登录
一、圆柱的表面积及相关问题
1. (生活应用)如图,有一个圆柱形滚筒刷,滚筒刷的底面直径是6厘米,高是2分米,它的手柄的底面直径是3厘米,高是18厘米。这个滚筒刷滚动10圈刷过的墙面面积是多少平方厘米?
1. (生活应用)如图,有一个圆柱形滚筒刷,滚筒刷的底面直径是6厘米,高是2分米,它的手柄的底面直径是3厘米,高是18厘米。这个滚筒刷滚动10圈刷过的墙面面积是多少平方厘米?
答案
1. 2分米=20厘米
3.14×6×20×10=3768(平方厘米)
3.14×6×20×10=3768(平方厘米)
2. 超市搞活动,准备加工800只高22厘米、底面直径为8厘米的圆柱形玻璃杯的防烫外套(有底)作为小礼品,防烫外套距离杯口8厘米。加工这些玻璃杯防烫外套至少需要多少平方米的防烫布料?(每只玻璃杯防烫外套的接头处耗损10平方厘米布料)
答案
2. [3.14×8×(22 - 8)+3.14×(8÷2)²+10]×800=329536(平方厘米)
329536平方厘米=32.9536平方米
329536平方厘米=32.9536平方米
二、圆柱、圆锥的体积
3. (自然科普)龙卷风是风力极强而范围不大的旋风,形状像一个漏斗。下图中龙卷风形成的空间近似于一个底面周长为300米、高为150米的圆锥,这个圆锥形空间约有多少立方米?($π$取3)
3. (自然科普)龙卷风是风力极强而范围不大的旋风,形状像一个漏斗。下图中龙卷风形成的空间近似于一个底面周长为300米、高为150米的圆锥,这个圆锥形空间约有多少立方米?($π$取3)
答案
3. 300÷3÷2=50(米)
$\frac{1}{3}$×3×50²×150=375000(立方米)
$\frac{1}{3}$×3×50²×150=375000(立方米)
4. 古希腊数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一,在他的数学发现中,有一个重要的定理是“圆柱容球定理”。如图,一个球正好放在圆柱形玻璃容器中,球的直径与圆柱的底面直径和高都相等,此时球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$,那么球的体积是多少立方厘米?
答案
4. 3.14×(6÷2)²×6×$\frac{2}{3}$=113.04(cm³)
5. (苏州真题)如图,一个密闭的容器是由圆柱和圆锥组成的,圆柱和圆锥的高分别为12厘米、9厘米,容器内的水面高8厘米。如果将这个容器倒过来放置,从圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米?
答案
5. 8 - 9×$\frac{1}{3}$+9=14(厘米)
解析
9×$\frac{1}{3}$=3(厘米)
8-3=5(厘米)
9+5=14(厘米)
答：从圆锥的顶点到水面的距离是14厘米。
8-3=5(厘米)
9+5=14(厘米)
答：从圆锥的顶点到水面的距离是14厘米。
三、圆柱、圆锥与比的综合问题
6. 选择。
(1)如果一个圆柱和一个圆锥的底面周长的比是$2:3$,高的比是$1:3$,那么圆柱与圆锥的体积之比是(
A.$2:9$
B.$4:27$
C.$4:9$
D.$2:27$
6. 选择。
(1)如果一个圆柱和一个圆锥的底面周长的比是$2:3$,高的比是$1:3$,那么圆柱与圆锥的体积之比是(
C
)。A.$2:9$
B.$4:27$
C.$4:9$
D.$2:27$
答案
6. (1)C
解析
设圆柱底面周长为$2C$，圆锥底面周长为$3C$，圆柱高为$h$，圆锥高为$3h$。
圆柱底面半径$r_1=\frac{2C}{2π}=\frac{C}{π}$，圆锥底面半径$r_2=\frac{3C}{2π}$。
圆柱体积$V_1=π r_1^2h=π(\frac{C}{π})^2h=\frac{C^2h}{π}$。
圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}π r_2^2(3h)=\frac{1}{3}π(\frac{3C}{2π})^2(3h)=\frac{9C^2h}{4π}$。
$V_1:V_2=\frac{C^2h}{π}:\frac{9C^2h}{4π}=4:9$
C
圆柱底面半径$r_1=\frac{2C}{2π}=\frac{C}{π}$，圆锥底面半径$r_2=\frac{3C}{2π}$。
圆柱体积$V_1=π r_1^2h=π(\frac{C}{π})^2h=\frac{C^2h}{π}$。
圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}π r_2^2(3h)=\frac{1}{3}π(\frac{3C}{2π})^2(3h)=\frac{9C^2h}{4π}$。
$V_1:V_2=\frac{C^2h}{π}:\frac{9C^2h}{4π}=4:9$
C
(2)(苏州真题)仔细观察下图中的数据,圆锥的体积与圆柱的体积的比是(
A.$1:8$
B.$1:12$
C.$1:24$
D.$1:36$
C
)。A.$1:8$
B.$1:12$
C.$1:24$
D.$1:36$
答案
6. (2)C
解析
由图可知，圆柱的底面直径为$4 + 4 = 8\,\mathrm{cm}$，则半径$R=\frac{8}{2}=4\,\mathrm{cm}$，高$H = 3 + 3=6\,\mathrm{cm}$。圆锥的底面直径为$4\,\mathrm{cm}$，半径$r=\frac{4}{2}=2\,\mathrm{cm}$，高$h = 3\,\mathrm{cm}$。
圆柱体积$V_{\mathrm{圆柱}}=π R^{2}H=π×4^{2}×6=96π\,\mathrm{cm}^3$。
圆锥体积$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^{2}h=\frac{1}{3}π×2^{2}×3 = 4π\,\mathrm{cm}^3$。
则$V_{\mathrm{圆锥}}:V_{\mathrm{圆柱}}=4π:96π=1:24$。
C
圆柱体积$V_{\mathrm{圆柱}}=π R^{2}H=π×4^{2}×6=96π\,\mathrm{cm}^3$。
圆锥体积$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}π r^{2}h=\frac{1}{3}π×2^{2}×3 = 4π\,\mathrm{cm}^3$。
则$V_{\mathrm{圆锥}}:V_{\mathrm{圆柱}}=4π:96π=1:24$。
C
四、圆柱、圆锥中的切割问题
7. 将一个圆锥从顶点沿高切开,其表面积比原来增加了$60cm^{2}$。若圆锥的高是6cm,则圆锥的体积是(
7. 将一个圆锥从顶点沿高切开,其表面积比原来增加了$60cm^{2}$。若圆锥的高是6cm,则圆锥的体积是(
157
)$cm^{3}$。答案
7. 157
解析
将圆锥从顶点沿高切开，增加的表面积是两个以圆锥底面直径为底、圆锥高为高的三角形面积。
每个三角形面积：$60÷2 = 30\,\mathrm{cm}^2$
三角形面积公式：$\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高} = 30$，已知高为$6\,\mathrm{cm}$，则底面直径为：
$\mathrm{底} = \frac{30×2}{6} = 10\,\mathrm{cm}$
底面半径$r = 10÷2 = 5\,\mathrm{cm}$
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}π r^2h$，代入$r = 5\,\mathrm{cm}$，$h = 6\,\mathrm{cm}$：
$V = \frac{1}{3}×3.14×5^2×6 = \frac{1}{3}×3.14×25×6 = 157\,\mathrm{cm}^3$
157
每个三角形面积：$60÷2 = 30\,\mathrm{cm}^2$
三角形面积公式：$\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高} = 30$，已知高为$6\,\mathrm{cm}$，则底面直径为：
$\mathrm{底} = \frac{30×2}{6} = 10\,\mathrm{cm}$
底面半径$r = 10÷2 = 5\,\mathrm{cm}$
圆锥体积公式：$V = \frac{1}{3}π r^2h$，代入$r = 5\,\mathrm{cm}$，$h = 6\,\mathrm{cm}$：
$V = \frac{1}{3}×3.14×5^2×6 = \frac{1}{3}×3.14×25×6 = 157\,\mathrm{cm}^3$
157
