1. 在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，点P为线段AB上的一个动点，且不与A，B重合，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D.若四边形OCPD的周长为定值8，则直线AB的函数表达式为( )
A. $ y = x + 8 $
B. $ y = x + 4 $
C. $ y = -x + 8 $
D. $ y = -x + 4 $

D

2. 直线 $ y = \frac{2}{3}x + 4 $ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，C，D分别为线段AB，OB的中点，P为OA上一动点.当 $ PC + PD $ 的值最小时，点P的坐标为( )
A. $ (-\frac{5}{2},0) $
B. $ (-3,0) $
C. $ (-\frac{3}{2},0) $
D. $ (-6,0) $

C

3. 直线AB与x轴交于点 $ A(1,0) $，与y轴交于点 $ B(0,-2) $.若点C在直线AB上，且 $ S_{\triangle BOC} = 2 $，则点C的坐标是( )
A. $ (-2,-2) $
B. $ (-2,-6) $
C. $ (2,2) $
D. $ (2,2) $ 或 $ (-2,-6) $

D

4. 在平面直角坐标系中，长方形ABCO的顶点A，C分别在x轴和y轴上，O为坐标原点.若点 $ B(3,2) $，则直线AC的函数表达式为__________.

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

5. 直线 $ y = kx + 3 $ 与x轴、y轴分别相交于点E，F，点E的坐标为 $ (-6,0) $，P是直线EF上的一点.若 $ \triangle POE $ 的面积为6，则点P的坐标为______.

$(-2,2)$或$(-10,-2)$

6. 如图①所示，直线 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，E为y轴负半轴上一点，且 $ S_{\triangle ABE} = 12 $.
(1)求直线AE的解析式；
(2)如图②所示，直线 $ y = mx $ 交直线AB于点M，交直线AE于点N，当 $ S_{\triangle OEN} = 2S_{\triangle OBM} $ 时，求m的值.

【解析】：
### $(1)$求直线$AE$的解析式
- **步骤一：求$A$、$B$两点的坐标**
对于直线$y = \frac{1}{2}x + 2$，
令$y = 0$，则$0=\frac{1}{2}x + 2$，解得$x=-4$，所以$A(-4,0)$。
令$x = 0$，则$y = 2$，所以$B(0,2)$。
- **步骤二：求$E$点坐标**
已知$S_{\triangle ABE}=12$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，$\triangle ABE$以$BE$为底，$OA$为高（$OA = 4$）。
由$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times BE\times OA = 12$，即$\frac{1}{2}\times BE\times4 = 12$，解得$BE = 6$。
因为$B(0,2)$，$E$为$y$轴负半轴上一点，所以$OE=BE - OB=6 - 2 = 4$，则$E(0,-4)$。
- **步骤三：求直线$AE$的解析式**
设直线$AE$的解析式为$y=kx + b$，把$A(-4,0)$，$E(0,-4)$代入可得：
$\begin{cases}-4k + b = 0\\b = -4\end{cases}$，
将$b = -4$代入$-4k + b = 0$，得$-4k-4 = 0$，解得$k=-1$。
所以直线$AE$的解析式为$y=-x - 4$。
### $(2)$求$m$的值
- **步骤一：求$M$、$N$两点的坐标（用$m$表示）**
联立$\begin{cases}y = mx\\y=\frac{1}{2}x + 2\end{cases}$，可得$mx=\frac{1}{2}x + 2$，$(m-\frac{1}{2})x = 2$，解得$x_M=\frac{4}{2m - 1}$，则$y_M=\frac{4m}{2m - 1}$，所以$M(\frac{4}{2m - 1},\frac{4m}{2m - 1})$。
联立$\begin{cases}y = mx\\y=-x - 4\end{cases}$，可得$mx=-x - 4$，$(m + 1)x=-4$，解得$x_N=\frac{-4}{m + 1}$，则$y_N=\frac{-4m}{m + 1}$，所以$N(\frac{-4}{m + 1},\frac{-4m}{m + 1})$。
- **步骤二：根据面积关系列方程求解$m$**
已知$S_{\triangle OEN}=2S_{\triangle OBM}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，$S_{\triangle OBM}=\frac{1}{2}\times OB\times|x_M|=\frac{1}{2}\times2\times|\frac{4}{2m - 1}|=\frac{4}{|2m - 1|}$（$m\neq\frac{1}{2}$），$S_{\triangle OEN}=\frac{1}{2}\times OE\times|x_N|=\frac{1}{2}\times4\times|\frac{-4}{m + 1}|=\frac{8}{|m + 1|}$（$m\neq - 1$）。
当$m\gt\frac{1}{2}$，$m\gt - 1$时，$\frac{8}{m + 1}=2\times\frac{4}{2m - 1}$，
即$\frac{8}{m + 1}=\frac{8}{2m - 1}$，
$2m-1=m + 1$，
解得$m = 2$。
当$m\lt\frac{1}{2}$，$m\lt - 1$时，$\frac{8}{-(m + 1)}=2\times\frac{4}{-(2m - 1)}$，
即$\frac{8}{m + 1}=\frac{8}{2m - 1}$，
$2m-1=m + 1$，
解得$m = 2$（舍去）。
当$m\gt\frac{1}{2}$，$m\lt - 1$时，无解。
当$m\lt\frac{1}{2}$，$m\gt - 1$时，$\frac{8}{m + 1}=2\times\frac{4}{-(2m - 1)}$，
$\frac{8}{m + 1}=\frac{-8}{2m - 1}$，
$8(2m - 1)=-8(m + 1)$，
$16m-8=-8m - 8$，
$24m = 0$，
解得$m = 0$（舍去，因为$m = 0$时，$M$，$N$，$O$共线，不满足三角形面积关系）。
【答案】：
$(1)$直线$AE$的解析式为$\boldsymbol{y=-x - 4}$；
$(2)$$m$的值为$\boldsymbol{2}$。