得到以下两个等量关系：
1. $2□ = 3◯$
2. $◯ + □ = 31.25\ \mathrm{g}$
对第二个等式进行变形，根据等式的性质1，两边同时减去$◯$，可得：
$□ = 31.25 - ◯$
将$□ = 31.25 - ◯$代入第一个等式$2□ = 3◯$中，得：
$2×(31.25 - ◯) = 3◯$
展开括号得：
$62.5 - 2◯ = 3◯$
根据等式的性质1，两边同时加上$2◯$，得：
$62.5 = 5◯$
再根据等式的性质2，两边同时除以5，得：
$◯ = 12.5\ \mathrm{g}$
将$◯ = 12.5\ \mathrm{g}$代入$□ = 31.25 - ◯$，得：
$□ = 31.25 - 12.5 = 18.75\ \mathrm{g}$
【答案】
$12.5$；$18.75$
【知识点】
等式的性质；等量代换
【点评】
本题结合天平场景考查推理能力和等式性质的应用，解题核心是准确从天平中提取等量关系，再通过等式变形计算未知量，贴合生活实际，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

16. 能力训练点·创新思维 小明学习了等式的性质后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程：$4x - 2 = 3x - 2$，方程的两边都加上2，得$4x = 3x$，然后方程的两边都除以$x$，得$4 = 3$.”
(1)小明的说法对吗？为什么？
(2)请用等式的性质求出方程$4x - 2 = 3x - 2$的解.

解: (1)不对,理由:对于方程$4x=3x$,因为$x$可能等于0,所以两边不能都除以$x$.
(2)方程的两边都加上2,得$4x=3x$,方程的两边都减去$3x$,得$x=0$.

【分析】
(1) 判断小明说法是否正确需结合等式的性质分析：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。小明直接给方程两边除以x，没有考虑x可能为0的情况，这是错误的核心原因。
(2) 求方程的解时，正确使用等式的性质变形：先利用等式性质1两边加2消去常数项，再利用等式性质1两边减3x即可求出解，注意不能直接除以未确定取值的x。
【解析】
(1) 小明的说法不对。根据等式的性质，等式两边同时除以的数必须不为0，此时等式才成立。推导到4x=3x时，x的取值可能为0，此时除以x不符合等式性质的要求，因此推导错误。
(2) 求解方程$4x - 2 = 3x - 2$：
① 根据等式的性质1，方程两边同时加2，得$4x - 2 + 2 = 3x - 2 + 2$，化简为$4x = 3x$；
② 根据等式的性质1，方程两边同时减3x，得$4x - 3x = 3x - 3x$，化简得$x = 0$。
【答案】
(1)不对,理由:对于方程$4x=3x$,因为$x$可能等于0,所以两边不能都除以$x$.
(2)方程的两边都加上2,得$4x=3x$,方程的两边都减去$3x$,得$x=0$.
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查等式性质的实际应用，易错点是容易忽略等式两边同除以一个数时，该数不能为0的限制条件，解题时要注意推导的严谨性，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.7

17.若等式$(a-2)x^2 + ax +1=0$是关于$x$的一元一次方程，利用等式的性质，求这个方程的解.

解: 因为$(a-2)x^2 + ax +1=0$是关于$x$的一元一次方程,
所以$a-2=0$,所以$a=2$.
所以原方程是$2x+1=0$,故$x=-\frac{1}{2}$.

【分析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。本题给出的方程含有$x^2$项，要满足一元一次方程的要求，必须让$x^2$项的系数为0，由此可先求出参数$a$的值；再将$a$的值代入原方程，得到标准的一元一次方程，最后利用等式的性质逐步求解$x$的值即可。
【解析】
因为$(a-2)x^2 + ax +1=0$是关于$x$的一元一次方程，所以二次项系数必须为0，即：
$a-2=0$，解得$a=2$。
将$a=2$代入原方程，可得：$2x + 1 = 0$。
根据等式的性质1，等式两边同时减去1，得：
$2x + 1 - 1 = 0 - 1$，即$2x = -1$。
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$2x÷2 = -1÷2$，即$x = -\frac{1}{2}$。
【答案】
$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程的定义、等式的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查一元一次方程的判定和等式性质的应用，解题关键是先根据一元一次方程的定义确定参数$a$的取值，再代入求解方程，需要注意避免遗漏二次项系数为0的条件。
【难度系数】
0.8