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1. 三角形的三边长分别为 6,8,10，它的斜边上的高为(
A.6
B.4.8
C.2.4
D.8
B
)A.6
B.4.8
C.2.4
D.8
答案
1. B
2. 下列各组数是勾股数的有(
①8,15,17；
②2.5,6,7.5；
③12,15,20；
④7,24,25.
A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组
B
)①8,15,17；
②2.5,6,7.5；
③12,15,20；
④7,24,25.
A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组
答案
2. B
1. 叙述勾股定理及其逆定理的内容.
勾股定理：
.
勾股定理的逆定理：
.
勾股定理：
.
勾股定理的逆定理：
.
答案
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长度分别为 $a$ 和 $b$，斜边长度为 $c$，
那么 $a^2 + b^2 = c^2$。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长度 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^2 + b^2 = c^2$，
那么该三角形是直角三角形，且斜边为 $c$。
如果直角三角形的两条直角边长度分别为 $a$ 和 $b$，斜边长度为 $c$，
那么 $a^2 + b^2 = c^2$。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长度 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^2 + b^2 = c^2$，
那么该三角形是直角三角形，且斜边为 $c$。
2. 说说勾股定理及其逆定理的区别与联系.
答案
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，已知直角三角形，得出两直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理是直角三角形的判定定理，已知三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，判定该三角形为直角三角形。
联系：两者都与三角形三边平方关系有关，勾股定理的题设是逆定理的结论，勾股定理的结论是逆定理的题设，互为逆定理。
联系：两者都与三角形三边平方关系有关，勾股定理的题设是逆定理的结论，勾股定理的结论是逆定理的题设，互为逆定理。
合作学习
阅读课本第 36 页例 2，完成下列问题.
(1)港口所处的海岸线是方向的；
(2)“远航”号轮船沿方向航行；
(3)“海天”号可能沿方向航行(北偏东、北偏西、南偏东、南偏西)；
(4)画出符合题意的方位示意图，图中点 R 表示号轮船，点 Q 表示号轮船. $ PQ = $海里，$ PR = $海里，$ QR = $海里.
阅读课本第 36 页例 2，完成下列问题.
(1)港口所处的海岸线是方向的；
(2)“远航”号轮船沿方向航行；
(3)“海天”号可能沿方向航行(北偏东、北偏西、南偏东、南偏西)；
(4)画出符合题意的方位示意图，图中点 R 表示号轮船，点 Q 表示号轮船. $ PQ = $海里，$ PR = $海里，$ QR = $海里.
答案
(1) 东西
(2) 东北或北偏东$45°$
(3) 北偏西
(4) 远航；海天；$12$；$16$；$20$
(2) 东北或北偏东$45°$
(3) 北偏西
(4) 远航；海天；$12$；$16$；$20$
探究学习
某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？为什么？
某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？为什么？
答案
解：能确定“海天”号的航行方向，它沿西北方向（北偏西$45°$）航行，理由如下：
1. 计算两艘轮船的航行路程：
“远航”号航行的路程：$PQ=16×1.5=24$（海里），
“海天”号航行的路程：$PR=12×1.5=18$（海里），
已知两船相距$QR=30$海里。
2. 验证三角形的形状：
因为$PQ^2+PR^2=24^2+18^2=576+324=900，$$QR^2=30^2=900，$
所以$PQ^2+PR^2=QR^2，$根据勾股定理的逆定理，$△ PQR$是直角三角形，且$∠ QPR=90°。$
3. 确定航行方向：
已知“远航”号沿东北方向航行，即$∠ QPE=45°，$
所以$∠ RPN=90°-∠ QPE=90°-45°=45°，$
因此“海天”号沿西北方向（北偏西$45°$）航行。
解析
设港口为点P，“远航”号航行到点Q，“海天”号航行到点R。
1. 计算航行距离：
“远航”号：$16 × 1.5 = 24$（海里），即$PQ = 24$海里；
“海天”号：$12 × 1.5 = 18$（海里），即$PR = 18$海里。
2. 验证直角三角形：
$PQ^2 + PR^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 = 30^2 = QR^2$，由勾股定理逆定理得$∠ QPR = 90°$。
3. 确定方向：
“远航”号沿东北方向（北偏东$45°$），则“海天”号与“远航”号航线夹角为$90°$，故“海天”号沿西北方向（北偏西$45°$）。
1. 计算航行距离：
“远航”号：$16 × 1.5 = 24$（海里），即$PQ = 24$海里；
“海天”号：$12 × 1.5 = 18$（海里），即$PR = 18$海里。
2. 验证直角三角形：
$PQ^2 + PR^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900 = 30^2 = QR^2$，由勾股定理逆定理得$∠ QPR = 90°$。
3. 确定方向：
“远航”号沿东北方向（北偏东$45°$），则“海天”号与“远航”号航线夹角为$90°$，故“海天”号沿西北方向（北偏西$45°$）。
变式：
甲组从驻地出发，以 12 千米/小时的速度前进，与此同时，乙组也从驻地出发，以 9 千米/小时的速度向另一个方向前进，1 小时后同时停下，这时甲、乙两组相距 15 千米，问：甲、乙两组前进的方向成直角吗？请说明理由.
甲组从驻地出发，以 12 千米/小时的速度前进，与此同时，乙组也从驻地出发，以 9 千米/小时的速度向另一个方向前进，1 小时后同时停下，这时甲、乙两组相距 15 千米，问：甲、乙两组前进的方向成直角吗？请说明理由.
答案
甲、乙两组前进的方向成直角。
解析
甲组1小时路程：12×1=12千米，乙组1小时路程：9×1=9千米。
因为$12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2$，满足勾股定理逆定理，所以方向成直角。
因为$12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 = 15^2$，满足勾股定理逆定理，所以方向成直角。
