1. 已知$(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，求$xy$与$x^2+y^2$的值。

解 因为 $(x+y)^2 = 25,(x-y)^2=9,$
所以 $xy=\frac{1}{4}[(x+y)^2-(x-y)^2]=\frac{1}{4}×(25-9)=4$，$x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]=\frac{1}{2}×(25+9)=17$。

2. 计算：(1) $(2x + y - 3z)^2$；
(2) $(a - b + c)(a + b - c)$；
(3) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。

解（1）将$(2x + y)$视为整体$A$，
则原式$=(A-3z)^2=A^2-6Az+9z^2$。展开$A^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$，$(2x+y-3z)^2=4x^2+4xy+y^2-6(2x+y)z+9z^2=4x^2+4xy+y^2-12xz-6yz+9z^2$。
（2）原式$=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a^2-(b-c)^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$。
（3）设$A=x^2+1$，则原式$=(A+x)(A-x)=A^2-x^2=(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1$。