1.等式的基本事实：
(1)交换性:如果$a=b$,那么.
(2)传递性:如果$a=b,b=c$,那么$=c$.
2.等式的性质：
(1)等式的性质1:等式两边加(或减)数(或式子),结果仍相等.如果$a=b$,那么$a\pm c=$.
(2)等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个的数,结果仍相等.如果$a=b$,那么$ac=bc$.如果$a=b,c≠0$,那么.

1.(1)$b=a$ (2)$a$
2.(1)同一个;$b\pm c$ (2)不为0;$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$

【分析】
本题考查等式的基本事实与等式性质的基础概念，属于识记类题目，解题时只需准确回忆对应概念的内容，逐一匹配填空即可。首先回忆等式交换性的含义：等式左右两边交换位置，等式仍然成立；再回忆传递性的含义：若两个量都等于同一个量，则这两个量相等；之后回忆等式两条性质的具体内容，注意性质2中作除数的数不能为0的限制条件，对应填写空缺内容。
【解析】
1. 等式的基本事实：
(1) 交换性：若$a=b$，将等式左右两边交换位置，等式仍然成立，因此空缺处填$b=a$；
(2) 传递性：若$a=b$且$b=c$，说明$a$和$c$都等于$b$，因此$a=c$，空缺处填$a$；
2. 等式的性质：
(1) 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，因此若$a=b$，两边同时加或减$c$，可得$a\pm c = b\pm c$，依次填同一个、$b\pm c$；
(2) 等式的性质2：等式两边除以同一个数时，为了保证式子有意义，这个数不能为0，因此若$a=b$且$c≠0$，两边同时除以$c$可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，依次填不为0、$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$。
【答案】
1.(1)$b=a$ (2)$a$
2.(1)同一个;$b\pm c$ (2)不为0;$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
【知识点】
等式的基本事实、等式的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，相关内容是解方程的核心基础，只要准确记忆相关概念即可顺利解答，属于必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9

1.若$5x=4y$，交换等式两边可得

$4y=5x$

【分析】
解题时先回忆等式的基本特点：等式表示等号左右两边的数值是相等的，因此交换等式左右两边的式子，等式依然成立。本题只需要将原等式等号左边的$5x$和右边的$4y$互换位置即可得到结果。
【解析】
根据等式的基本性质，等式左右两边交换位置后，等式仍然成立。已知原等式为$5x=4y$，将等号两侧的式子交换位置，即可得到$4y=5x$。
【答案】
$4y=5x$
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考查对等式特征的理解，难度较低，掌握等式的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.已知$a=b$，$b=12$，根据传递性得$a=$。

$12$

【分析】
解题时首先回忆等式传递性的定义：如果两个量都和同一个量相等，那么这两个量也相等，即若$a=b$，$b=c$，则$a=c$。题目中已经给出$a=b$，且明确$b=12$，我们只需利用传递性将两个等式关联，就能直接求出$a$的取值。
【解析】
根据等式的传递性：若$a=b$，$b=c$，则$a=c$。
已知$a=b$，且$b=12$，结合传递性可得：$a=12$。
【答案】
$12$
【知识点】
等式的传递性；等量代换
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对等式传递性的理解和简单应用，熟练掌握等式的基本性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3.解方程$2x=5x+3$时,若要得到$2x-5x=3$,应在方程两边同时 ()

A.加上 3
B.减去 3
C.加上 $5x$
D.减去 $5x$

D

【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，我们可以先对比变形前后两个方程的差异：原方程右边有+5x，变形后的方程右边仅剩下3，左边多了-5x。根据等式的性质1，等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立，要消去右边的5x，只需要在等式两边同时减去5x，就能得到目标式子，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
原方程为$2x = 5x + 3$，将方程两边同时减去$5x$：
左边变为$2x - 5x$，右边变为$5x + 3 - 5x = 3$，即可得到$2x - 5x = 3$，因此操作是方程两边同时减去$5x$。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，解题核心是对比变形前后方程的差异，明确要消去的项，牢记等式变形时两边必须同步操作即可快速判断，是后续解一元一次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

4.已知$m+a=n+b$，若根据等式的性质可变形为$m=n$，则$a$，$b$满足的条件是()

A.$a=2b$
B.$-a=b$
C.$a=b$
D.$a$，$b$可以是任意的数或式子

C

【分析】
要解决这道题，我们先回忆等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立。我们的目标是从$m+a=n+b$变形得到$m=n$，对比两个等式可以发现，原等式左边多了$+a$、右边多了$+b$，我们可以先对原等式两边同时减去$a$，再根据要得到的$m=n$推导$a$和$b$的关系即可。
【解析】
根据等式的性质1：等式两边同时减去同一个数或整式，等式仍然成立。
对已知等式$m+a=n+b$两边同时减去$a$，可得：
$m+a -a = n + b -a$
化简后得到：$m = n + (b - a)$
若要最终变形为$m=n$，则需要$b - a = 0$，即$a = b$。
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题核心是掌握等式加减变形的规则，即等式两边必须同时加减同一个数或式子，才能保证等式始终成立。
【难度系数】
0.9

5.已知$x=y$,则下列各式不正确的是 ()

A.$x+1=y+1$
B.$-x=-y$
C.$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}$
D.$x-3=y+3$

D

【分析】
这道题考查等式性质的应用，解题时首先要明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，最终找出变形错误的选项即可。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。判断时要注意等式两边的运算必须完全相同，且加减、乘除的数必须是同一个数。
【解析】
已知$x=y$，结合等式的性质逐一分析选项：
1. 选项A：等式两边同时加1，符合等式性质1，可得$x+1=y+1$，变形正确，不符合题意；
2. 选项B：等式两边同时乘$-1$，符合等式性质2，可得$-x=-y$，变形正确，不符合题意；
3. 选项C：等式两边同时除以2（2不为0），符合等式性质2，可得$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}$，变形正确，不符合题意；
4. 选项D：等式左边减3，右边加3，两边运算不相同，不符合等式的性质，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握等式变形的规则，需注意等式两边必须进行完全相同的运算，加减乘除的数要保持一致，做除法运算时还要保证除数不为0。
【难度系数】
0.9

6. 新考法 [2026 亳州期末]等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是 ()

A.若$a=b$,则$ac=bc$
B.若$a=b$,则$\frac{a}{c}=\frac{a}{b}$
C.若$a=b$,则$a+c=b+c$
D.若$a=b$,则$a^2=b^2$

C

【分析】
解题时首先要明确：平衡的天平对应等式a=b，题图展示的是往天平左右两边同时加入相同质量的物体后，天平仍然保持平衡，对应的数学规律是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。接下来只需逐一分析每个选项对应的等式性质，匹配性质1的即为正确答案。
【解析】
初始天平平衡，可表示为$a=b$；给天平两边同时添加相同质量的物体后天平仍平衡，对应的规律是：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
逐一分析选项：
选项A：若$a=b$，则$ac=bc$，是等式两边同时乘同一个数$c$，属于等式的性质2，不符合图示规律，排除；
选项B：该表述本身存在错误，一方面等式两边作除法时需保证除数不为0，另一方面等式右侧分母应为$c$而非$b$，逻辑不成立，排除；
选项C：若$a=b$，则$a+c=b+c$，是等式两边同时加同一个数$c$，属于等式的性质1，与天平操作体现的规律一致，符合要求；
选项D：若$a=b$，则$a^2=b^2$，是等式两边同时平方，不是题图体现的性质，排除。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；天平平衡原理
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的应用，解题核心是准确将天平的操作对应到等式的变化规律，注意区分等式加减、乘除性质的不同适用场景，属于基础常考题。
【难度系数】
0.85

7.根据等式的性质填空：
(1)由$3x+1=2$,得$3x=2-1$,是根据等式的性质,在等式的两边都;
(2)由$\frac{1}{5}a=-4$,得$a=$,是根据等式的性质,在等式的两边都;
(3)由$-4x=8$,得$x=$,是根据等式的性质,在等式的两边都.

(1)减1 (2)$-20$;乘5 (3)$-2$;除以$-4$

【分析】
解题前先回忆等式的两条基本性质：性质1为等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时观察等式两边的变形差异，匹配对应的性质即可：
(1) 观察等式左边从$3x+1$变为$3x$，减少了1，对应等式两边同时减1；
(2) 观察等式左边要把系数$\frac{1}{5}$消去得到$a$，需要乘5，按性质计算右边的结果即可；
(3) 观察等式左边要把系数$-4$消去得到$x$，需要除以$-4$，按性质计算右边的结果即可。
【解析】
(1) 原等式为$3x+1=2$，要得到$3x=2-1$，根据等式的性质1，在等式两边都减去1，等式仍然成立；
(2) 原等式为$\frac{1}{5}a=-4$，要将$a$的系数化为1，根据等式的性质2，在等式两边都乘5，计算得$a=-4×5=-20$；
(3) 原等式为$-4x=8$，要将$x$的系数化为1，根据等式的性质2，在等式两边都除以$-4$，计算得$x=8÷(-4)=-2$。
【答案】
(1)减1 (2)$-20$；乘5 (3)$-2$；除以$-4$
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，是后续学习解方程的核心基础，解题时要注意观察等式变形前后的差异，匹配对应的性质，同时涉及乘除变形时要注意符号不要出错，除以的数不能为0。
【难度系数】
0.8

8. 中考趋势·过程性学习 由 $2x - 1 = 0$ 得到 $x = \frac{1}{2}$，可分两步，将下面步骤补充完整：
第一步：根据等式的性质，等式两边同时，得 $2x = 1$；
第二步：根据等式的性质，等式两边同时，得 $x = \frac{1}{2}$。

1;加1;2;除以2(或乘$\frac{1}{2}$)

【分析】
解题时需先牢记等式的两条基本性质，再对比每一步变形前后的等式差异，确定对应运算和依据：第一步对比$2x-1=0$和$2x=1$，发现左边去掉了$-1$，需要两边同时加1，对应等式的性质1；第二步对比$2x=1$和$x=\frac{1}{2}$，需要将$x$的系数化为1，两边同时除以2（或乘$\frac{1}{2}$），对应等式的性质2。
【解析】
等式的性质1为：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。原等式$2x-1=0$要得到$2x=1$，需根据等式的性质1，两边同时加1，消去左边的常数项$-1$。
等式的性质2为：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。等式$2x=1$要得到$x=\frac{1}{2}$，需根据等式的性质2，两边同时除以2（或乘$\frac{1}{2}$），将$x$的系数化为1。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
1;加1;2;除以2(或乘$\frac{1}{2}$)
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等式性质的直接应用，熟练掌握等式的两条性质是解题的关键，运用等式的性质2时要注意，同时乘除的数不能为0。
【难度系数】
0.9

9.利用等式的性质解方程，并检验.
(1)$x+5=8$;
(2)$2x+3=7$;
(3)$-\frac{y}{3}-2=10$.

解: (1)方程两边同时减5,得$x=3$.
检验:把$x=3$代入原方程,得左边$=3+5=8$,
右边$=8$,左边$=$右边,
所以$x=3$是原方程的解.
(2)方程两边同时减3,得$2x+3-3=7-3$,得$2x=4$,
方程两边同时乘$\frac{1}{2}$,得$x=2$.
检验:把$x=2$代入原方程,得左边$=2×2+3=7$,右边$=7$,左边$=$右边,所以$x=2$是原方程的解.
(3)方程两边同时加2,得$-\frac{y}{3}-2+2=10+2$,
化简,得$-\frac{y}{3}=12$,方程两边同时乘$-3$,得$y=-36$.
检验:把$y=-36$代入原方程,得左边$=-\frac{-36}{3}-2=10$,
右边$=10$,左边$=$右边,所以$y=-36$是原方程的解.

【分析】
解这组方程需利用等式的性质逐步将方程变形为“未知数=常数”的形式，最后代入原方程检验解的正确性。解题思路如下：第一步用等式性质1，方程两边同时加/减同一个数，消去左边的常数项，得到“未知数的倍数=常数”的形式；第二步用等式性质2，方程两边同时乘/除以同一个不为0的数，将未知数的系数化为1得到解；检验时把求得的解代入原方程，若左右两边值相等，则该解是原方程的解。
【解析】
解: (1)方程两边同时减5,得$x=3$.
检验:把$x=3$代入原方程,得左边$=3+5=8$,右边$=8$,左边$=$右边,所以$x=3$是原方程的解.
(2)方程两边同时减3,得$2x+3-3=7-3$,得$2x=4$,方程两边同时乘$\frac{1}{2}$,得$x=2$.
检验:把$x=2$代入原方程,得左边$=2×2+3=7$,右边$=7$,左边$=$右边,所以$x=2$是原方程的解.
(3)方程两边同时加2,得$-\frac{y}{3}-2+2=10+2$,化简,得$-\frac{y}{3}=12$,方程两边同时乘$-3$,得$y=-36$.
检验:把$y=-36$代入原方程,得左边$=-\frac{-36}{3}-2=10$,右边$=10$,左边$=$右边,所以$y=-36$是原方程的解.
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=2$；(3)$y=-36$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，方程的检验
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，解题时要明确每一步变形的依据，处理含负系数的方程时要注意符号运算，养成检验的习惯可有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8