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18. (7分)如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图,直线l表示起跳线,怎样测量他的跳远成绩? 请作出测量示意图,并说明理由。
答案
18. 如图,作$CE ⊥ l$于点E。
根据垂线段最短,可知线段CE的长即为他的跳远成绩。
解析
【分析】
要测量跳远成绩，首先需明确跳远成绩的本质是起跳线到落地点（脚印）的最短距离。根据几何原理，点到直线的最短距离是该点到直线的垂线段长度，因此我们需要找到脚印上距离起跳线最近的点，过此点作起跳线的垂线，垂线段的长度即为跳远成绩，依据是垂线段最短。
【解析】
1. 确定脚印上距离起跳线$ l $最近的点，即图中的点$ C $；
2. 过点$ C $作$ CE ⊥ l $，垂足为$ E $；
3. 根据垂线段最短的性质，线段$ CE $的长度就是小亮的跳远成绩。
【答案】
如图,作$CE ⊥ l$于点E。
根据垂线段最短,可知线段CE的长即为他的跳远成绩。
【知识点】
垂线段最短；点到直线的距离
【点评】
本题考查垂线段最短的实际应用，需要将跳远的实际问题转化为几何中点到直线的距离问题，理解跳远成绩的本质是落地点到起跳线的垂线段长度，培养用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要测量跳远成绩，首先需明确跳远成绩的本质是起跳线到落地点（脚印）的最短距离。根据几何原理，点到直线的最短距离是该点到直线的垂线段长度，因此我们需要找到脚印上距离起跳线最近的点，过此点作起跳线的垂线，垂线段的长度即为跳远成绩，依据是垂线段最短。
【解析】
1. 确定脚印上距离起跳线$ l $最近的点，即图中的点$ C $；
2. 过点$ C $作$ CE ⊥ l $，垂足为$ E $；
3. 根据垂线段最短的性质，线段$ CE $的长度就是小亮的跳远成绩。
【答案】
如图,作$CE ⊥ l$于点E。
根据垂线段最短,可知线段CE的长即为他的跳远成绩。
【知识点】
垂线段最短；点到直线的距离
【点评】
本题考查垂线段最短的实际应用，需要将跳远的实际问题转化为几何中点到直线的距离问题，理解跳远成绩的本质是落地点到起跳线的垂线段长度，培养用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
19. (8分)阅读下列推理过程,在括号中填写理由。
已知:如图,$AD⊥ BC$于点D,$EG⊥ BC$于点G,$∠ E=∠ 1$。
试说明:AD平分$∠ BAC$。
证明:因为$AD⊥ BC$于点D,$EG⊥ BC$于点G,(已知)
所以$∠ ADC=∠ EGC=90°$,
所以$AD// EG$,
所以$∠ 1=∠ 2$,
$∠ E=∠ 3$。
又因为$∠ E=∠ 1$,(已知)
所以
所以AD平分$∠ BAC$。
已知:如图,$AD⊥ BC$于点D,$EG⊥ BC$于点G,$∠ E=∠ 1$。
试说明:AD平分$∠ BAC$。
证明:因为$AD⊥ BC$于点D,$EG⊥ BC$于点G,(已知)
所以$∠ ADC=∠ EGC=90°$,
垂直
的定义所以$AD// EG$,
同位角相等,两直线平行
所以$∠ 1=∠ 2$,
两直线平行,内错角相等
$∠ E=∠ 3$。
两直线平行,同位角相等
又因为$∠ E=∠ 1$,(已知)
所以
$∠ 2$
$=$$∠ 3$
,等量代换
所以AD平分$∠ BAC$。
角平分线的定义
答案
19. 垂直 同位角相等,两直线平行 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同位角相等 $∠ 2$ $∠ 3$
等量代换 角平分线的定义
等量代换 角平分线的定义
解析
【分析】
首先，根据垂直的定义，由$AD⊥BC$、$EG⊥BC$可得出$∠ADC=∠EGC=90°$；接着，依据“同位角相等，两直线平行”，由这两个直角相等可判定$AD// EG$；然后利用平行线的性质，两直线平行内错角相等得到$∠1=∠2$，两直线平行同位角相等得到$∠E=∠3$；再结合已知$∠E=∠1$，通过等量代换推出$∠2=∠3$；最后根据角平分线的定义，得出$AD$平分$∠BAC$。整个过程需要逐步梳理垂直、平行线的判定与性质、角的等量关系之间的逻辑联系。
【解析】
证明:因为$AD⊥ BC$于点D,$EG⊥ BC$于点G,(已知)
所以$∠ ADC=∠ EGC=90°$, 垂直的定义
所以$AD// EG$, 同位角相等,两直线平行
所以$∠ 1=∠ 2$, 两直线平行,内错角相等
$∠ E=∠ 3$。 两直线平行,同位角相等
又因为$∠ E=∠ 1$,(已知)
所以 $\boldsymbol{∠ 2}$ $=$ $\boldsymbol{∠ 3}$ , 等量代换
所以AD平分$∠ BAC$。 角平分线的定义
【答案】
垂直；同位角相等,两直线平行；两直线平行,内错角相等；两直线平行,同位角相等；$\boldsymbol{∠ 2}$；$\boldsymbol{∠ 3}$；等量代换；角平分线的定义
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查垂直的定义、平行线的判定与性质以及角平分线的定义的综合运用，解题关键是理清角与角之间的等量关系，通过平行线的判定和性质搭建已知条件与结论之间的桥梁，逻辑清晰是解题的核心。
【难度系数】
0.6
首先，根据垂直的定义，由$AD⊥BC$、$EG⊥BC$可得出$∠ADC=∠EGC=90°$；接着，依据“同位角相等，两直线平行”，由这两个直角相等可判定$AD// EG$；然后利用平行线的性质，两直线平行内错角相等得到$∠1=∠2$，两直线平行同位角相等得到$∠E=∠3$；再结合已知$∠E=∠1$，通过等量代换推出$∠2=∠3$；最后根据角平分线的定义，得出$AD$平分$∠BAC$。整个过程需要逐步梳理垂直、平行线的判定与性质、角的等量关系之间的逻辑联系。
【解析】
证明:因为$AD⊥ BC$于点D,$EG⊥ BC$于点G,(已知)
所以$∠ ADC=∠ EGC=90°$, 垂直的定义
所以$AD// EG$, 同位角相等,两直线平行
所以$∠ 1=∠ 2$, 两直线平行,内错角相等
$∠ E=∠ 3$。 两直线平行,同位角相等
又因为$∠ E=∠ 1$,(已知)
所以 $\boldsymbol{∠ 2}$ $=$ $\boldsymbol{∠ 3}$ , 等量代换
所以AD平分$∠ BAC$。 角平分线的定义
【答案】
垂直；同位角相等,两直线平行；两直线平行,内错角相等；两直线平行,同位角相等；$\boldsymbol{∠ 2}$；$\boldsymbol{∠ 3}$；等量代换；角平分线的定义
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查垂直的定义、平行线的判定与性质以及角平分线的定义的综合运用，解题关键是理清角与角之间的等量关系，通过平行线的判定和性质搭建已知条件与结论之间的桥梁，逻辑清晰是解题的核心。
【难度系数】
0.6
20. (10分)青少年体重指数(BMI)是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式。其中体重指数BMI计算公式:$\mathrm{BMI}=\dfrac{G}{h^{2}}$($\mathrm{kg/m}^{2}$),其中G表示体重(kg),h表示身高(m)。《国家学生体质健康标准》将学生体重指数(BMI)分成四个等级(如表),为了解学校学生体重指数分布情况,八年级某数学综合实践小组开展了一次调查。
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并收集数据。
【数据整理】调查小组根据收集的数据,绘制了两组不完整的统计图。
【问题解决】根据以上信息,解决下列问题:
(1)若一位男生的身高为1.6 m,体重为51.2 kg,则他的体重指数(BMI)属于
(2)求本次调查的总人数,并补全条形统计图;
(3)求扇形统计图中表示体重指数(BMI)“A”等级的扇形的圆心角的度数。
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并收集数据。
【数据整理】调查小组根据收集的数据,绘制了两组不完整的统计图。
【问题解决】根据以上信息,解决下列问题:
(1)若一位男生的身高为1.6 m,体重为51.2 kg,则他的体重指数(BMI)属于
B
等级;(填“A”“B”“C”“D”)(2)求本次调查的总人数,并补全条形统计图;
(3)求扇形统计图中表示体重指数(BMI)“A”等级的扇形的圆心角的度数。
答案
20. 解:(1)因为$\mathrm{BMI}=51.2÷ 1.6^{2}=20$,$15.7 ＜ 20 ≤ 22.5$,
所以他的体重指数(BMI)属于B等级;
故答案为B;
(2)本次调查的样本容量是$(8+5)÷ 13\%=100$,
B等级的女生人数为$100× 71\%-32=39$(人),
补全条形统计图如下:
(3)$360°×\dfrac{6+4}{100}=36°$,
答:"A"等级的扇形的圆心角的度数为$36°$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先利用题目给出的BMI计算公式，代入男生的体重和身高求出具体的BMI数值，再对照等级划分表，确定该数值对应的等级。
2. 第(2)问：首先根据条形统计图中D等级的男女生人数之和，结合扇形统计图中D等级的占比，用“部分量÷对应百分比”算出调查总人数；接着根据B等级的占比求出B等级总人数，减去B等级男生人数得到B等级女生人数，进而补全条形统计图。
3. 第(3)问：先从条形统计图中统计出A等级的总人数，再计算A等级人数占总人数的比例，最后用360°乘以该比例，得到对应扇形的圆心角度数。
【解析】
(1) 根据BMI计算公式$\mathrm{BMI}=\dfrac{G}{h^{2}}$，将$G=51.2\mathrm{kg}$，$h=1.6\mathrm{m}$代入可得：
$\mathrm{BMI}=51.2÷1.6^{2}=20$，
因为$15.7＜20≤22.5$，对照等级划分可知属于B等级。
(2) 由统计图可知，D等级人数为$8+5=13$人，占总人数的$13\%$，则本次调查总人数为：
$(8+5)÷13\%=100$（人），
B等级总人数为$100×71\%=71$人，已知B等级男生有32人，所以B等级女生人数为：
$71-32=39$（人），
补全条形统计图如下：
(3) A等级总人数为$6+4=10$人，因此扇形统计图中A等级的扇形圆心角度数为：
$360°×\dfrac{10}{100}=36°$
答：“A”等级的扇形的圆心角的度数为$36°$。
【答案】
(1) B；
(2) 本次调查总人数为100人，补全的条形统计图如下：
(3) $36°$
【知识点】
BMI公式计算、统计图表分析、扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的体重指数问题，综合考查了公式计算与统计图表的应用，要求学生能准确从两种统计图中提取有效信息，运用百分比、圆心角计算等知识解决问题，着重考查了学生的数据分析能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先利用题目给出的BMI计算公式，代入男生的体重和身高求出具体的BMI数值，再对照等级划分表，确定该数值对应的等级。
2. 第(2)问：首先根据条形统计图中D等级的男女生人数之和，结合扇形统计图中D等级的占比，用“部分量÷对应百分比”算出调查总人数；接着根据B等级的占比求出B等级总人数，减去B等级男生人数得到B等级女生人数，进而补全条形统计图。
3. 第(3)问：先从条形统计图中统计出A等级的总人数，再计算A等级人数占总人数的比例，最后用360°乘以该比例，得到对应扇形的圆心角度数。
【解析】
(1) 根据BMI计算公式$\mathrm{BMI}=\dfrac{G}{h^{2}}$，将$G=51.2\mathrm{kg}$，$h=1.6\mathrm{m}$代入可得：
$\mathrm{BMI}=51.2÷1.6^{2}=20$，
因为$15.7＜20≤22.5$，对照等级划分可知属于B等级。
(2) 由统计图可知，D等级人数为$8+5=13$人，占总人数的$13\%$，则本次调查总人数为：
$(8+5)÷13\%=100$（人），
B等级总人数为$100×71\%=71$人，已知B等级男生有32人，所以B等级女生人数为：
$71-32=39$（人），
补全条形统计图如下：
(3) A等级总人数为$6+4=10$人，因此扇形统计图中A等级的扇形圆心角度数为：
$360°×\dfrac{10}{100}=36°$
答：“A”等级的扇形的圆心角的度数为$36°$。
【答案】
(1) B；
(2) 本次调查总人数为100人，补全的条形统计图如下：
(3) $36°$
【知识点】
BMI公式计算、统计图表分析、扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的体重指数问题，综合考查了公式计算与统计图表的应用，要求学生能准确从两种统计图中提取有效信息，运用百分比、圆心角计算等知识解决问题，着重考查了学生的数据分析能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
