【例 1】为响应建设“绿色城市”的号召，某单位准备将院内一块长 $30 m$，宽 $20 m$ 的矩形空地建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图 21.3 - 5(示意图)所示.要使种植花草的面积为 $532 m^2$，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
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图 21.3 - 5
思考 1：根据等底等高的平行四边形与矩形的面积，可将图 21.3 - 5 转化为图 21.3 - 6 所示的形式.
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图 21.3 - 6
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图 21.3 - 7
思考 2：利用图形的，把图 21.3 - 6 转化为图 21.3 - 7 所示的形式.
思考 3：由图 21.3 - 7 可知，种植花草部分是一个，若设小道进出口的宽度为 $x m$，则矩形长为$m$，宽为$m$，故根据其面积可列方程.
解：

思考1:相等 思考2:平移 思考3:矩形 $30-2x$ $20-x$ $(30-2x)(20-x)=532$ 解:小道进出口的宽度应为1 m.

设小道进出口的宽度为$x\ m$。
根据题意，种植花草部分可转化为一个矩形，其长为$(30 - 2x)\ m$，宽为$(20 - x)\ m$，面积为$532\ m^2$，则可列方程：
$(30 - 2x)(20 - x) = 532$
展开并整理方程：
$600 - 30x - 40x + 2x^2 = 532$
$2x^2 - 70x + 68 = 0$
$x^2 - 35x + 34 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(x - 34) = 0$
解得：
$x_1 = 1,\ x_2 = 34$
因为$x = 34$时，$20 - x = -14$（不合题意，舍去），所以$x = 1$。
小道进出口的宽度应为$1\ m$。

1. 如图 21.3 - 9，某农场有一块长为 $40 m$、宽为 $32 m$ 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路.要使种植面积为 $1140 m^2$，求小路的宽.
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图 21.3 - 9

1.解:小路的宽为2 m.

解:设小路的宽为$x\ m$.
根据题意,得$(40 - x)(32 - x)=1140$.
展开并整理,得$x^{2}-72x + 140=0$.
解得$x_{1}=2$,$x_{2}=70$(不合题意,舍去).
答:小路的宽为$2\ m$.

【例 2】有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 $8$，把十位上的数字与个位上的数字调换位置后所得的新两位数乘原来的两位数得 $1855$，求原来的两位数.
解：

解:原来的两位数是35 或53.

解：设原来的两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$8 - x$，原来的两位数为$10x + (8 - x) = 9x + 8$，新两位数为$10(8 - x) + x = 80 - 9x$。
根据题意，得$(9x + 8)(80 - 9x) = 1855$，
整理，得$x^2 - 8x + 15 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 5$。
当$x = 3$时，$8 - x = 5$，原来的两位数是$35$；
当$x = 5$时，$8 - x = 3$，原来的两位数是$53$。
原来的两位数是$35$或$53$。