【变式训练 2】
解方程组$\begin{cases}x + y + z = 8,\\3x - y + z = 4,\\x - z = 3。\end{cases}$

变式训练 2 $\begin{cases}x = 3,\\y = 5,\\z = 0\end{cases}$

解：$\begin{cases}x + y + z = 8,①\\3x - y + z = 4,②\\x - z = 3。③\end{cases}$
由③得$x = z + 3$，④
①+②得$4x + 2z = 12$，即$2x + z = 6$，⑤
将④代入⑤得$2(z + 3) + z = 6$，解得$z = 0$
将$z = 0$代入④得$x = 3$
将$x = 3$，$z = 0$代入①得$3 + y + 0 = 8$，解得$y = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 5,\\z = 0\end{cases}$

1. 下列方程中是三元一次方程的是()

A.$x + 3y = \frac{1}{7}z + 3$
B.$xy + z = 8$
C.$y + 3z = 7$
D.$xy + xz = 11$

1. A

2. 下列方程组中是三元一次方程组的是()

A.$\begin{cases}xy = 2,\\x - y = 1,\\y = 2z\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 0,\\y + z = 1,\\z + w = 5\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 4z = 7,\\2x + 3y = 9 - z,\\5x - 9y + 7z = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}x^{2} - 2y = 0,\\y + z = 3,\\x + y + z = 1\end{cases}$

2. C

3. 若$3x + 5y + 6z = 5$，$4x + 2y + z = 2$，则$x + y + z$的值等于()

A.0
B.1
C.2
D.不能求出

3. B

解：已知$3x + 5y + 6z = 5$，$4x + 2y + z = 2$。
将两式相加：$(3x + 5y + 6z) + (4x + 2y + z) = 5 + 2$
化简得：$7x + 7y + 7z = 7$
两边同时除以7：$x + y + z = 1$
答案：B

4. 已知$(2x - 4)^{2} + (x + y)^{2} + |4z - y| = 0$，则$x + y + z =$。

4. $-\dfrac{1}{2}$

因为$(2x - 4)^{2} ≥ 0$，$(x + y)^{2} ≥ 0$，$|4z - y| ≥ 0$，且$(2x - 4)^{2} + (x + y)^{2} + |4z - y| = 0$，所以可得：
$\begin{cases}2x - 4 = 0 \\x + y = 0 \\4z - y = 0\end{cases}$
由$2x - 4 = 0$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$x + y = 0$，得$2 + y = 0$，解得$y = -2$。
将$y = -2$代入$4z - y = 0$，得$4z - (-2) = 0$，即$4z + 2 = 0$，解得$z = -\dfrac{1}{2}$。
所以$x + y + z = 2 + (-2) + (-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{1}{2}$。
$-\dfrac{1}{2}$

5. 在三元一次方程$x - 2y + 3z = 0$中，若$x = 1$，$y = 2$，则$z =$。

5. 1

将$x = 1$，$y = 2$代入方程$x - 2y + 3z = 0$，得$1 - 2×2 + 3z = 0$，即$1 - 4 + 3z = 0$，$-3 + 3z = 0$，$3z = 3$，解得$z = 1$。
1

6. 已知三元一次方程组$\begin{cases}x - y = 1,\\y - z = 1,\\x + z = 4,\end{cases}$则$xyz =$ ______ 。

6. 6

解：由$x - y = 1$得$x = y + 1$，
由$y - z = 1$得$z = y - 1$，
将$x = y + 1$，$z = y - 1$代入$x + z = 4$，
得$(y + 1) + (y - 1) = 4$，
$2y = 4$，$y = 2$，
则$x = 2 + 1 = 3$，$z = 2 - 1 = 1$，
$xyz = 3×2×1 = 6$。
6

7. 解三元一次方程组$\begin{cases}x + y + z = 4,\\x - y + z = 8,\\4x + 2y + z = 17。\end{cases}$

7. $\begin{cases}x = 5,\\y = -2,\\z = 1\end{cases}$

解：$\begin{cases}x + y + z = 4, \quad①\\x - y + z = 8, \quad②\\4x + 2y + z = 17. \quad③\end{cases}$
① - ②得：$2y = -4$，解得$y = -2$。
① - ③得：$-3x - y = -13$，将$y = -2$代入得$-3x - (-2) = -13$，即$-3x + 2 = -13$，$-3x = -15$，解得$x = 5$。
将$x = 5$，$y = -2$代入①得$5 + (-2) + z = 4$，解得$z = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = -2,\\z = 1\end{cases}$

8. 小红在商店买了 3 支钢笔、1 本练习本、2 支中性笔，共花了 13 元；小颖买了 2 支钢笔、4 本练习本、3 支中性笔，共花了 17 元。小明打算在该商店买 20 支钢笔、20 本练习本、20 支中性笔寄给地震灾区的小朋友，可他只有 120 元的压岁钱，请你帮他算一下他的钱够吗？

8. 够

设钢笔单价为$x$元，练习本单价为$y$元，中性笔单价为$z$元。
根据题意可得：
$\begin{cases}3x + y + 2z = 13 \\2x + 4y + 3z = 17\end{cases}$
将两式相加：$5x + 5y + 5z = 30$，即$x + y + z = 6$。
小明购买20支钢笔、20本练习本、20支中性笔的总价为：$20(x + y + z) = 20×6 = 120$元。
120元 = 120元，所以钱够。
够

9. 已知$y = ax^{2} + bx + c$，且当$x = - 1$时，$y = 4$；当$x = 2$时，$y = 4$；当$x = 1$时，$y = 2$。
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)当$x = - 2$时，求$y$的值。

9. (1)$\begin{cases}a = 1,\\b = -1,\\c = 2\end{cases}$ (2)$y = 8$

(1)由题意得：
$\begin{cases}a(-1)^2 + b(-1) + c = 4 \\a(2)^2 + b(2) + c = 4 \\a(1)^2 + b(1) + c = 2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 4 \\4a + 2b + c = 4 \\a + b + c = 2\end{cases}$
用第一个方程减去第三个方程：$(a - b + c) - (a + b + c) = 4 - 2$，得$-2b = 2$，解得$b = -1$。
将$b = -1$代入第一个方程：$a - (-1) + c = 4$，即$a + c = 3$。
将$b = -1$代入第三个方程：$a + (-1) + c = 2$，即$a + c = 3$，与上式一致。
将$b = -1$代入第二个方程：$4a + 2(-1) + c = 4$，即$4a + c = 6$。
用$4a + c = 6$减去$a + c = 3$：$3a = 3$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入$a + c = 3$，得$c = 2$。
所以$\begin{cases}a = 1 \\ b = -1 \\ c = 2\end{cases}$
(2)由(1)知$y = x^2 - x + 2$，当$x = -2$时，$y = (-2)^2 - (-2) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8$