知识点一 三元一次方程的概念
含有未知数，并且含有未知数的项的都是 1，这样的方程叫作三元一次方程。

知识点一 三个 次数

知识点二 三元一次方程组的概念
共含有未知数的三个所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。

知识点二 三个 一次方程

三个；一次方程

例 1
若$(a - 1)x + 5y^{b + 1} + 2z^{2 - |a|} = 10$是关于$x$，$y$，$z$的三元一次方程，则$a =$，$b =$。

【点拨】含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作三元一次方程。
【解】根据题意，得$a - 1 ≠ 0$，$b + 1 = 1$，$2 - |a| = 1$。所以$a = - 1$，$b = 0$。

根据题意，得$a - 1 ≠ 0$，$b + 1 = 1$，$2 - |a| = 1$。
由$b + 1 = 1$，解得$b = 0$。
由$2 - |a| = 1$，得$|a| = 1$，即$a = \pm 1$。
又因为$a - 1 ≠ 0$，所以$a ≠ 1$，故$a = -1$。
$a = -1$，$b = 0$

【变式训练 1】
若$(m + 2)x + y^{|m + 1|} + z = 4$是关于$x$，$y$，$z$的三元一次方程，则$m =$。

变式训练 1   0

因为方程$(m + 2)x + y^{|m + 1|} + z = 4$是关于$x$，$y$，$z$的三元一次方程，所以$x$，$y$，$z$的次数都为$1$，且系数不为$0$。
对于$x$的系数：$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
对于$y$的次数：$|m + 1| = 1$，即$m + 1 = 1$或$m + 1 = -1$。
当$m + 1 = 1$时，$m = 0$；当$m + 1 = -1$时，$m = -2$。
又因为$m ≠ -2$，所以$m = 0$。
0

例 2
解方程组$\begin{cases}x + y + z = 23,①\\x - y = 1,②\\2x + y - z = 20。③\end{cases}$

【点拨】（1）把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，利用代入法或加减法消去两组中的同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起。
【解】由②，得$x = 1 + y$。④
把④分别代入①③，得
$\begin{cases}2y + z = 22,\\3y - z = 18。\end{cases}$
解得$\begin{cases}y = 8,\\z = 6。\end{cases}$
把$y = 8$代入④，得$x = 9$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 9,\\y = 8,\\z = 6。\end{cases}$

解：由②，得$x = 1 + y$。④
把④分别代入①③，得
$\begin{cases}2y + z = 22,\\3y - z = 18。\end{cases}$
解得$\begin{cases}y = 8,\\z = 6。\end{cases}$
把$y = 8$代入④，得$x = 9$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 9,\\y = 8,\\z = 6。\end{cases}$