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9. 若$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=2$，则$\frac {2x-xy+2y}{3x+5xy+3y}=$____。
答案
$\frac{3}{11}$
10. 设$a＞b＞0,a^{2}-ab-6b^{2}=0$，则$\frac {a+b}{b-a}$的值等于____。
答案
$-2$
11. 已知$x+y=-4,xy=-12$，求$\frac {y+1}{x+1}+\frac {x+1}{y+1}$的值。
答案
【解析】：
本题可先对$\frac{y + 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{y + 1}$进行通分，再将已知条件代入化简后的式子进行计算。
- **步骤一：对$\frac{y + 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{y + 1}$进行通分**
根据分式通分的原则，先找到两个分式分母的最简公分母$(x + 1)(y + 1)$，再将两个分式化为同分母分式进行相加：
$\frac{y + 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{y + 1}=\frac{(y + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)} + \frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)}=\frac{(y + 1)^2+(x + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)}$
- **步骤二：分别化简分子和分母**
**化简分子$(y + 1)^2+(x + 1)^2$：**
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$将上式展开可得：
$(y + 1)^2+(x + 1)^2=y^2+2y + 1 + x^2+2x + 1=x^2+y^2+2(x + y)+2$
再根据完全平方公式$(x + y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得$x^2+y^2=(x + y)^2-2xy$，将其代入上式可得：
$x^2+y^2+2(x + y)+2=(x + y)^2-2xy+2(x + y)+2$
**化简分母$(x + 1)(y + 1)$：**
根据多项式乘法法则将上式展开可得：
$(x + 1)(y + 1)=xy+x+y+1$
- **步骤三：将$x + y = -4$，$xy = -12$代入化简后的式子**
**代入分子：**
$(x + y)^2-2xy+2(x + y)+2=(-4)^2-2\times(-12)+2\times(-4)+2=16 + 24 - 8 + 2=34$
**代入分母：**
$xy+x+y+1=-12+(-4)+1=-15$
- **步骤四：计算最终结果**
将分子$34$和分母$-15$代入$\frac{(y + 1)^2+(x + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)}$可得：
$\frac{34}{-15}=-\frac{34}{15}$
【答案】：$-\frac{34}{15}$
本题可先对$\frac{y + 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{y + 1}$进行通分，再将已知条件代入化简后的式子进行计算。
- **步骤一：对$\frac{y + 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{y + 1}$进行通分**
根据分式通分的原则，先找到两个分式分母的最简公分母$(x + 1)(y + 1)$，再将两个分式化为同分母分式进行相加：
$\frac{y + 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{y + 1}=\frac{(y + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)} + \frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)}=\frac{(y + 1)^2+(x + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)}$
- **步骤二：分别化简分子和分母**
**化简分子$(y + 1)^2+(x + 1)^2$：**
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$将上式展开可得：
$(y + 1)^2+(x + 1)^2=y^2+2y + 1 + x^2+2x + 1=x^2+y^2+2(x + y)+2$
再根据完全平方公式$(x + y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得$x^2+y^2=(x + y)^2-2xy$，将其代入上式可得：
$x^2+y^2+2(x + y)+2=(x + y)^2-2xy+2(x + y)+2$
**化简分母$(x + 1)(y + 1)$：**
根据多项式乘法法则将上式展开可得：
$(x + 1)(y + 1)=xy+x+y+1$
- **步骤三：将$x + y = -4$，$xy = -12$代入化简后的式子**
**代入分子：**
$(x + y)^2-2xy+2(x + y)+2=(-4)^2-2\times(-12)+2\times(-4)+2=16 + 24 - 8 + 2=34$
**代入分母：**
$xy+x+y+1=-12+(-4)+1=-15$
- **步骤四：计算最终结果**
将分子$34$和分母$-15$代入$\frac{(y + 1)^2+(x + 1)^2}{(x + 1)(y + 1)}$可得：
$\frac{34}{-15}=-\frac{34}{15}$
【答案】：$-\frac{34}{15}$
12. 4月23日是“世界读书日”，某中学为了开展“书香家庭，相伴共读”亲子阅读活动，计划从书店购进A、B两类图书若干本，A类图书的单价比B类图书的单价多5元，用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同，求A类图书和B类图书的单价各为多少元？
答案
【解析】：设$B$类图书的单价为$x$元，因为$A$类图书的单价比$B$类图书的单价多$5$元，所以$A$类图书的单价为$(x + 5)$元。
根据“用$1000$元购进的$A$类图书与用$750$元购进的$B$类图书的本数相同”这一条件，可列出等式：$\frac{1000}{x + 5}=\frac{750}{x}$。
接下来求解这个方程：
- 方程两边同时乘以$x(x + 5)$去分母得：$1000x = 750(x + 5)$。
- 展开括号得：$1000x = 750x + 3750$。
- 移项得：$1000x - 750x = 3750$。
- 合并同类项得：$250x = 3750$。
- 系数化为$1$得：$x = 15$。
把$x = 15$代入$x(x + 5)=15\times(15 + 5)=15\times20 = 300\neq0$，所以$x = 15$是原分式方程的解。
则$A$类图书的单价为：$x + 5 = 15 + 5 = 20$（元）。
【答案】：$A$类图书单价为$20$元，$B$类图书单价为$15$元。
根据“用$1000$元购进的$A$类图书与用$750$元购进的$B$类图书的本数相同”这一条件，可列出等式：$\frac{1000}{x + 5}=\frac{750}{x}$。
接下来求解这个方程：
- 方程两边同时乘以$x(x + 5)$去分母得：$1000x = 750(x + 5)$。
- 展开括号得：$1000x = 750x + 3750$。
- 移项得：$1000x - 750x = 3750$。
- 合并同类项得：$250x = 3750$。
- 系数化为$1$得：$x = 15$。
把$x = 15$代入$x(x + 5)=15\times(15 + 5)=15\times20 = 300\neq0$，所以$x = 15$是原分式方程的解。
则$A$类图书的单价为：$x + 5 = 15 + 5 = 20$（元）。
【答案】：$A$类图书单价为$20$元，$B$类图书单价为$15$元。
13. 探索问题：
(1) 请你任意写出五个正的真分数：____，____，____，____，____。请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：____，____，____，____，____。
(2) 比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是$\frac {a}{b}$($a,b$均为正数，$a＜b$)，给其分子、分母同加上一个正数$m$，得$\frac {a+m}{b+m}$，则两个分数的大小关系是$\frac {a+m}{b+m}$____$\frac {a}{b}$。
(3) 请你用文字叙述(2)中结论的含义：____。
(4) 这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活中与数学相关的问题。请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。例如：①若$\frac {a}{b}$是假分数，会有怎样的结论？②一杯$b$克糖水，内含糖$a$克，糖水浓度$=\frac {a}{b}(0＜a＜b)$，若再往杯中加$m$克糖，糖水的浓度是$\frac {a+m}{b+m}$，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了。
(1) 请你任意写出五个正的真分数：____，____，____，____，____。请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：____，____，____，____，____。
(2) 比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是$\frac {a}{b}$($a,b$均为正数，$a＜b$)，给其分子、分母同加上一个正数$m$，得$\frac {a+m}{b+m}$，则两个分数的大小关系是$\frac {a+m}{b+m}$____$\frac {a}{b}$。
(3) 请你用文字叙述(2)中结论的含义：____。
(4) 这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活中与数学相关的问题。请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。例如：①若$\frac {a}{b}$是假分数，会有怎样的结论？②一杯$b$克糖水，内含糖$a$克，糖水浓度$=\frac {a}{b}(0＜a＜b)$，若再往杯中加$m$克糖，糖水的浓度是$\frac {a+m}{b+m}$，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了。
答案
【解析】：
1. 对于（1）：
正的真分数是指分子小于分母且分子、分母都是正数的分数，我们可以任意选取，如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$。
给每个分数的分子和分母同加上一个正数，这里我们加$1$，得到新分数$\frac{1 + 1}{2+1}=\frac{2}{3}$，$\frac{1 + 1}{3 + 1}=\frac{2}{4}$，$\frac{2+1}{3 + 1}=\frac{3}{4}$，$\frac{2 + 1}{5+1}=\frac{3}{6}$，$\frac{3+1}{4 + 1}=\frac{4}{5}$。
2. 对于（2）：
比较$\frac{a + m}{b + m}$与$\frac{a}{b}$的大小，可通过作差法：
$\frac{a + m}{b + m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a + m)-a(b + m)}{b(b + m)}=\frac{ab+bm - ab - am}{b(b + m)}=\frac{(b - a)m}{b(b + m)}$。
因为$a\lt b$，$a,b,m$均为正数，所以$b - a\gt0$，$m\gt0$，$b\gt0$，$b + m\gt0$，则$\frac{(b - a)m}{b(b + m)}\gt0$，即$\frac{a + m}{b + m}-\frac{a}{b}\gt0$，所以$\frac{a + m}{b + m}\gt\frac{a}{b}$。
3. 对于（3）：
用文字叙述（2）中结论的含义：一个正的真分数的分子、分母同时加上一个正数后，所得的新分数大于原分数。
4. 对于（4）：
类似的数学问题或生活例子可以有很多，如：一个班级的及格率是$\frac{a}{b}$（$a$是及格人数，$b$是总人数，$a\lt b$），后来又有$m$人经过补考后及格了，那么及格率变为$\frac{a + m}{b + m}$，及格率提高了。
【答案】：
(1)$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$；$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{6}$，$\frac{4}{5}$
(2)$＞$
(3)一个正的真分数的分子、分母同时加上一个正数后，所得的新分数大于原分数
(4)一个班级的及格率是$\frac{a}{b}$（$a$是及格人数，$b$是总人数，$a\lt b$），后来又有$m$人经过补考后及格了，那么及格率变为$\frac{a + m}{b + m}$，及格率提高了。（答案不唯一）
1. 对于（1）：
正的真分数是指分子小于分母且分子、分母都是正数的分数，我们可以任意选取，如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$。
给每个分数的分子和分母同加上一个正数，这里我们加$1$，得到新分数$\frac{1 + 1}{2+1}=\frac{2}{3}$，$\frac{1 + 1}{3 + 1}=\frac{2}{4}$，$\frac{2+1}{3 + 1}=\frac{3}{4}$，$\frac{2 + 1}{5+1}=\frac{3}{6}$，$\frac{3+1}{4 + 1}=\frac{4}{5}$。
2. 对于（2）：
比较$\frac{a + m}{b + m}$与$\frac{a}{b}$的大小，可通过作差法：
$\frac{a + m}{b + m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a + m)-a(b + m)}{b(b + m)}=\frac{ab+bm - ab - am}{b(b + m)}=\frac{(b - a)m}{b(b + m)}$。
因为$a\lt b$，$a,b,m$均为正数，所以$b - a\gt0$，$m\gt0$，$b\gt0$，$b + m\gt0$，则$\frac{(b - a)m}{b(b + m)}\gt0$，即$\frac{a + m}{b + m}-\frac{a}{b}\gt0$，所以$\frac{a + m}{b + m}\gt\frac{a}{b}$。
3. 对于（3）：
用文字叙述（2）中结论的含义：一个正的真分数的分子、分母同时加上一个正数后，所得的新分数大于原分数。
4. 对于（4）：
类似的数学问题或生活例子可以有很多，如：一个班级的及格率是$\frac{a}{b}$（$a$是及格人数，$b$是总人数，$a\lt b$），后来又有$m$人经过补考后及格了，那么及格率变为$\frac{a + m}{b + m}$，及格率提高了。
【答案】：
(1)$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$；$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{6}$，$\frac{4}{5}$
(2)$＞$
(3)一个正的真分数的分子、分母同时加上一个正数后，所得的新分数大于原分数
(4)一个班级的及格率是$\frac{a}{b}$（$a$是及格人数，$b$是总人数，$a\lt b$），后来又有$m$人经过补考后及格了，那么及格率变为$\frac{a + m}{b + m}$，及格率提高了。（答案不唯一）
