8.(2024呼伦贝尔中考改)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,以点$ A $为圆心,适当长为半径画弧分别交$ AB $,$ AC 于点 M 和点 N $,再分别以点$ M $,$ N $为圆心,大于$ \frac{1}{2}MN $的长为半径画弧,两弧交于点$ P $,连接$ AP 并延长交 BC 于点 D $,若$ \triangle ACD 的面积为 4 $,则$ \triangle ABD $的面积是______．

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9.(教材变式)如图,$ \triangle ABC $是等边三角形,$ D 是 AC $的中点,$ E 是 BC $延长线上一点,$ CE = CD $,$ ED 的延长线交 AB 于点 F $．
(1)求证：$ BE = 2BF $；
(2)求证：$ DE = 2DF $．

证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°．
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE．
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=30°，
∵∠ABC+∠E=90°，
∴∠BFE=90°，
∴BE=2BF；
(2)连接BD．
∵AB=BC，D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°=∠E．
∵∠BFE=90°，
∴DE=BD=2DF．

10.(教材变式)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle C = 45^{\circ} $,$ \angle A = 15^{\circ} $,$ BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D $,交$ AC 于点 E $,$ AB 的垂直平分线 FH 交 AB 于点 F $,交$ AC 于点 H $．求$ \frac{CE}{AH} $的值．

解：连接BE，BH．
∵HF垂直平分AB，DE垂直平分BC，
∴AH=BH，BE=CE，
∴∠A=∠ABH=15°，
∠C=∠EBC=45°，
∴∠BHE=2∠A=30°，
∠BEH=2∠C=90°，
∴BH=2BE，
∴AH=2CE，
∴$\frac{CE}{AH}=\frac{1}{2}$．

11.(2025原创题)如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle BAC = 120^{\circ} $,以$ BC 为腰在 \triangle ABC 外作等腰 \triangle BCE $,$ \angle BCE = 120^{\circ} $,过点$ E 作 ED \perp AC $,交$ AC 的延长线于点 D $．
(1)求证：$ \angle DCE = \angle ABC $；
(2)若$ AB = 5 $,$ AC = 2 $,求$ CD $的长．

解：(1)∵∠BAC=∠BCE=120°，
∠BCD=∠BCE+∠DCE
=∠BAC+∠ABC，
∴∠DCE=∠ABC；
(2)在CD上截取CF=AB，连接EF．
∵∠DCE=∠ABC，BC=CE，
∴△ABC≌△FCE，
∴AC=EF=2，
∠BAC=∠CFE=120°，
∴∠EFD=60°，
∴∠FED=30°．
∵∠D=90°，
∴FD=$\frac{1}{2}$EF=1，
∴CD=CF+DF=5+1=6．