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已知抛物线$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3$。
(1)请你直接写出该抛物线的顶点坐标和对称轴。
(2)请你在所给平面直角坐标系(
)中画出该抛物线上满足$0≤ x≤3$的一段。
(1)请你直接写出该抛物线的顶点坐标和对称轴。
(2)请你在所给平面直角坐标系(
)中画出该抛物线上满足$0≤ x≤3$的一段。答案
(1)抛物线$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3$的顶点坐标是$(1,3)$,对称轴是直线$x=1$.
(2)经过$(0,\dfrac{9}{4}),(1,3),(3,0)$三点画抛物线上满足$0≤x≤3$的一段,如图所示.
解析
【分析】
(1) 第一问考查二次函数顶点式的基本性质，对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），可直接通过参数$h$、$k$确定顶点坐标和对称轴，只需对应题目解析式中的参数即可求解，无需复杂计算。
(2) 第二问是绘制指定区间内的抛物线图象，首先需要计算区间端点$x=0$、$x=3$对应的函数值，再结合第一问得到的顶点坐标，得到三个关键坐标点，在坐标系中描点后用平滑曲线连接，即可得到要求的图象段。
【解析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。
对比题中解析式$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3$，可得$h=1$，$k=3$，因此顶点坐标为$(1,3)$，对称轴为直线$x=1$。
(2) 计算$0≤x≤3$范围内的关键点坐标：
① 当$x=0$时，代入解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1)^2+3=\dfrac{9}{4}$，对应点为$(0,\dfrac{9}{4})$；
② 当$x=1$时，$y=3$，对应顶点$(1,3)$；
③ 当$x=3$时，代入解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×(3-1)^2+3=0$，对应点为$(3,0)$。
在平面直角坐标系中描出上述三个点，用平滑曲线顺次连接三点，即可得到$0≤x≤3$范围内的抛物线段。
【答案】
(1)抛物线$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3$的顶点坐标是$(1,3)$,对称轴是直线$x=1$.
(2)经过$(0,\dfrac{9}{4}),(1,3),(3,0)$三点画抛物线上满足$0≤x≤3$的一段,如图所示.
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数图象画法
3.函数值计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式的核心性质和基础作图能力，熟练掌握顶点式参数对应关系、描点作图选取关键点的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 第一问考查二次函数顶点式的基本性质，对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），可直接通过参数$h$、$k$确定顶点坐标和对称轴，只需对应题目解析式中的参数即可求解，无需复杂计算。
(2) 第二问是绘制指定区间内的抛物线图象，首先需要计算区间端点$x=0$、$x=3$对应的函数值，再结合第一问得到的顶点坐标，得到三个关键坐标点，在坐标系中描点后用平滑曲线连接，即可得到要求的图象段。
【解析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。
对比题中解析式$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3$，可得$h=1$，$k=3$，因此顶点坐标为$(1,3)$，对称轴为直线$x=1$。
(2) 计算$0≤x≤3$范围内的关键点坐标：
① 当$x=0$时，代入解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1)^2+3=\dfrac{9}{4}$，对应点为$(0,\dfrac{9}{4})$；
② 当$x=1$时，$y=3$，对应顶点$(1,3)$；
③ 当$x=3$时，代入解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×(3-1)^2+3=0$，对应点为$(3,0)$。
在平面直角坐标系中描出上述三个点，用平滑曲线顺次连接三点，即可得到$0≤x≤3$范围内的抛物线段。
【答案】
(1)抛物线$y=-\dfrac{3}{4}(x-1)^2+3$的顶点坐标是$(1,3)$,对称轴是直线$x=1$.
(2)经过$(0,\dfrac{9}{4}),(1,3),(3,0)$三点画抛物线上满足$0≤x≤3$的一段,如图所示.
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数图象画法
3.函数值计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式的核心性质和基础作图能力，熟练掌握顶点式参数对应关系、描点作图选取关键点的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 下列关于抛物线$y=-3(x-2)^2+3$的说法错误的是（
A.抛物线开口向下
B.抛物线的顶点坐标是$(2,3)$
C.抛物线的对称轴是直线$x=2$
D.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）A.抛物线开口向下
B.抛物线的顶点坐标是$(2,3)$
C.抛物线的对称轴是直线$x=2$
D.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时首先要明确该形式中各参数对应的几何意义：①$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，开口向上则相反。我们只需将题干中的抛物线解析式对应参数，逐个判断选项即可找到错误说法。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-3(x-2)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-3$，$h=2$，$k=3$。
1. 分析选项A：$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 分析选项B：根据顶点式性质，抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,3)$，B说法正确，不符合题意；
3. 分析选项C：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，C说法正确，不符合题意；
4. 分析选项D：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，而非增大，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象性质，就能快速分辨各选项的正误，是二次函数章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时首先要明确该形式中各参数对应的几何意义：①$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，开口向上则相反。我们只需将题干中的抛物线解析式对应参数，逐个判断选项即可找到错误说法。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-3(x-2)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-3$，$h=2$，$k=3$。
1. 分析选项A：$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 分析选项B：根据顶点式性质，抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,3)$，B说法正确，不符合题意；
3. 分析选项C：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，C说法正确，不符合题意；
4. 分析选项D：$\because$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，而非增大，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象性质，就能快速分辨各选项的正误，是二次函数章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数:①$y=-\dfrac{1}{3}x^2+1$;②$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-2$;③$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$;④$y=\dfrac{1}{2}x^2$;⑤$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$;⑥$y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2$. 回答下列问题:
(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线$x=-1$的是
(2)以上二次函数有最大值的是
(3)以上二次函数的图象中关于$x$轴对称的是
(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线$x=-1$的是
②③
. (填序号,下同)(2)以上二次函数有最大值的是
①③⑤
.(3)以上二次函数的图象中关于$x$轴对称的是
②③
.答案
2. (1)②③
(2)①③⑤
(3)②③
(2)①③⑤
(3)②③
解析
【分析】
解决本题需紧扣二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，分步思考：
(1) 第一问需回忆对称轴公式：顶点式的对称轴为直线$x=h$，只需找出$h=-1$的函数即可；
(2) 第二问需明确：二次函数的开口方向由$a$的符号决定，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，只需筛选出$a＜0$的函数；
(3) 第三问需掌握关于$x$轴对称的两条抛物线的特征：开口方向相反（$a$互为相反数）、对称轴相同（$h$相同）、顶点纵坐标互为相反数（$k$互为相反数），据此匹配对应函数即可。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：对称轴为直线$x=h$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值$k$。若两条抛物线关于$x$轴对称，则它们的$a$互为相反数，$h$相同，$k$互为相反数。
(1) 筛选对称轴为直线$x=-1$的函数：
逐一判断各函数的$h$值，只有②$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-2$和③$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$的$h=-1$，对称轴为$x=-1$，符合要求。
(2) 筛选有最大值的函数：
逐一判断各函数的$a$符号，①$a=-\dfrac{1}{3}＜0$、③$a=-\dfrac{1}{2}＜0$、⑤$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，这三个函数开口向下，存在最大值，符合要求。
(3) 筛选图象关于$x$轴对称的函数：
对比发现②和③的$a$互为相反数、$h$均为$-1$、$k$互为相反数，满足关于$x$轴对称的所有特征，符合要求。
【答案】
(1)②③
(2)①③⑤
(3)②③
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的核心是熟练掌握顶点式中参数$a、h、k$对应的图象特征，通过逐项比对即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决本题需紧扣二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，分步思考：
(1) 第一问需回忆对称轴公式：顶点式的对称轴为直线$x=h$，只需找出$h=-1$的函数即可；
(2) 第二问需明确：二次函数的开口方向由$a$的符号决定，当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，只需筛选出$a＜0$的函数；
(3) 第三问需掌握关于$x$轴对称的两条抛物线的特征：开口方向相反（$a$互为相反数）、对称轴相同（$h$相同）、顶点纵坐标互为相反数（$k$互为相反数），据此匹配对应函数即可。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：对称轴为直线$x=h$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值$k$。若两条抛物线关于$x$轴对称，则它们的$a$互为相反数，$h$相同，$k$互为相反数。
(1) 筛选对称轴为直线$x=-1$的函数：
逐一判断各函数的$h$值，只有②$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-2$和③$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$的$h=-1$，对称轴为$x=-1$，符合要求。
(2) 筛选有最大值的函数：
逐一判断各函数的$a$符号，①$a=-\dfrac{1}{3}＜0$、③$a=-\dfrac{1}{2}＜0$、⑤$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，这三个函数开口向下，存在最大值，符合要求。
(3) 筛选图象关于$x$轴对称的函数：
对比发现②和③的$a$互为相反数、$h$均为$-1$、$k$互为相反数，满足关于$x$轴对称的所有特征，符合要求。
【答案】
(1)②③
(2)①③⑤
(3)②③
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的核心是熟练掌握顶点式中参数$a、h、k$对应的图象特征，通过逐项比对即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=a(x+m)^2+n$的图象如图，则一次函数$y=mx+n$的图象经过（
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
B
）A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先利用二次函数顶点式的性质确定m、n的符号，再结合一次函数的图象性质判断经过的象限。第一步，先回忆二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，观察图象可知顶点在第一象限，因此顶点横、纵坐标均为正，即可推出$m$和$n$的正负；第二步，根据一次函数的一次项系数和常数项的符号，判断其图象经过的象限。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，
由图象可知，二次函数的顶点在第一象限，
$\therefore \begin{cases}-m＞0 \\ n＞0\end{cases}$，解得$m＜0$，$n＞0$。
对于一次函数$y=mx+n$：
$\because$ 一次项系数$m＜0$，$\therefore$ 函数图象从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；
$\because$ 常数项$n＞0$，$\therefore$ 函数图象与$y$轴交于正半轴，还经过第一象限。
因此一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、二、四象限。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象性质
【点评】
本题属于函数基础综合题，核心考查函数解析式中参数的符号与图象位置的对应关系，熟练掌握两类函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数顶点式的性质确定m、n的符号，再结合一次函数的图象性质判断经过的象限。第一步，先回忆二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，观察图象可知顶点在第一象限，因此顶点横、纵坐标均为正，即可推出$m$和$n$的正负；第二步，根据一次函数的一次项系数和常数项的符号，判断其图象经过的象限。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=a(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$，
由图象可知，二次函数的顶点在第一象限，
$\therefore \begin{cases}-m＞0 \\ n＞0\end{cases}$，解得$m＜0$，$n＞0$。
对于一次函数$y=mx+n$：
$\because$ 一次项系数$m＜0$，$\therefore$ 函数图象从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；
$\because$ 常数项$n＞0$，$\therefore$ 函数图象与$y$轴交于正半轴，还经过第一象限。
因此一次函数$y=mx+n$的图象经过第一、二、四象限。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象性质
【点评】
本题属于函数基础综合题，核心考查函数解析式中参数的符号与图象位置的对应关系，熟练掌握两类函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
