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4. 抛物线 $y=-3x^2 + 2$ 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为
$y=-3(x-2)^2+3$
。答案
4.$y=-3(x-2)^2+3$
解析
【分析】
解决二次函数图象平移类问题，首先要牢记平移规则：“左加右减，针对自变量x；上加下减，针对常数项。首先处理向右平移的变换：向右平移2个单位，需要将原解析式中的x替换为(x-2)；再处理向上平移的变换：向上平移1个单位，需要给平移后的解析式的常数项加1，逐步推导即可得到最终解析式。
【解析】
根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：
1. 将抛物线$y=-3x^2 + 2$向右平移2个单位长度，把自变量$x$替换为$x-2$，可得平移后的解析式为：
$y=-3(x-2)^2 + 2$
2. 再将得到的抛物线向上平移1个单位长度，给常数项加1，可得最终解析式：
$y=-3(x-2)^2 + 2 + 1$
化简得：$y=-3(x-2)^2+3$
【答案】
$y=-3(x-2)^2+3$
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，解题核心是准确掌握平移规则，尤其要注意左右平移是对自变量$x$本身进行操作，给$x$加减平移单位时要添加括号，避免出现运算错误，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象平移类问题，首先要牢记平移规则：“左加右减，针对自变量x；上加下减，针对常数项。首先处理向右平移的变换：向右平移2个单位，需要将原解析式中的x替换为(x-2)；再处理向上平移的变换：向上平移1个单位，需要给平移后的解析式的常数项加1，逐步推导即可得到最终解析式。
【解析】
根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：
1. 将抛物线$y=-3x^2 + 2$向右平移2个单位长度，把自变量$x$替换为$x-2$，可得平移后的解析式为：
$y=-3(x-2)^2 + 2$
2. 再将得到的抛物线向上平移1个单位长度，给常数项加1，可得最终解析式：
$y=-3(x-2)^2 + 2 + 1$
化简得：$y=-3(x-2)^2+3$
【答案】
$y=-3(x-2)^2+3$
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题，解题核心是准确掌握平移规则，尤其要注意左右平移是对自变量$x$本身进行操作，给$x$加减平移单位时要添加括号，避免出现运算错误，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知二次函数$y=(x+m)^2 +k$的图象的顶点为$(1,-4)$。
(1) 该函数的解析式为
(2) 将此抛物线向左平移使顶点在$y$轴上，则平移后抛物线对应的函数解析式为
(1) 该函数的解析式为
$y=(x-1)^2-4$
.(2) 将此抛物线向左平移使顶点在$y$轴上，则平移后抛物线对应的函数解析式为
$y=x^2-4$
.答案
5. (1)$y=(x-1)^2-4$
(2)$y=x^2-4$
(2)$y=x^2-4$
解析
【分析】
(1) 解题思路：已知二次函数是顶点式的变形形式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，只需将题干给出的顶点坐标$(1,-4)$与原式$y=(x+m)^2+k$做对应，求出参数$m$、$k$的值，即可得到原函数解析式。
(2) 解题思路：抛物线平移过程中形状不变，二次项系数保持不变；$y$轴上点的横坐标为0，因此平移后新顶点坐标为$(0,-4)$，将新顶点代入顶点式，或根据“左加右减”的平移规律对原解析式变形，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x+m)^2+k$的顶点坐标为$(-m,k)$，已知图象顶点为$(1,-4)$，因此列等式：
$\begin{cases}-m=1\\k=-4\end{cases}$
解得$m=-1$，$k=-4$，代入原式得函数解析式为$y=(x-1)^2-4$。
(2) 平移后顶点落在$y$轴上，即新顶点横坐标为0，纵坐标不变，因此新顶点坐标为$(0,-4)$。
由于平移不改变抛物线的形状，二次项系数仍为1，代入顶点式得平移后解析式为$y=(x-0)^2-4$，化简得$y=x^2-4$。
（也可通过平移规律求解：原顶点$(1,-4)$到$(0,-4)$需向左平移1个单位，根据“左加右减”的规律，将原解析式中$x$替换为$x+1$，得$y=(x+1-1)^2-4=x^2-4$）
【答案】
(1)$y=(x-1)^2-4$；(2)$y=x^2-4$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质；2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式与顶点坐标的对应关系、平移规律的应用，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 解题思路：已知二次函数是顶点式的变形形式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，只需将题干给出的顶点坐标$(1,-4)$与原式$y=(x+m)^2+k$做对应，求出参数$m$、$k$的值，即可得到原函数解析式。
(2) 解题思路：抛物线平移过程中形状不变，二次项系数保持不变；$y$轴上点的横坐标为0，因此平移后新顶点坐标为$(0,-4)$，将新顶点代入顶点式，或根据“左加右减”的平移规律对原解析式变形，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x+m)^2+k$的顶点坐标为$(-m,k)$，已知图象顶点为$(1,-4)$，因此列等式：
$\begin{cases}-m=1\\k=-4\end{cases}$
解得$m=-1$，$k=-4$，代入原式得函数解析式为$y=(x-1)^2-4$。
(2) 平移后顶点落在$y$轴上，即新顶点横坐标为0，纵坐标不变，因此新顶点坐标为$(0,-4)$。
由于平移不改变抛物线的形状，二次项系数仍为1，代入顶点式得平移后解析式为$y=(x-0)^2-4$，化简得$y=x^2-4$。
（也可通过平移规律求解：原顶点$(1,-4)$到$(0,-4)$需向左平移1个单位，根据“左加右减”的规律，将原解析式中$x$替换为$x+1$，得$y=(x+1-1)^2-4=x^2-4$）
【答案】
(1)$y=(x-1)^2-4$；(2)$y=x^2-4$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质；2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式与顶点坐标的对应关系、平移规律的应用，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$平移得到抛物线$m$，抛物线$m$经过点$A(-6,0)$和原点，它的顶点为$P$，它的对称轴与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$交于点$Q$，则图中阴影部分的面积为
$13.5$
。答案
6. 13.5
解析
【分析】
解题时首先利用抛物线平移的性质：平移不改变二次项系数a的大小，结合平移后抛物线过原点和点A(-6,0)，用交点式求出平移后抛物线的解析式，得到其对称轴和顶点P的坐标；再将对称轴的x值代入原抛物线，求出交点Q的坐标，得到PQ的长度；最后利用割补法，结合抛物线的对称性，将不规则的阴影部分面积转化为规则三角形的面积计算即可。
【解析】
1. 求平移后抛物线m的解析式
抛物线平移后二次项系数不变，即$a=\frac{1}{2}$，已知抛物线m过$(0,0)$和$(-6,0)$，设解析式为$y=\frac{1}{2}x(x+6)$
配方得：$y=\frac{1}{2}(x+3)^2-\frac{9}{2}$
因此抛物线m的对称轴为直线$x=-3$，顶点P的坐标为$(-3,-\frac{9}{2})$
2. 求Q点坐标
将$x=-3$代入原抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，得$y=\frac{1}{2}×(-3)^2=\frac{9}{2}$，即Q点坐标为$(-3,\frac{9}{2})$
3. 计算线段PQ的长度
$PQ=\frac{9}{2}-(-\frac{9}{2})=9$
4. 求阴影部分面积
根据平移性质和抛物线对称性，阴影部分可割补为底为3（对称轴到y轴的水平距离）、高为9的三角形，面积为：
$S=\frac{1}{2}×3×9=\frac{27}{2}=13.5$
【答案】
13.5
【知识点】
二次函数的平移、二次函数的性质、割补法求面积
【点评】
本题结合二次函数平移的性质考查不规则图形的面积计算，核心是将不规则阴影转化为规则图形求解，体现了数学中的转化思想，解题关键是正确求出平移后抛物线的对称轴和顶点坐标。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用抛物线平移的性质：平移不改变二次项系数a的大小，结合平移后抛物线过原点和点A(-6,0)，用交点式求出平移后抛物线的解析式，得到其对称轴和顶点P的坐标；再将对称轴的x值代入原抛物线，求出交点Q的坐标，得到PQ的长度；最后利用割补法，结合抛物线的对称性，将不规则的阴影部分面积转化为规则三角形的面积计算即可。
【解析】
1. 求平移后抛物线m的解析式
抛物线平移后二次项系数不变，即$a=\frac{1}{2}$，已知抛物线m过$(0,0)$和$(-6,0)$，设解析式为$y=\frac{1}{2}x(x+6)$
配方得：$y=\frac{1}{2}(x+3)^2-\frac{9}{2}$
因此抛物线m的对称轴为直线$x=-3$，顶点P的坐标为$(-3,-\frac{9}{2})$
2. 求Q点坐标
将$x=-3$代入原抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，得$y=\frac{1}{2}×(-3)^2=\frac{9}{2}$，即Q点坐标为$(-3,\frac{9}{2})$
3. 计算线段PQ的长度
$PQ=\frac{9}{2}-(-\frac{9}{2})=9$
4. 求阴影部分面积
根据平移性质和抛物线对称性，阴影部分可割补为底为3（对称轴到y轴的水平距离）、高为9的三角形，面积为：
$S=\frac{1}{2}×3×9=\frac{27}{2}=13.5$
【答案】
13.5
【知识点】
二次函数的平移、二次函数的性质、割补法求面积
【点评】
本题结合二次函数平移的性质考查不规则图形的面积计算，核心是将不规则阴影转化为规则图形求解，体现了数学中的转化思想，解题关键是正确求出平移后抛物线的对称轴和顶点坐标。
【难度系数】
0.65
7. 若二次函数$y=2(x+1)^2+3$的图象上有三个不同的点$A(x_1,4)$，$B(\dfrac{x_1+x_2}{2},n)$，$C(x_2,4)$，则$n$的值为
$3$
.答案
7. 3
解析
【分析】
首先观察到点A和点C的纵坐标相同，根据二次函数的图象性质，纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于抛物线对称轴的横坐标。接下来先求出给定二次函数的对称轴，可得到点B的横坐标恰好等于对称轴的横坐标，最后将该横坐标代入函数解析式即可求出n的值。
【解析】
解：二次函数$y=2(x+1)^2+3$是顶点式，其对称轴为直线$x=-1$。
∵点$A(x_1,4)$、$C(x_2,4)$的纵坐标相同，
∴A、C两点关于抛物线的对称轴对称，
∴两点横坐标的中点在对称轴上，即$\dfrac{x_1+x_2}{2}=-1$，也就是点B的横坐标为$-1$。
将$x=-1$代入$y=2(x+1)^2+3$得：
$y=2×(-1+1)^2+3=3$，
∴$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的关键是利用二次函数的对称性得到点B位于抛物线的对称轴上，进而代入求值，熟练掌握顶点式二次函数的对称轴、顶点坐标等基本性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察到点A和点C的纵坐标相同，根据二次函数的图象性质，纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于抛物线对称轴的横坐标。接下来先求出给定二次函数的对称轴，可得到点B的横坐标恰好等于对称轴的横坐标，最后将该横坐标代入函数解析式即可求出n的值。
【解析】
解：二次函数$y=2(x+1)^2+3$是顶点式，其对称轴为直线$x=-1$。
∵点$A(x_1,4)$、$C(x_2,4)$的纵坐标相同，
∴A、C两点关于抛物线的对称轴对称，
∴两点横坐标的中点在对称轴上，即$\dfrac{x_1+x_2}{2}=-1$，也就是点B的横坐标为$-1$。
将$x=-1$代入$y=2(x+1)^2+3$得：
$y=2×(-1+1)^2+3=3$，
∴$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的关键是利用二次函数的对称性得到点B位于抛物线的对称轴上，进而代入求值，熟练掌握顶点式二次函数的对称轴、顶点坐标等基本性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
8.已知二次函数$y=(x-3a)^2+(a-1)$（$a$为常数），当$a$取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”. 如图分别是当$a=-1,a=0,a=1,a=2$时二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是
$y=\dfrac{1}{3}x-1$
.答案
8.$y=\dfrac{1}{3}x-1$
解析
【分析】
要确定顶点坐标满足的函数解析式，首先需明确二次函数顶点式$y=(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先提取出题目中二次函数顶点的横、纵坐标（均含参数$a$），再通过消去参数$a$，即可得到顶点横、纵坐标之间的函数关系。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-3a)^2+(a-1)$，根据顶点式的性质，其顶点坐标为$(3a, a-1)$。
设顶点的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则可得：
$\begin{cases}x=3a&①\\y=a-1&②\end{cases}$
由①式解得$a=\dfrac{x}{3}$，将其代入②式得：
$y=\dfrac{x}{3}-1$
即顶点坐标满足的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-1$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{3}x-1$
【知识点】
二次函数顶点式性质，消元法，一次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题核心是先提取含参数的顶点坐标，再消去参数得到目标解析式，属于常规基础题，熟练掌握顶点式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定顶点坐标满足的函数解析式，首先需明确二次函数顶点式$y=(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先提取出题目中二次函数顶点的横、纵坐标（均含参数$a$），再通过消去参数$a$，即可得到顶点横、纵坐标之间的函数关系。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-3a)^2+(a-1)$，根据顶点式的性质，其顶点坐标为$(3a, a-1)$。
设顶点的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则可得：
$\begin{cases}x=3a&①\\y=a-1&②\end{cases}$
由①式解得$a=\dfrac{x}{3}$，将其代入②式得：
$y=\dfrac{x}{3}-1$
即顶点坐标满足的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-1$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{3}x-1$
【知识点】
二次函数顶点式性质，消元法，一次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题核心是先提取含参数的顶点坐标，再消去参数得到目标解析式，属于常规基础题，熟练掌握顶点式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点为$A(1,-4)$,且过点$B(3,0)$.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)当$-3＜x＜3$时,说明函数值$y$的增减情况.
(3)将此二次函数的图象怎样平移才能使它经过原点?
(1)求该二次函数的解析式.
(2)当$-3＜x＜3$时,说明函数值$y$的增减情况.
(3)将此二次函数的图象怎样平移才能使它经过原点?
答案
9. (1)$\because$ 二次函数图象的顶点为 $A(1,-4)$,
$\therefore$ 设这个二次函数的解析式为 $y=a(x-1)^2-4$.
将点 $B(3,0)$ 代入,得 $0=a(3-1)^2-4$.
解得 $a=1$.
$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,即 $y=x^2-2x-3$.
(2)$\because$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore$ 当$-3＜x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小;
当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)将此二次函数的图象向上平移 3 个单位长度后经过原点(答案不唯一).
$\therefore$ 设这个二次函数的解析式为 $y=a(x-1)^2-4$.
将点 $B(3,0)$ 代入,得 $0=a(3-1)^2-4$.
解得 $a=1$.
$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,即 $y=x^2-2x-3$.
(2)$\because$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore$ 当$-3＜x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小;
当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)将此二次函数的图象向上平移 3 个单位长度后经过原点(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，仅需求出参数a即可，代入已知点B的坐标就能计算出a的值，进而得到解析式；
(2) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合给定的x的取值范围，分区间判断y的增减情况；
(3) 可先计算原二次函数在x=0时的函数值，根据平移“上加下减”的规律，调整函数值使x=0时y=0即可，也可通过左右平移实现，方法不唯一。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数图象的顶点为 $A(1,-4)$,
$\therefore$ 设这个二次函数的解析式为 $y=a(x-1)^2-4$.
将点 $B(3,0)$ 代入,得 $0=a(3-1)^2-4$.
解得 $a=1$.
$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,即 $y=x^2-2x-3$.
(2) $\because$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore$ 当$-3＜x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小;
当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3) 示例：将此二次函数的图象向上平移 3 个单位长度后经过原点（答案不唯一）.
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$（或$y=(x-1)^2-4$）；
(2) 当$-3＜x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$1＜x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 向上平移3个单位长度（答案不唯一）。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设置考点，解题关键是熟练掌握顶点式的应用、二次函数增减性的判断方法以及图象平移的规律，属于基础题型，夯实基础即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式，仅需求出参数a即可，代入已知点B的坐标就能计算出a的值，进而得到解析式；
(2) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合给定的x的取值范围，分区间判断y的增减情况；
(3) 可先计算原二次函数在x=0时的函数值，根据平移“上加下减”的规律，调整函数值使x=0时y=0即可，也可通过左右平移实现，方法不唯一。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数图象的顶点为 $A(1,-4)$,
$\therefore$ 设这个二次函数的解析式为 $y=a(x-1)^2-4$.
将点 $B(3,0)$ 代入,得 $0=a(3-1)^2-4$.
解得 $a=1$.
$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,即 $y=x^2-2x-3$.
(2) $\because$ 该二次函数的解析式为 $y=(x-1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore$ 当$-3＜x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小;
当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3) 示例：将此二次函数的图象向上平移 3 个单位长度后经过原点（答案不唯一）.
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$（或$y=(x-1)^2-4$）；
(2) 当$-3＜x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$1＜x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 向上平移3个单位长度（答案不唯一）。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数增减性；二次函数图象平移
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设置考点，解题关键是熟练掌握顶点式的应用、二次函数增减性的判断方法以及图象平移的规律，属于基础题型，夯实基础即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是$(-2,3)$,过点A作$AB⊥y$轴,垂足为B,连接OA,抛物线$y=-(x+1)^2 + c + 1$经过点A,与x轴的正半轴交于点C.
(1)求c的值.
(2)将抛物线向下平移m个单位长度,使平移后得到的抛物线顶点落在$△ OAB$的内部(不包括$△ OAB$的边界),求m的取值范围.
(1)求c的值.
(2)将抛物线向下平移m个单位长度,使平移后得到的抛物线顶点落在$△ OAB$的内部(不包括$△ OAB$的边界),求m的取值范围.
答案
10. (1)将点 $A$ 的坐标代入抛物线 $y=-(x+1)^2+c+1$,得
$-(-2+1)^2+c+1=3$. 解得 $c=3$.
(2)由(1)得,抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=-1$,顶点坐标为 $(-1,4)$.
设直线 $OA$ 对应的函数解析式为 $y=kx$.
$\because$ 点 $A$ 的坐标是 $(-2,3)$,
则 $3=-2k$. 解得 $k=-\dfrac{3}{2}$.
$\therefore$ 直线 $OA$ 对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}x$.
当 $x=-1$ 时,$y=\dfrac{3}{2}$.
$\because$ 平移后得到的抛物线顶点落在 $△ OAB$ 的内部(不包括 $△ OAB$ 的边界),
$\therefore 4-3＜m＜4-\dfrac{3}{2}$,即 $1＜m＜\dfrac{5}{2}$.
$-(-2+1)^2+c+1=3$. 解得 $c=3$.
(2)由(1)得,抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=-1$,顶点坐标为 $(-1,4)$.
设直线 $OA$ 对应的函数解析式为 $y=kx$.
$\because$ 点 $A$ 的坐标是 $(-2,3)$,
则 $3=-2k$. 解得 $k=-\dfrac{3}{2}$.
$\therefore$ 直线 $OA$ 对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}x$.
当 $x=-1$ 时,$y=\dfrac{3}{2}$.
$\because$ 平移后得到的抛物线顶点落在 $△ OAB$ 的内部(不包括 $△ OAB$ 的边界),
$\therefore 4-3＜m＜4-\dfrac{3}{2}$,即 $1＜m＜\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求c的值可使用待定系数法，已知抛物线经过点A，直接将点A的横、纵坐标代入抛物线解析式，解关于c的一元一次方程即可得到结果。
(2) 首先根据(1)中求得的c值确定原抛物线的解析式，得到其顶点坐标与对称轴；向下平移仅改变顶点的纵坐标，平移后顶点横坐标仍为对称轴的值。再明确△OAB的范围：△OAB三个顶点为O(0,0)、A(-2,3)、B(0,3)，AB边在直线y=3上，OA为斜边。求出直线OA的解析式，计算对称轴与OA的交点纵坐标，平移后的顶点落在△OAB内部即顶点纵坐标大于该交点纵坐标、小于AB边的纵坐标3，据此列不等式即可求解m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-2,3)$代入抛物线$y=-(x+1)^2+c+1$，得：
$\begin{aligned}-(-2+1)^2+c+1&=3\\-1+c+1&=3\end{aligned}$
解得 $c=3$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
设直线OA的解析式为$y=kx$，将$A(-2,3)$代入得：
$3=-2k$，解得$k=-\dfrac{3}{2}$，
$\therefore$ 直线OA的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x$。
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{3}{2}×(-1)=\dfrac{3}{2}$。
抛物线向下平移m个单位后，顶点坐标为$(-1,4-m)$，要使顶点落在$△ OAB$内部（不含边界），则顶点纵坐标满足$\dfrac{3}{2}＜4-m＜3$，
解得$1＜m＜\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $c=3$；(2) $1＜m＜\dfrac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法，二次函数平移，一次函数性质
【点评】
本题为二次函数与平面几何结合的基础题，综合考察了二次函数参数求解、平移规律以及一次函数解析式的求解，解题核心是抓住平移后顶点的坐标特征，结合三角形边界范围确定参数取值，是二次函数章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求c的值可使用待定系数法，已知抛物线经过点A，直接将点A的横、纵坐标代入抛物线解析式，解关于c的一元一次方程即可得到结果。
(2) 首先根据(1)中求得的c值确定原抛物线的解析式，得到其顶点坐标与对称轴；向下平移仅改变顶点的纵坐标，平移后顶点横坐标仍为对称轴的值。再明确△OAB的范围：△OAB三个顶点为O(0,0)、A(-2,3)、B(0,3)，AB边在直线y=3上，OA为斜边。求出直线OA的解析式，计算对称轴与OA的交点纵坐标，平移后的顶点落在△OAB内部即顶点纵坐标大于该交点纵坐标、小于AB边的纵坐标3，据此列不等式即可求解m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-2,3)$代入抛物线$y=-(x+1)^2+c+1$，得：
$\begin{aligned}-(-2+1)^2+c+1&=3\\-1+c+1&=3\end{aligned}$
解得 $c=3$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
设直线OA的解析式为$y=kx$，将$A(-2,3)$代入得：
$3=-2k$，解得$k=-\dfrac{3}{2}$，
$\therefore$ 直线OA的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x$。
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{3}{2}×(-1)=\dfrac{3}{2}$。
抛物线向下平移m个单位后，顶点坐标为$(-1,4-m)$，要使顶点落在$△ OAB$内部（不含边界），则顶点纵坐标满足$\dfrac{3}{2}＜4-m＜3$，
解得$1＜m＜\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $c=3$；(2) $1＜m＜\dfrac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法，二次函数平移，一次函数性质
【点评】
本题为二次函数与平面几何结合的基础题，综合考察了二次函数参数求解、平移规律以及一次函数解析式的求解，解题核心是抓住平移后顶点的坐标特征，结合三角形边界范围确定参数取值，是二次函数章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
