7. (教材变式)如图,在四边形ABCD中,$\angle B = \angle C = 60^{\circ}$,P是边BC上一点,$CP = AB$,$\angle APD = \angle B$,判断$\triangle APD$的形状并证明你的结论。

解：$\triangle APD$ 为等边三角形。
证明如下：
$\because \angle APC=\angle APD+\angle CPD=\angle B+\angle BAP$，
$\angle APD=\angle B$，
$\therefore \angle CPD=\angle BAP$。
$\because \angle B=\angle C$，$CP = AB$，
$\therefore \triangle CPD\cong \triangle BAP(ASA)$，
$\therefore PD = AP$。
$\because \angle APD=\angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle APD$ 为等边三角形。

8. (教材变式)如图,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$OA = OB$,C为线段OB上一点,以AC为边在右侧作等边$\triangle ACD$,连接BD。
(1)求证：$DB// OA$；
(2)求证：$CB + BD = AB$。

证明：(1) $\because \angle AOB = 60^{\circ}$，$OA = OB$，
$\therefore \triangle AOB$ 为等边三角形，
$\therefore AB = OA$，$\angle OAB = 60^{\circ}=\angle CAD$，
$\therefore \angle OAC=\angle BAD$。
$\because AC = AD$，
$\therefore \triangle AOC\cong \triangle ABD$，
$\therefore \angle ABD=\angle O = 60^{\circ}=\angle OAB$，
$\therefore BD// OA$；
(2) $\because \triangle AOC\cong \triangle ABD$，
$\therefore BD = OC$，
$\therefore CB + BD = CB + OC = OB = AB$。

9. 如图,在等边$\triangle ABC$中,$DE// BC$交AB于点D,交AC于点E,延长DE至点F,$CG\perp DF$于点G,且$DG = FG$,连接CF。
(1)求证：$BD = CE$；
(2)求证：$EF = BC$。

证明：(1) $\because DE// BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B = 60^{\circ}$，
$\angle AED=\angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ADE$ 是等边三角形，
$\therefore AD = AE$。
$\because AB = AC$，
$\therefore BD = CE$；
(2) 连接 $CD$。
$\because CG\perp DF$，$DG = FG$，
$\therefore CF = CD$，
$\therefore \angle F=\angle CDF=\angle BCD$。
又 $\because \angle CEF=\angle AED=\angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDC\cong \triangle ECF$，
$\therefore EF = BC$。

10. (教材变式)如图,点D,E,F在等边$\triangle ABC$的边上,$AD = BF = CE$。
(1)求证：$DE = DF$,且$\angle EDF = 60^{\circ}$；
(2)若M为DE上一点,$\angle MAE = \angle EBC$,求证：$DM = ME$。

证明：(1) $\because \triangle ABC$ 为等边三角形，
$\therefore \angle BAC=\angle ABC = 60^{\circ}$，
$AB = AC = BC$。
$\because AD = CE$，
$\therefore BD = AE$。
$\because AD = BF$，
$\therefore \triangle ADE\cong \triangle BFD$，
$\therefore DE = DF$，$\angle AED=\angle BDF$，
$\therefore \angle EDF = 180^{\circ}-(\angle BDF+\angle ADE)$
$=180^{\circ}-(\angle AED+\angle ADE)$
$=\angle BAC$
$=60^{\circ}$；
(2) 延长 $AM$ 交 $BC$ 于点 $N$，连接 $EN$。
$\because \angle MAE=\angle EBC$，
$AC = BC$，$\angle C=\angle C$，
$\therefore \triangle CAN\cong \triangle CBE$，
$\therefore CN = CE$。
$\because \angle C = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ECN$ 为等边三角形，
$\therefore EN = CE = AD$，
$\angle NEC = 60^{\circ}=\angle BAC$，
$\therefore EN// AB$，
$\therefore \angle ENM=\angle DAM$。
$\because \angle NME=\angle AMD$，
$\therefore \triangle NME\cong \triangle AMD$，
$\therefore DM = ME$。