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8. 若把一个圆柱平行于底面切去2厘米厚,则表面积减少了50.24平方厘米,体积变成原来的$\frac{4}{5}$。如果将原来的圆柱切成一个最大的圆锥,那么圆锥的体积约是(
167.5
)立方厘米。(结果保留一位小数)答案
8. 167.5
解析
设圆柱底面半径为$r$厘米，高为$h$厘米。
表面积减少的部分为切去部分的侧面积，即$2π r×2 = 50.24$，解得$r = \frac{50.24}{4π} = 4$厘米。
体积变成原来的$\frac{4}{5}$，则$π r^2(h - 2) = \frac{4}{5}π r^2h$，化简得$h - 2 = \frac{4}{5}h$，解得$h = 10$厘米。
原来圆柱体积为$π r^2h = π×4^2×10 = 160π$立方厘米。
最大圆锥体积为圆柱体积的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}×160π \approx \frac{1}{3}×160×3.14 \approx 167.5$立方厘米。
167.5
表面积减少的部分为切去部分的侧面积，即$2π r×2 = 50.24$，解得$r = \frac{50.24}{4π} = 4$厘米。
体积变成原来的$\frac{4}{5}$，则$π r^2(h - 2) = \frac{4}{5}π r^2h$，化简得$h - 2 = \frac{4}{5}h$，解得$h = 10$厘米。
原来圆柱体积为$π r^2h = π×4^2×10 = 160π$立方厘米。
最大圆锥体积为圆柱体积的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}×160π \approx \frac{1}{3}×160×3.14 \approx 167.5$立方厘米。
167.5
9. 把一个圆柱按如图①所示的方式沿底面直径和高切成两个半圆柱,表面积会增加$40cm^{2}$,按如图②所示的方式切成两个圆柱,表面积会增加$25.12cm^{2}$,求这个圆柱的体积。
答案
9. 25.12÷2÷3.14=4(cm²) 4=2×2
40÷2÷(2×2)=5(cm) 3.14×2²×5=62.8(cm³)
40÷2÷(2×2)=5(cm) 3.14×2²×5=62.8(cm³)
五、圆柱、圆锥的等积变换
10. 一个圆柱形水桶,底面半径是2dm,高是12dm,里面装了高6dm的水。把一个底面直径为3dm的圆锥形铁块浸没在水中,水面上升了1dm,这个圆锥形铁块的体积是(
A.12.56
B.23.55
C.18.84
D.28.26
10. 一个圆柱形水桶,底面半径是2dm,高是12dm,里面装了高6dm的水。把一个底面直径为3dm的圆锥形铁块浸没在水中,水面上升了1dm,这个圆锥形铁块的体积是(
A
)$dm^{3}$。A.12.56
B.23.55
C.18.84
D.28.26
答案
10. A
解析
圆锥形铁块的体积等于水面上升部分的体积，即：
$V = π r^2 h = 3.14 × 2^2 × 1 = 12.56 \, \mathrm{dm}^3$
A
$V = π r^2 h = 3.14 × 2^2 × 1 = 12.56 \, \mathrm{dm}^3$
A
11. 一个底面半径为5厘米的圆柱形容器中装有一些水,将一个底面直径为6厘米、高为10厘米的圆锥形铁块浸没在水中(水未溢出)。当铁块取出时,容器里的水面下降了多少厘米?
答案
11. $\frac{1}{3}$×3.14×(6÷2)²×10÷(3.14×5²)=1.2(厘米)
解析
$\frac{1}{3} × 3.14 × (6÷2)^2 × 10 ÷ (3.14 × 5^2) = 1.2$（厘米）
一、用转化的策略解决平面图形的旋转问题
12. (操作探究)如图,将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周,形成一个圆台,你能算出这个圆台的体积吗?
12. (操作探究)如图,将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周,形成一个圆台,你能算出这个圆台的体积吗?
答案
12. $\frac{1}{3}$×3.14×6²×6=226.08(cm³)
6 - 3=3(cm) $\frac{1}{3}$×3.14×3²×3=28.26(cm³)
226.08 - 28.26=197.82(cm³)
解析:如图，分别将边CD、BA延长，延长线相交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在直线为轴旋转一周，可以形成一个圆锥，这个圆锥比题中的圆台多了一个小圆锥(圆台上面的虚线部分)。因为∠B = 90°，∠C = 45°，所以三角形EBC是等腰直角三角形，EB = BC = 6cm，EA = 6 - 3 = 3(cm)，易得AD = EA = 3cm。根据圆锥的体积公式可分别求出大圆锥与小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。
二、用转化的策略解决装有液体的瓶的不同摆放问题
13. (生活应用)小明需要输液250毫升,输液瓶里液面的高度是10厘米(如图①)。护士给小明设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度,20分钟后,空的部分的高度是6厘米(如图②)。这个输液瓶的容积是多少毫升?
思路提示:不管是正放还是倒放,输液瓶的容积与瓶内液体的体积及空余部分的体积有什么样的关系?
13. (生活应用)小明需要输液250毫升,输液瓶里液面的高度是10厘米(如图①)。护士给小明设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度,20分钟后,空的部分的高度是6厘米(如图②)。这个输液瓶的容积是多少毫升?
思路提示:不管是正放还是倒放,输液瓶的容积与瓶内液体的体积及空余部分的体积有什么样的关系?
答案
13. 250毫升=250立方厘米 250÷10=25(平方厘米)
2.5×20=50(毫升) 50毫升=50立方厘米
50÷25=2(厘米) 25×(10 - 2+6)=350(立方厘米)
350立方厘米=350毫升
解析:先用液体的总量除以液体的高度即可求出题图①中输液瓶的底面积;再用每分钟输液的量乘时间求出已经输液的量，用已经输液的量除以底面积即可求出20分钟输液的高度;接着用原来液面的高度减去20分钟输液的高度再加上6厘米，求出与输液瓶的容积相等的等底的圆柱的高度，最后用底面积乘这个高度即可求出输液瓶的容积。
2.5×20=50(毫升) 50毫升=50立方厘米
50÷25=2(厘米) 25×(10 - 2+6)=350(立方厘米)
350立方厘米=350毫升
解析:先用液体的总量除以液体的高度即可求出题图①中输液瓶的底面积;再用每分钟输液的量乘时间求出已经输液的量，用已经输液的量除以底面积即可求出20分钟输液的高度;接着用原来液面的高度减去20分钟输液的高度再加上6厘米，求出与输液瓶的容积相等的等底的圆柱的高度，最后用底面积乘这个高度即可求出输液瓶的容积。
