1. 如图,四边形ABCD是菱形,AC与BD交于点O,$∠ABD= 60^{\circ},AB= 8cm$.
(1)求$∠BAD,∠ABC$的度数.
(2)求菱形ABCD的周长和面积.

$(1)$$\angle BAD = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 120^{\circ}$；
$(2)$菱形$ABCD$的周长为$32cm$，面积为$32\sqrt{3}cm^{2}$。

2. 如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点,$PM⊥AD,PN⊥AB$,垂足分别为点M和N,$PE⊥PB$交AD于点E.
(1)求证:四边形MANP是正方形.
(2)求证:$EM= BN$.

$(1)$ 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle DAB = 90^{\circ}$，$AC$平分$\angle DAB$。又$PM\perp AD$，$PN\perp AB$，所以$\angle PMA=\angle PNA = 90^{\circ}$，则四边形$MANP$是矩形。由角平分线性质得$PM = PN$，所以四边形$MANP$是正方形。
$(2)$ 因为四边形$MANP$是正方形，所以$PM = PN$，$\angle MPN = 90^{\circ}$。又$PE\perp PB$，即$\angle EPB = 90^{\circ}$，所以$\angle MPE=\angle NPB$。且$\angle PME=\angle PNB = 90^{\circ}$，根据$ASA$可证$\triangle PEM\cong\triangle PBN$，所以$EM = BN$。
综上，$(1)$ 四边形$MANP$是正方形得证；$(2)$ $EM = BN$得证。

3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,M是AB的中点,$AM= AN,MN// AC$.
(1)求证:$MN= AC$.
(2)如果把条件“$AM= AN$”改为“$AM⊥AN$”,其他条件不变,那么$MN= AC$不一定成立.如果再改变一个条件,就能使$MN= AC$成立.请你写出改变的条件并说明理由.

(1) 连接$CM$，由直角三角形斜边中线定理得$CM = AM$，进而得$\angle MAC=\angle MCA$，由$MN// AC$得$\angle AMN=\angle MAC$，又$AM = AN$得$\angle AMN=\angle N$，所以$\angle MCA=\angle N$，通过角的关系证$\triangle ACM\cong\triangle NMM(ASA)$，所以$MN = AC$。
(2) 把“$M$是$AB$的中点”改为“过$B$作$AC$的平行线与$AM$的延长线交于点$D$，且$M$是$AD$的中点”（答案不唯一）。理由：先证$\triangle ACM\cong\triangle DBM(ASA)$得$AC = BD$，再证$\triangle ANM\cong\triangle DBM(ASA)$得$MN = BD$，所以$MN = AC$。