8. 下列二次根式，无论$x$取什么值都有意义的是()

A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x^2 - 1}$
C.$\sqrt{\frac{1}{x^2}}$
D.$\sqrt{|x| + 1}$

D

9. 已知$0 ＜ x ＜ 1$，那么在$x,\frac{1}{x},\sqrt{x},x^2$中最大的是()

A.$x$
B.$\frac{1}{x}$
C.$\sqrt{x}$
D.$x^2$

B

10. 已知$m,n$是正整数，若$\sqrt{\frac{2}{m}} + \sqrt{\frac{5}{n}}$是整数，则满足条件的有序数对$(m,n)$为()

A.$(2,5)$
B.$(8,20)$
C.$(2,5)$或$(8,20)$
D.以上都不是

C

11. 若$\sqrt{12a}$是整数，则正整数$a$的最小值是.

3

12. 若$\sqrt{a - 3} + |2 - a| = a + 2$，则$a$的值为.

19

13. 若$m,n$满足等式$(\frac{1}{2}m - 2)^2 + \sqrt{2n + 6} = 0$.
求：(1)$m,n$的值；
(2)$4m - 3n$的平方根.

解：
(1)由题意，得$\frac{1}{2}m-2=0$，2n+6=0，
解得m=4，n=-3。
$ (2)\because4m-3n=4×4-3×(-3)=25$，
$ \therefore4m-3n$的平方根为$\pm5$。

14. 若$a,b$为实数，且$b = \frac{\sqrt{a^2 - 4} + \sqrt{4 - a^2}}{a + 2} + 7$，求$\sqrt{a + b}$的值.

解：根据题意，可知$\begin{cases}a^2-4≥0\\4-a^2≥0\\a+2≠0\end{cases}$，
$ \therefore a=2$，$\therefore b=7$，$\therefore\sqrt{a+b}=\sqrt{2+7}=3$。

15. 已知$a,b,c$满足等式$|a - \sqrt{7}| + (c - 4\sqrt{2})^2 = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b}$.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)判断以$a,b,c$为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由.

解：
$ (1)\because$|$a-\sqrt{7}$|$+(c-4\sqrt{2})^2=\sqrt{b-5}+\sqrt{5-b}$，
$ \therefore b-5≥0$，5-b≥0，$\therefore b=5$，
$ \therefore$|$a-\sqrt{7}$|$+(c-4\sqrt{2})^2=0$，
$ \therefore a-\sqrt{7}=0$，$c-4\sqrt{2}=0$，
$ \therefore a=\sqrt{7}$，$c=4\sqrt{2}$。故a,b,c的值分别为$\sqrt{7},5,4\sqrt{2}$。
$ (2)\because a=\sqrt{7}$，b=5，$c=4\sqrt{2}$，a＜b＜c，
$ \therefore b+a=5+\sqrt{7}＞4\sqrt{2}$，$b-a=5-\sqrt{7}＜4\sqrt{2}$，
$ \therefore$以a,b,c为边能构成三角形。
$ \because a^2+b^2=(\sqrt{7})^2+5^2=32$，$c^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
$ \therefore a^2+b^2=c^2$，
$ \therefore$此三角形是直角三角形。

16. 已知实数$a$满足$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$，求$a - 2025^2$的值.

解：$\because\sqrt{a-2026}$有意义，$\therefore a≥2026$，
$ \therefore$|2025-a|$+\sqrt{a-2026}=a-2025+\sqrt{a-2026}=a$，
整理，得$\sqrt{a-2026}=2025$，
$ \therefore a=2026+2025^2$，$\therefore a-2025^2=2026$。