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(教材变式)在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,$ BD \perp AC 于点 D $,$ AC = 2BD $,则$ \angle BAC $的度数为______．
【点睛】 易忽略图中$ \triangle ABC $的顶角为钝角而漏解．
【点睛】 易忽略图中$ \triangle ABC $的顶角为钝角而漏解．
答案
30°或150°
1. 在$ \text{Rt} \triangle ABC $中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ BC = 2 $,则$ AB $的长为______．
答案
4
2.(教材变式)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ CD \perp AB 于点 D $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ BD = 3 $,则$ \angle BCD $的度数为______,$ BC $的长为______,$ AD $的长为______．
答案
30° 6 9
3. 如图,$ D 为等边 \triangle ABC 边 AB $上一点,$ DE \perp BC 于点 E $,$ BD = 8 $,$ EC = 6 $,则$ AD $的长为______．
答案
2
4.(2025襄阳)如图为某商场一楼与二楼之间的电梯示意图,$ \angle ABC = 150^{\circ} $,$ BC 的长是 12 \text{ m} $,则乘电梯从点$ B 到点 C 上升的高度 h $是______$ \text{m} $．
答案
6
5. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ AC = BC $,$ BD \perp AC 于点 D $,若$ \angle ABD = 15^{\circ} $,$ BC = 6 $,则$ \angle C $的度数为______；$ S_{\triangle ABC} = $______．
答案
30° 9
6.(教材变式)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ABC = 120^{\circ} $,$ D 是 AC $边上的点,$ BD \perp BC $,点$ D 在 AB $的垂直平分线上,$ DB = 2 $．求$ AC $的长．
答案
解：∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°．
∵∠ABC=120°，
∴∠DBA=30°．
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB=2，
∴∠A=∠DBA=30°．
∵∠ABC=120°，
∴∠C=30°．
∵∠DBC=90°，
∴CD=2DB=4，
∴AC=AD+CD=6．
∴∠DBC=90°．
∵∠ABC=120°，
∴∠DBA=30°．
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB=2，
∴∠A=∠DBA=30°．
∵∠ABC=120°，
∴∠C=30°．
∵∠DBC=90°，
∴CD=2DB=4，
∴AC=AD+CD=6．
7. 如图,在四边形$ ABCD $中,$ AD = BE $,$ \angle A = 90^{\circ} $,$ BD = BC $,$ CE \perp BD 于点 E $．
(1)求证：$ \triangle ABD \cong \triangle ECB $；
(2)若$ \angle DCE = 15^{\circ} $,$ AB = 2 $,求$ BC $的长．
(1)求证：$ \triangle ABD \cong \triangle ECB $；
(2)若$ \angle DCE = 15^{\circ} $,$ AB = 2 $,求$ BC $的长．
答案
解：(1)∵∠A=90°，CE⊥BD，
∴∠A=∠CEB=90°．
∵AD=BE，BD=BC，
∴Rt△ABD≌Rt△ECB(HL)；
(2)∵∠DCE=15°，CE⊥BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠BCE=60°，
∴∠CBE=30°，
∴BC=2CE．
又∵△ABD≌△ECB，
∴AB=CE=2，
∴BC=4．
∴∠A=∠CEB=90°．
∵AD=BE，BD=BC，
∴Rt△ABD≌Rt△ECB(HL)；
(2)∵∠DCE=15°，CE⊥BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠BCE=60°，
∴∠CBE=30°，
∴BC=2CE．
又∵△ABD≌△ECB，
∴AB=CE=2，
∴BC=4．
