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4. 如图12-2-9所示,小松所在小组利用一个质量为1 kg的秤砣,一根总长度为1 m粗细均匀、质量均匀分布的金属细管AB,一个金属筐,制成了一个杆秤,移动悬吊点至O点时,杠杆恰好在水平位置平衡(此时未挂秤砣),测得OB为4 cm,称重时(根据物重大小秤砣可在OA之间移动至重新平衡)为了从杆秤上准确读出重物的质量,从O点开始,沿OA每隔1 cm标出对应的质量刻度,则该杆秤每一小格(相邻刻度线之间的距离)表示kg。
答案
0.25
解析
【分析】
首先，未挂秤砣和重物时杠杆已平衡，说明杆秤自身（金属管和筐）的力矩相互抵消，称重时只需考虑重物与秤砣的力矩平衡。根据杠杆平衡条件，重物的重力乘以OB的长度等于秤砣的重力乘以秤砣到O点的距离，设每小格对应的质量为未知量，代入公式即可求解。
【解析】
设每一小格表示的质量为$ m $ kg，已知秤砣质量$ m_{砣}=1\ \mathrm{kg} $，$ OB=4\ \mathrm{cm} $，秤砣移动的距离$ L=1\ \mathrm{cm} $。
由于杆秤自重的力矩已平衡，称重时根据杠杆平衡条件$ F_1L_1=F_2L_2 $，可得：
$ m · g · OB = m_{砣} · g · L $
约去$ g $，代入数据：
$ m × 4\ \mathrm{cm} = 1\ \mathrm{kg} × 1\ \mathrm{cm} $
解得：$ m = \frac{1\ \mathrm{kg} × 1\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{cm}} = 0.25\ \mathrm{kg} $
【答案】
0.25
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题关键是理解杆秤自重平衡后，称重时可忽略自重的影响，直接利用重物和秤砣的力矩平衡进行计算，考查了杠杆平衡条件的实际应用。
【难度系数】
0.6
首先，未挂秤砣和重物时杠杆已平衡，说明杆秤自身（金属管和筐）的力矩相互抵消，称重时只需考虑重物与秤砣的力矩平衡。根据杠杆平衡条件，重物的重力乘以OB的长度等于秤砣的重力乘以秤砣到O点的距离，设每小格对应的质量为未知量，代入公式即可求解。
【解析】
设每一小格表示的质量为$ m $ kg，已知秤砣质量$ m_{砣}=1\ \mathrm{kg} $，$ OB=4\ \mathrm{cm} $，秤砣移动的距离$ L=1\ \mathrm{cm} $。
由于杆秤自重的力矩已平衡，称重时根据杠杆平衡条件$ F_1L_1=F_2L_2 $，可得：
$ m · g · OB = m_{砣} · g · L $
约去$ g $，代入数据：
$ m × 4\ \mathrm{cm} = 1\ \mathrm{kg} × 1\ \mathrm{cm} $
解得：$ m = \frac{1\ \mathrm{kg} × 1\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{cm}} = 0.25\ \mathrm{kg} $
【答案】
0.25
【知识点】
杠杆平衡条件
【点评】
本题关键是理解杆秤自重平衡后，称重时可忽略自重的影响，直接利用重物和秤砣的力矩平衡进行计算，考查了杠杆平衡条件的实际应用。
【难度系数】
0.6
5. 某物理兴趣小组制作好的杆秤如图12-2-10所示(A、B、C均已固定),未挂钩码时,提起B处的提纽,秤杆恰好水平平衡(可视为秤杆、烧杯和提纽的质量均忽略不计),A处为最大刻度线,AB长14 cm,BC长3.5 cm,钩码质量为100 g,杆秤分度值为20 g,小组继续将其改装成测量液体密度的装置,于是对杆秤的刻度进行重新标度,烧杯内液体体积$V=100\ \mathrm{mL}$(液面在标记处),则AB中点位置,密度应该标$\mathrm{g/cm}^3$;进一步发现此装置刻度是(选填"均匀"或"不均匀")的,该密度计可鉴别密度差异不小于$\mathrm{g/cm}^3$的液体。
答案
2
均匀
0.2
均匀
0.2
解析
【分析】
本题考查杠杆平衡条件的应用以及密度计的刻度特点，解题思路如下：
1. 首先利用杠杆平衡条件，计算AB中点位置对应的液体质量，再结合液体体积求出密度；
2. 通过推导密度与力臂的关系式，判断刻度是否均匀；
3. 根据杆秤的分度值，计算对应的密度变化量，得到可鉴别的最小密度差异。
【解析】
已知钩码质量$ m_0 = 100\ \mathrm{g} $，$ AB = 14\ \mathrm{cm} $，$ BC = 3.5\ \mathrm{cm} $，液体体积$ V = 100\ \mathrm{mL} = 100\ \mathrm{cm}^3 $。
1. 计算AB中点位置的密度：
AB中点到B的距离$ L_1 = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 14\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm} $。
根据杠杆平衡条件$ F_1L_1 = F_2L_2 $，即$ m_0gL_1 = m_{\mathrm{液}}gBC $（烧杯质量忽略不计），化简得：
$ m_{\mathrm{液}} = \frac{m_0L_1}{BC} = \frac{100\ \mathrm{g} × 7\ \mathrm{cm}}{3.5\ \mathrm{cm}} = 200\ \mathrm{g} $。
液体密度$ \rho = \frac{m_{\mathrm{液}}}{V} = \frac{200\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 2\ \mathrm{g/cm}^3 $。
2. 判断刻度是否均匀：
设某刻度到B点的距离为$ L $，对应的液体质量为$ m'_{\mathrm{液}} $，由杠杆平衡条件得：
$ m_0gL = m'_{\mathrm{液}}gBC $，则$ m'_{\mathrm{液}} = \frac{m_0}{BC}L $。
液体密度$ \rho = \frac{m'_{\mathrm{液}}}{V} = \frac{m_0}{BC · V}L $。
由于$ m_0 $、$ BC $、$ V $均为定值，因此$ \rho $与$ L $成正比例关系，说明装置的刻度是均匀的。
3. 计算可鉴别的最小密度差异：
杆秤分度值为20g，即最小质量变化$ \Delta m = 20\ \mathrm{g} $，对应的密度变化：
$ \Delta \rho = \frac{\Delta m}{V} = \frac{20\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 0.2\ \mathrm{g/cm}^3 $，即该密度计可鉴别密度差异不小于$ 0.2\ \mathrm{g/cm}^3 $的液体。
【答案】
2；均匀；0.2
【知识点】
杠杆平衡条件；密度计算；密度计刻度特点
【点评】
本题将杠杆平衡与密度测量结合，需要灵活运用杠杆平衡公式推导密度与力臂的关系，理解正比例关系对应均匀刻度，同时明确分度值与密度差异的联系，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题考查杠杆平衡条件的应用以及密度计的刻度特点，解题思路如下：
1. 首先利用杠杆平衡条件，计算AB中点位置对应的液体质量，再结合液体体积求出密度；
2. 通过推导密度与力臂的关系式，判断刻度是否均匀；
3. 根据杆秤的分度值，计算对应的密度变化量，得到可鉴别的最小密度差异。
【解析】
已知钩码质量$ m_0 = 100\ \mathrm{g} $，$ AB = 14\ \mathrm{cm} $，$ BC = 3.5\ \mathrm{cm} $，液体体积$ V = 100\ \mathrm{mL} = 100\ \mathrm{cm}^3 $。
1. 计算AB中点位置的密度：
AB中点到B的距离$ L_1 = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 14\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm} $。
根据杠杆平衡条件$ F_1L_1 = F_2L_2 $，即$ m_0gL_1 = m_{\mathrm{液}}gBC $（烧杯质量忽略不计），化简得：
$ m_{\mathrm{液}} = \frac{m_0L_1}{BC} = \frac{100\ \mathrm{g} × 7\ \mathrm{cm}}{3.5\ \mathrm{cm}} = 200\ \mathrm{g} $。
液体密度$ \rho = \frac{m_{\mathrm{液}}}{V} = \frac{200\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 2\ \mathrm{g/cm}^3 $。
2. 判断刻度是否均匀：
设某刻度到B点的距离为$ L $，对应的液体质量为$ m'_{\mathrm{液}} $，由杠杆平衡条件得：
$ m_0gL = m'_{\mathrm{液}}gBC $，则$ m'_{\mathrm{液}} = \frac{m_0}{BC}L $。
液体密度$ \rho = \frac{m'_{\mathrm{液}}}{V} = \frac{m_0}{BC · V}L $。
由于$ m_0 $、$ BC $、$ V $均为定值，因此$ \rho $与$ L $成正比例关系，说明装置的刻度是均匀的。
3. 计算可鉴别的最小密度差异：
杆秤分度值为20g，即最小质量变化$ \Delta m = 20\ \mathrm{g} $，对应的密度变化：
$ \Delta \rho = \frac{\Delta m}{V} = \frac{20\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 0.2\ \mathrm{g/cm}^3 $，即该密度计可鉴别密度差异不小于$ 0.2\ \mathrm{g/cm}^3 $的液体。
【答案】
2；均匀；0.2
【知识点】
杠杆平衡条件；密度计算；密度计刻度特点
【点评】
本题将杠杆平衡与密度测量结合，需要灵活运用杠杆平衡公式推导密度与力臂的关系，理解正比例关系对应均匀刻度，同时明确分度值与密度差异的联系，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
6. 学了杠杆知识后,小吉在综合实践活动中制作杆秤,他取一根质量均匀分布的圆木棒,测得木棒AB长度为80 cm,质量为50 g;一质量为350 g的小盘和一个未知质量的螺母。($g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)
(1)如图12-2-11甲所示,小吉将小盘悬于棒的A端,用细线在O点提起木棒,木棒恰好水平平衡,而则OA为多长?
(2)小吉用螺母作为秤砣,他用调节好的托盘天平去测量螺母的质量,平衡时砝码的质量及游码在标尺上的位置如图12-2-11乙所示,则螺母的质量为g。
(3)小吉用该杆秤称某物体的质量,平衡时的情形如图12-2-11丙所示,则该物体的质量有多大?
(1)如图12-2-11甲所示,小吉将小盘悬于棒的A端,用细线在O点提起木棒,木棒恰好水平平衡,而则OA为多长?
(2)小吉用螺母作为秤砣,他用调节好的托盘天平去测量螺母的质量,平衡时砝码的质量及游码在标尺上的位置如图12-2-11乙所示,则螺母的质量为g。
(3)小吉用该杆秤称某物体的质量,平衡时的情形如图12-2-11丙所示,则该物体的质量有多大?
答案
6.(1)设木棒自身重力的力臂为l木棒，
根据杠杆平衡条件，可得:
G木棒×l木棒=G小盘×OA,
m木棒g×(40cm−OA)=m小盘g×OA,
50g×(40cm−0A)=350g×0A,
解得:OA=5cm;
(2)100
(3)当杆秤平衡时:
m螺母g×OB=m物g×OA,
m螺母×75cm=m物×5cm,
m物=$\frac{75cm}{5cm}$×m螺母=15×100g=1500g。
根据杠杆平衡条件，可得:
G木棒×l木棒=G小盘×OA,
m木棒g×(40cm−OA)=m小盘g×OA,
50g×(40cm−0A)=350g×0A,
解得:OA=5cm;
(2)100
(3)当杆秤平衡时:
m螺母g×OB=m物g×OA,
m螺母×75cm=m物×5cm,
m物=$\frac{75cm}{5cm}$×m螺母=15×100g=1500g。
解析
【分析】
1. 第(1)问：首先明确均匀木棒的重心在其中点（距离A端40cm处），杠杆平衡时，小盘的重力与OA的乘积等于木棒自身重力与木棒重心到O点距离的乘积。利用杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，由于重力$G=mg$，g可约去，因此用质量和力臂的乘积相等列方程即可求解OA的长度。
2. 第(2)问：天平读数为砝码质量与游码示数之和，图中砝码质量为100g，游码在0刻度线处，直接相加就能得到螺母质量。
3. 第(3)问：先根据第(1)问结论算出OB的长度，再利用杠杆平衡条件，结合第(1)问的平衡关系简化方程，进而求出物体的质量。
【解析】
(1) 由于木棒质量均匀分布，其重心在AB中点，距离A端$40\ \mathrm{cm}$，设$OA$的长度为$l$，则木棒重心到O点的距离为$(40\ \mathrm{cm}-l)$。
根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，结合$G=mg$，可得：
$m_{木棒}g×(40\ \mathrm{cm}-l)=m_{小盘}g× l$
约去$g$，代入$m_{木棒}=50\ \mathrm{g}$，$m_{小盘}=350\ \mathrm{g}$：
$50\ \mathrm{g}×(40\ \mathrm{cm}-l)=350\ \mathrm{g}× l$
展开得：$2000\ \mathrm{g· cm}-50\ \mathrm{g}× l=350\ \mathrm{g}× l$
移项整理：$400\ \mathrm{g}× l=2000\ \mathrm{g· cm}$
解得：$l=5\ \mathrm{cm}$，即$OA=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 天平读数为砝码质量加游码示数，图中砝码质量为$100\ \mathrm{g}$，游码对应刻度为$0\ \mathrm{g}$，因此螺母的质量$m_{砣}=100\ \mathrm{g}+0\ \mathrm{g}=100\ \mathrm{g}$。
(3) 由$AB=80\ \mathrm{cm}$，$OA=5\ \mathrm{cm}$，可得$OB=AB-OA=80\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=75\ \mathrm{cm}$。
设物体质量为$m$，根据杠杆平衡条件：
$(m_{小盘}+m)g× OA=m_{木棒}g×(40\ \mathrm{cm}-OA)+m_{砣}g× OB$
结合第(1)问结论$m_{木棒}g×(40\ \mathrm{cm}-OA)=m_{小盘}g× OA$，代入上式：
$(m_{小盘}+m)g× OA=m_{小盘}g× OA+m_{砣}g× OB$
约去$g$并整理：
$m× OA=m_{砣}× OB$
代入数据：
$m×5\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{g}×75\ \mathrm{cm}$
解得：$m=\frac{100\ \mathrm{g}×75\ \mathrm{cm}}{5\ \mathrm{cm}}=1500\ \mathrm{g}=1.5\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{100}$
(3) $\boldsymbol{1.5\ \mathrm{kg}}$（或$\boldsymbol{1500\ \mathrm{g}}$）
【知识点】
杠杆平衡条件、天平的使用、杠杆的应用
【点评】
本题结合杆秤制作，综合考查杠杆平衡条件的应用与天平读数，解题关键是找准杠杆力臂，合理利用平衡条件列方程，同时需明确均匀物体的重心位置。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：首先明确均匀木棒的重心在其中点（距离A端40cm处），杠杆平衡时，小盘的重力与OA的乘积等于木棒自身重力与木棒重心到O点距离的乘积。利用杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，由于重力$G=mg$，g可约去，因此用质量和力臂的乘积相等列方程即可求解OA的长度。
2. 第(2)问：天平读数为砝码质量与游码示数之和，图中砝码质量为100g，游码在0刻度线处，直接相加就能得到螺母质量。
3. 第(3)问：先根据第(1)问结论算出OB的长度，再利用杠杆平衡条件，结合第(1)问的平衡关系简化方程，进而求出物体的质量。
【解析】
(1) 由于木棒质量均匀分布，其重心在AB中点，距离A端$40\ \mathrm{cm}$，设$OA$的长度为$l$，则木棒重心到O点的距离为$(40\ \mathrm{cm}-l)$。
根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，结合$G=mg$，可得：
$m_{木棒}g×(40\ \mathrm{cm}-l)=m_{小盘}g× l$
约去$g$，代入$m_{木棒}=50\ \mathrm{g}$，$m_{小盘}=350\ \mathrm{g}$：
$50\ \mathrm{g}×(40\ \mathrm{cm}-l)=350\ \mathrm{g}× l$
展开得：$2000\ \mathrm{g· cm}-50\ \mathrm{g}× l=350\ \mathrm{g}× l$
移项整理：$400\ \mathrm{g}× l=2000\ \mathrm{g· cm}$
解得：$l=5\ \mathrm{cm}$，即$OA=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 天平读数为砝码质量加游码示数，图中砝码质量为$100\ \mathrm{g}$，游码对应刻度为$0\ \mathrm{g}$，因此螺母的质量$m_{砣}=100\ \mathrm{g}+0\ \mathrm{g}=100\ \mathrm{g}$。
(3) 由$AB=80\ \mathrm{cm}$，$OA=5\ \mathrm{cm}$，可得$OB=AB-OA=80\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=75\ \mathrm{cm}$。
设物体质量为$m$，根据杠杆平衡条件：
$(m_{小盘}+m)g× OA=m_{木棒}g×(40\ \mathrm{cm}-OA)+m_{砣}g× OB$
结合第(1)问结论$m_{木棒}g×(40\ \mathrm{cm}-OA)=m_{小盘}g× OA$，代入上式：
$(m_{小盘}+m)g× OA=m_{小盘}g× OA+m_{砣}g× OB$
约去$g$并整理：
$m× OA=m_{砣}× OB$
代入数据：
$m×5\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{g}×75\ \mathrm{cm}$
解得：$m=\frac{100\ \mathrm{g}×75\ \mathrm{cm}}{5\ \mathrm{cm}}=1500\ \mathrm{g}=1.5\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{100}$
(3) $\boldsymbol{1.5\ \mathrm{kg}}$（或$\boldsymbol{1500\ \mathrm{g}}$）
【知识点】
杠杆平衡条件、天平的使用、杠杆的应用
【点评】
本题结合杆秤制作，综合考查杠杆平衡条件的应用与天平读数，解题关键是找准杠杆力臂，合理利用平衡条件列方程，同时需明确均匀物体的重心位置。
【难度系数】
0.6
