21. (10分)如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,垂足为D,点E在AB上,$EF⊥ BC$,垂足为F。
(1)AD与EF平行吗? 为什么?
(2)如果$∠ 1=∠ 2$,且$∠ 3=115°$,求$∠ BAC$的度数。

21. 解:(1)AD与EF平行。理由如下:
因为$AD ⊥ BC$,$EF ⊥ BC$,
所以$∠ ADB= ∠ EFB=90°$,
所以$AD // EF$;
(2)因为$AD // EF$,所以$∠ 2= ∠ BAD$,
而$∠ 1= ∠ 2$,
所以$∠ 1= ∠ BAD$,
所以$AB // DG$,
所以$∠ BAC= ∠ 3=115°$。

【分析】
(1)要判断AD与EF是否平行，可结合平行线的判定定理分析：AD和EF都垂直于BC，它们与BC形成的角均为直角，同位角相等，由此可判定两直线平行；
(2)先利用(1)中AD//EF的结论，得到角的等量关系∠2=∠BAD，结合已知∠1=∠2，可推出∠1=∠BAD，进而判定AB//DG，最后根据平行线的性质，同位角相等，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
(1)AD与EF平行。理由如下：
因为$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，
所以$∠ADB=∠EFB=90°$，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AD// EF$；
(2)因为$AD// EF$，
所以$∠2=∠BAD$（两直线平行，同位角相等），
又因为$∠1=∠2$，
所以$∠1=∠BAD$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// DG$，
所以$∠BAC=∠3=115°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1)AD与EF平行，理由见解析；(2)$∠BAC=115°$
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，准确梳理角之间的等量关系，完成直线平行关系的推导与角度的计算。
【难度系数】
0.7

22. (10分)一批货物要运往某地,货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车。已知过去两次租用这两种货车的情况如下表:
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付运费30元计算,则货主应付运费多少元?

22. 货主应付运费735元。

【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 确定未知量：设甲种货车每辆运货$ x $吨，乙种货车每辆运货$ y $吨；
2. 提取等量关系：根据表格中两次租用货车的累计运货吨数，列出两个方程组成二元一次方程组；
3. 解方程组：通过消元法求出$ x $、$ y $的值，得到两种货车的单辆运货能力；
4. 计算总运货量：结合“3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货”，计算这批货物的总吨数；
5. 计算总运费：用总吨数乘以每吨运费，得到货主应付的运费。
【解析】
设甲种货车每辆运货$ x $吨，乙种货车每辆运货$ y $吨。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 15.5 \\5x + 6y = 35\end{cases}$
对第一个方程两边同时乘以2，得：
$ 4x + 6y = 31 $
用第二个方程减去该式消去$ y $：
$\begin{aligned}5x + 6y - (4x + 6y) &= 35 - 31 \\x &= 4\end{aligned}$
将$ x = 4 $代入$ 2x + 3y = 15.5 $，得：
$\begin{aligned}2×4 + 3y &= 15.5 \\8 + 3y &= 15.5 \\3y &= 7.5 \\y &= 2.5\end{aligned}$
计算3辆甲种货车和5辆乙种货车的总运货量：
$ 3x + 5y = 3×4 + 5×2.5 = 12 + 12.5 = 24.5 $（吨）
货主应付运费：$ 24.5×30 = 735 $（元）
【答案】
货主应付运费735元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、列方程解应用题
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际运输场景中的应用，核心是通过提取题目中的等量关系建立数学模型，再利用消元法解方程组得到关键参数，最终解决实际费用问题。解题时需注意等量关系的准确提取，以及方程组解法的规范运用，有助于培养利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

23. (12分)阅读并探究下列问题:

(1)如图①,将长方形纸片剪两刀,其中$AB// CD$,则$∠ 2$与$∠ 1$,$∠ 3$有何关系? 为什么?
(2)如图②,将长方形纸片剪四刀,其中$AB// CD$,则$∠ 2+∠ 4$与$∠ 1+∠ 3+∠ 5$有何关系? 为什么?
(3)如图③,将长方形纸片剪n刀,其中$AB// CD$,你又有何发现?
(4)如图④,直线$AB// CD$,$∠ EFA=30°$,$∠ FGH=90°$,$∠ HMN=30°$,$∠ CNP=50°$,则$∠ GHM=$。

23. 解:(1)图①中,$∠ 2= ∠ 1+ ∠ 3$。理由如下:
过E点作$EF // AB$,如图,
则$EF // CD$,
所以$∠ AEF= ∠ 1$,$∠ CEF= ∠ 3$,
所以$∠ 2= ∠ 1+ ∠ 3$;
(2)图②中,分别过点E,G,F分别作$EM // AB$,$GN // AB$,$FP // AB$,
同(1)的证明方法一样可得$∠ 2+ ∠ 4= ∠ 1+ ∠ 3+ ∠ 5$;
(3)开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和;
(4)$40°$。

【分析】
1. 对于第(1)问，已知$AB// CD$，要探究$∠2$与$∠1$、$∠3$的关系，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的内错角相等性质，将$∠2$拆分为两个分别与$∠1$、$∠3$相等的角，从而得到角度关系。
2. 第(2)问是第(1)问的拓展，剪四刀后有多个折点，同样采用作辅助线的方法，给每个折点作平行于$AB$的直线，利用平行线的传递性和内错角相等，将每个角拆分后，分别汇总开口向左和向右的角度和，即可得到等式关系。
3. 第(3)问是推广到剪$n$刀的情况，通过前两问的结论，归纳出一般性规律：开口向左的角的度数之和等于开口向右的角的度数之和。
4. 第(4)问运用第(3)问的规律，先明确图中开口向左和向右的角，代入已知角度数值，列等式求解$∠GHM$的度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠2=∠1+∠3}$，理由如下：
过点$E$作$EF// AB$，如图所示：
因为$AB// CD$，根据平行线的传递性，可得$EF// CD$。
由平行线的内错角相等，得$∠AEF=∠1$，$∠CEF=∠3$。
因为$∠2=∠AEF+∠CEF$，所以$∠2=∠1+∠3$。
(2) $\boldsymbol{∠2+∠4=∠1+∠3+∠5}$，理由如下：
分别过点$E$、$G$、$F$作$EM// AB$、$GN// AB$、$FP// AB$。
因为$AB// CD$，所以$EM// GN// FP// CD$。
根据平行线的内错角相等，可得：
$∠1=∠AEM$，$∠MEG=∠EGN$，$∠NGF=∠GFP$，$∠PFC=∠5$。
因为$∠2=∠AEM+∠MEG$，$∠4=∠GFP+∠PFC$，$∠3=∠EGN+∠NGF$，
所以$∠2+∠4=∠AEM+∠MEG+∠GFP+∠PFC=∠1+∠EGN+∠NGF+∠5=∠1+∠3+∠5$。
(3) 剪$n$刀时，规律为：$\boldsymbol{开口向左的角的度数之和等于开口向右的角的度数之和}$。
(4) 根据(3)的规律，开口向右的角的度数和等于开口向左的角的度数和，即：
$∠EFA + ∠GHM + ∠CNP = ∠FGH + ∠HMN$
代入已知角度：$30°+∠GHM+50°=90°+30°$
解得：$∠GHM=90°+30°-30°-50°=40°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠2=∠1+∠3}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠2+∠4=∠1+∠3+∠5}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{开口向左的角的度数之和等于开口向右的角的度数之和}$；
(4) $\boldsymbol{40°}$

【知识点】
平行线的性质、规律探究、辅助线构造
【点评】
本题从特殊到一般，逐步探究平行线间折线的角度关系，重点考查了平行线的性质的灵活运用，以及归纳总结规律的能力。通过作辅助线拆分角度是解决此类问题的关键，同时需要学生具备从具体实例中提炼通用规律，并运用规律解决新问题的能力。
【难度系数】
0.6