7. 如图23 - 1 - 1 - 8,在等边三角形 $ ABC $ 中,$ D $ 是边 $ AC $ 上一点,连接 $ BD $,将 $\triangle BCD$ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $,得到 $\triangle BAE$,连接 $ ED $,若 $ BC = 5 $,$ BD = 4 $,则下列结论错误的是()

A.$ AE // BC $
B.$ \angle ADE = \angle BDC $
C.$ \triangle BDE $ 是等边三角形
D.$ \triangle ADE $ 的周长是 $ 9 $

B

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ABC=∠C=60°．
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，AE=CD，∠BAE=∠C=60°，∠AEB=∠CDB．
∵BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，故C正确．
∵∠BAE=60°，∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE//BC，故A正确．
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4．
∵AE=CD，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DE=AC+DE=5+4=9，故D正确．
结论错误的是B．
B

8. 如图23 - 1 - 1 - 9,在边长为 $ 6 $ 的正方形 $ ABCD $ 内作 $ \angle EAF = 45^{\circ} $,$ AE $ 交 $ BC $ 于点 $ E $,$ AF $ 交 $ CD $ 于点 $ F $,连接 $ EF $,将 $\triangle ADF$ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $\triangle ABG$。若 $ DF = 3 $,则 $ BE $ 的长为。

2

∵四边形$ABCD$是正方形，边长为$6$，
∴$AB=AD=6$，$\angle BAD=\angle ABC=\angle D=90^{\circ}$。
∵$\triangle ADF$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABG$，
∴$AG=AF$，$BG=DF=3$，$\angle BAG=\angle DAF$，$\angle ABG=\angle D=90^{\circ}$。
∵$\angle ABC=90^{\circ}$，
∴$\angle ABG+\angle ABC=180^{\circ}$，
∴点$G$、$B$、$C$在同一条直线上。
∵$\angle EAF=45^{\circ}$，
∴$\angle BAE+\angle DAF=45^{\circ}$，
∴$\angle BAE+\angle BAG=45^{\circ}$，即$\angle GAE=45^{\circ}$。
在$\triangle GAE$和$\triangle FAE$中，
$\begin{cases}AG=AF\\\angle GAE=\angle FAE\\AE=AE\end{cases}$，
∴$\triangle GAE\cong\triangle FAE(SAS)$，
∴$GE=EF$。
设$BE=x$，则$EC=6 - x$，$CF=CD - DF=6 - 3=3$，$GE=BG + BE=3 + x$，$EF=3 + x$。
在$Rt\triangle ECF$中，根据勾股定理得：$EC^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，
即$(6 - x)^{2}+3^{2}=(x + 3)^{2}$，
解得$x=2$，
∴$BE$的长为$2$。
$2$

9. 如图23 - 1 - 1 - 10,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$ AC = BC $,$ D $ 是 $ AB $ 边上一点(点 $ D $ 与 $ A $,$ B $ 不重合),连接 $ CD $,将线段 $ CD $ 绕点 $ C $ 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ CE $,连接 $ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ BE $。
(1)求证：$\triangle ACD \cong \triangle BCE$；
(2)当 $ AD = BF $ 时,求 $ \angle BEF $ 的度数。

1. （1）证明：
因为线段$CD$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到线段$CE$，所以$CD = CE$，$\angle DCE=90^{\circ}$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB=\angle DCE$，即$\angle ACB-\angle DCB=\angle DCE - \angle DCB$，所以$\angle ACD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中：
已知$AC = BC$（题目条件），$\angle ACD=\angle BCE$（已证），$CD = CE$（旋转性质）。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
2. （2）
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，所以$\angle A=\angle ABC = 45^{\circ}$。
由（1）知$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD = BE$，$\angle A=\angle CBE = 45^{\circ}$。
又因为$AD = BF$，所以$BE = BF$。
在$\triangle BEF$中，根据等腰三角形的性质，$\angle BEF=\angle BFE$。
根据三角形内角和定理$\angle BEF+\angle BFE+\angle CBE = 180^{\circ}$，把$\angle CBE = 45^{\circ}$代入可得：
$2\angle BEF+45^{\circ}=180^{\circ}$。
移项可得$2\angle BEF=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
解得$\angle BEF = 67.5^{\circ}$。
综上，（1）得证；（2）$\angle BEF$的度数为$67.5^{\circ}$。

10. 如图23 - 1 - 1 - 11①,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$ AB = AC = \sqrt{2} + 1 $,点 $ D $,$ E $ 分别在边 $ AB $,$ AC $ 上,且 $ AD = AE = 1 $,连接 $ DE $。现将 $\triangle ADE$ 绕点 $ A $ 顺时针旋转,旋转角为 $ \alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 360^{\circ}) $,如图23 - 1 - 1 - 11②,连接 $ CE $,$ BD $,$ CD $。
(1)当 $ 0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ} $ 时,求证：$ CE = BD $；
(2)如图23 - 1 - 1 - 11③,当 $ \alpha = 90^{\circ} $ 时,延长 $ CE $ 交 $ BD $ 于点 $ F $,求证：$ CF $ 垂直平分 $ BD $。

(1)略
(2)证明:根据题意得AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°,
在△ACE和△ABD中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAE=∠BAD,\\ AE=AD,\end{array}\right.$
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴∠ACE=∠ABD。
∵∠ACE+∠AEC=90°,且∠AEC=∠FEB,
∴∠ABD+∠FEB=90°,
∴∠EFB=90°,
∴CF⊥BD。
∵AB=AC=$\sqrt{2}+1$,AD=AE=1,∠CAB=∠EAD=90°,
∴BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}+2$,CD=AC+AD=$\sqrt{2}$+2,
∴BC=CD。
∵CF⊥BD,
∴CF是线段BD的垂直平分线。