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9. 已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是()
A.10与16
B.12与16
C.20与22
D.10与18
A.10与16
B.12与16
C.20与22
D.10与18
答案
C
解析
根据平行四边形对角线互相平分的性质，将各选项中两条对角线长度分别取一半，与边长14验证三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）：
选项A：对角线一半为5和8，5+8=13＜14，不满足；
选项B：对角线一半为6和8，6+8=14，不满足两边之和大于第三边；
选项C：对角线一半为10和11，10+11＞14，11-10＜14，满足；
选项D：对角线一半为5和9，5+9=14，不满足两边之和大于第三边。
综上，只有选项C符合条件。
选项A：对角线一半为5和8，5+8=13＜14，不满足；
选项B：对角线一半为6和8，6+8=14，不满足两边之和大于第三边；
选项C：对角线一半为10和11，10+11＞14，11-10＜14，满足；
选项D：对角线一半为5和9，5+9=14，不满足两边之和大于第三边。
综上，只有选项C符合条件。
10. 如图6-1-23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E，若AB=3，AC=4，AD=5，则△AFO与△BOE的面积之和是_______.
答案
3
11. 如图6-1-24，梯形ABCD中，DC//AB，AD=BC，AC平分∠DAB，∠DCA=30°，DC=3 cm，则∠BCA=_______°，梯形ABCD的周长为_______cm.
答案
90；15
12. 如图6-1-25，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM//CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F.求证：BE=DF.
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABE=∠CDF。
∵ AM//CN，
∴ ∠AEB=∠CFD。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD\\∠ABE=∠CDF\\AB=CD\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（AAS），
∴ BE=DF。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABE=∠CDF。
∵ AM//CN，
∴ ∠AEB=∠CFD。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD\\∠ABE=∠CDF\\AB=CD\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（AAS），
∴ BE=DF。
13. 已知：如图6-1-26，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
(1)如图①，求证：OE=OF.
(2)如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2√{2}，∠DOF=∠α.
(Ⅰ)求∠DAO的度数，并且写出当∠α为多少度时，EF⊥AC；
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下，连接AF，则△ADF的周长为.(直接写出答案)
]
(1)如图①，求证：OE=OF.
(2)如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2√{2}，∠DOF=∠α.
(Ⅰ)求∠DAO的度数，并且写出当∠α为多少度时，EF⊥AC；
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下，连接AF，则△ADF的周长为.(直接写出答案)
]答案
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF。
(2) 解：
(Ⅰ)
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，AC=2√2，
∴OD=1/2BD=1，OA=1/2AC=√2，
在△ADO中，AD=1，
∵AD²+OD²=1²+1²=2，OA²=(√2)²=2，
∴AD²+OD²=OA²，
∴∠ADO=90°，
又∵AD=OD，
∴∠DAO=45°。
当EF⊥AC时，∠AOF=90°，
∵∠AOD=45°，
∴∠α=∠DOF=90°-45°=45°。
(Ⅱ)
$1+\sqrt{5}$
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF。
(2) 解：
(Ⅰ)
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，AC=2√2，
∴OD=1/2BD=1，OA=1/2AC=√2，
在△ADO中，AD=1，
∵AD²+OD²=1²+1²=2，OA²=(√2)²=2，
∴AD²+OD²=OA²，
∴∠ADO=90°，
又∵AD=OD，
∴∠DAO=45°。
当EF⊥AC时，∠AOF=90°，
∵∠AOD=45°，
∴∠α=∠DOF=90°-45°=45°。
(Ⅱ)
$1+\sqrt{5}$
