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1. 用适当的方法解一元二次方程：
(1) $3(x-2)^2=12$.
(2) $2x^2-4x-1=0$.
(3) $2(x+1)^2=x^2-1$.
(4) $3x^2-10x+8=0$.
(1) $3(x-2)^2=12$.
(2) $2x^2-4x-1=0$.
(3) $2(x+1)^2=x^2-1$.
(4) $3x^2-10x+8=0$.
答案
(1) 解：$(x-2)^2=4$，$\therefore x-2=2$或$x-2=-2$，$\therefore x_1=4$，$x_2=0$。
(2)【解法一：配方法】$2x^2-4x=1$，$x^2-2x=\frac{1}{2}$，$x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1$，$\therefore (x-1)^2=\frac{3}{2}$，$\therefore x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。【解法二：公式法】这里$a=2,b=-4,c=-1$，$\because\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$，$\therefore x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(3)$2(x+1)^2-(x+1)(x-1)=0$，$(x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0$，$(x+1)(x+3)=0$，$\therefore x+1=0$或$x+3=0$，$\therefore x_1=-1$，$x_2=-3$。
(4)$(x-2)(3x-4)=0$，$\therefore x-2=0$或$3x-4=0$，$\therefore x_1=2$，$x_2=\frac{4}{3}$。
(2)【解法一：配方法】$2x^2-4x=1$，$x^2-2x=\frac{1}{2}$，$x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1$，$\therefore (x-1)^2=\frac{3}{2}$，$\therefore x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。【解法二：公式法】这里$a=2,b=-4,c=-1$，$\because\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$，$\therefore x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(3)$2(x+1)^2-(x+1)(x-1)=0$，$(x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0$，$(x+1)(x+3)=0$，$\therefore x+1=0$或$x+3=0$，$\therefore x_1=-1$，$x_2=-3$。
(4)$(x-2)(3x-4)=0$，$\therefore x-2=0$或$3x-4=0$，$\therefore x_1=2$，$x_2=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构，选择最简便的解法：(1)方程左边为含未知数的平方形式，右边为正的常数，优先选直接开平方法，先将系数化为1再开平方求解；(2)方程二次项、一次项系数为偶数，可选用配方法，也可直接用通用的公式法求解，配方法需先移项、化二次项系数为1，再配方后开平方；公式法需先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式；(3)方程两边都有含(x+1)的因式，移项后提取公因式用因式分解法求解更简便；(4)左侧二次三项式可通过十字相乘法分解，选因式分解法计算效率最高。
【解析】
(1) 方程两边同时除以3，得$(x-2)^2=4$，开平方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得对应根。
(2) 解法一（配方法）：移项得$2x^2-4x=1$，两边同时除以2得$x^2-2x=\frac{1}{2}$，两边同时加1配方得$x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1$，即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$，开平方得$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得对应根。
解法二（公式法）：该方程$a=2,b=-4,c=-1$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得$x=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得对应根。
(3) 移项得$2(x+1)^2-(x^2-1)=0$，利用平方差公式分解得$2(x+1)^2-(x+1)(x-1)=0$，提取公因式$(x+1)$得$(x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0$，整理得$(x+1)(x+3)=0$，令每个因式为0，解得对应根。
(4) 十字相乘分解左侧二次三项式得$(x-2)(3x-4)=0$，令每个因式为0，解得对应根。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=0$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(3) $x_1=-1$，$x_2=-3$
(4) $x_1=2$，$x_2=\frac{4}{3}$
【知识点】
直接开平方法、因式分解法、一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时需根据方程的形式灵活选择最简便的解法，熟练掌握各类解法的适用条件和操作步骤，可有效降低计算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程结构，选择最简便的解法：(1)方程左边为含未知数的平方形式，右边为正的常数，优先选直接开平方法，先将系数化为1再开平方求解；(2)方程二次项、一次项系数为偶数，可选用配方法，也可直接用通用的公式法求解，配方法需先移项、化二次项系数为1，再配方后开平方；公式法需先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式；(3)方程两边都有含(x+1)的因式，移项后提取公因式用因式分解法求解更简便；(4)左侧二次三项式可通过十字相乘法分解，选因式分解法计算效率最高。
【解析】
(1) 方程两边同时除以3，得$(x-2)^2=4$，开平方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得对应根。
(2) 解法一（配方法）：移项得$2x^2-4x=1$，两边同时除以2得$x^2-2x=\frac{1}{2}$，两边同时加1配方得$x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1$，即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$，开平方得$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得对应根。
解法二（公式法）：该方程$a=2,b=-4,c=-1$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得$x=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得对应根。
(3) 移项得$2(x+1)^2-(x^2-1)=0$，利用平方差公式分解得$2(x+1)^2-(x+1)(x-1)=0$，提取公因式$(x+1)$得$(x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0$，整理得$(x+1)(x+3)=0$，令每个因式为0，解得对应根。
(4) 十字相乘分解左侧二次三项式得$(x-2)(3x-4)=0$，令每个因式为0，解得对应根。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=0$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(3) $x_1=-1$，$x_2=-3$
(4) $x_1=2$，$x_2=\frac{4}{3}$
【知识点】
直接开平方法、因式分解法、一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时需根据方程的形式灵活选择最简便的解法，熟练掌握各类解法的适用条件和操作步骤，可有效降低计算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
2. 阅读下列材料：
$x^4 -6x^2 +5=0$ 是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：
设 $x^2 = y$，那么 $x^4 = y^2$，于是原方程可变为 $y^2 -6y +5=0$。
解这个方程，得 $y_1=1, y_2=5$。
当 $y=1$ 时，$x^2=1, \therefore x=\pm1$；
当 $y=5$ 时，$x^2=5, \therefore x=\pm\sqrt{5}$。
所以原方程有四个根：$x_1=1, x_2=-1, x_3=\sqrt{5}, x_4=-\sqrt{5}$。
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想。
(1) 利用换元法解方程 $(x^2 -x)^2 -3(x^2 -x)-18=0$，可设 $\_\_\_\_\_\_=y$，则原方程可变为 ______，最终得到原方程的根为 ______。
(2) 若 $(x^2 + y^2 +1)(x^2 + y^2 +3)=8$，求 $x^2 + y^2$ 的值。
$x^4 -6x^2 +5=0$ 是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：
设 $x^2 = y$，那么 $x^4 = y^2$，于是原方程可变为 $y^2 -6y +5=0$。
解这个方程，得 $y_1=1, y_2=5$。
当 $y=1$ 时，$x^2=1, \therefore x=\pm1$；
当 $y=5$ 时，$x^2=5, \therefore x=\pm\sqrt{5}$。
所以原方程有四个根：$x_1=1, x_2=-1, x_3=\sqrt{5}, x_4=-\sqrt{5}$。
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想。
(1) 利用换元法解方程 $(x^2 -x)^2 -3(x^2 -x)-18=0$，可设 $\_\_\_\_\_\_=y$，则原方程可变为 ______，最终得到原方程的根为 ______。
(2) 若 $(x^2 + y^2 +1)(x^2 + y^2 +3)=8$，求 $x^2 + y^2$ 的值。
答案
(1) 可设$x^2 -x=y$，则原方程可变为$y^2 -3y -18=0$，最终得到原方程的根为$x_1=-2,x_2=3$。
(2) 设$x^2 + y^2 = m$，则原方程变为$(m+1)(m+3)=8$。整理，得$m^2 +4m -5=0$。解得$m_1=-5,m_2=1$。$\because x^2 + y^2 \ge 0$，即$m\ge0$，$\therefore m=1$，即$x^2 + y^2 =1$。
(2) 设$x^2 + y^2 = m$，则原方程变为$(m+1)(m+3)=8$。整理，得$m^2 +4m -5=0$。解得$m_1=-5,m_2=1$。$\because x^2 + y^2 \ge 0$，即$m\ge0$，$\therefore m=1$，即$x^2 + y^2 =1$。
解析
【分析】
这两道题均考查换元法解方程的应用，解题核心是将方程中重复出现的含未知数的整体设为新未知数，实现降次，将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，最后还要结合隐含条件对解进行取舍。
(1) 观察方程可发现$x^2-x$重复出现，因此设其为y，即可将原四次方程转化为关于y的一元二次方程，先解出y的取值，再代回$y=x^2-x$求解x，若对应的一元二次方程无实根，则舍去该y值。
(2) 观察等式可发现$x^2+y^2$重复出现，设其为m，即可将原方程转化为关于m的一元二次方程，同时要注意平方的非负性，$x^2+y^2≥0$，解出m后需舍去不符合条件的负值。
【解析】
(1) 设$x^2-x=y$，则原方程可化为$y^2-3y-18=0$，
因式分解得$(y-6)(y+3)=0$，解得$y_1=6$，$y_2=-3$。
当$y=6$时，$x^2-x=6$，整理得$x^2-x-6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$；
当$y=-3$时，$x^2-x=-3$，整理得$x^2-x+3=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×3=-11＜0$，此方程无实根，舍去。
因此原方程的根为$x_1=-2,x_2=3$。
(2) 设$x^2+y^2=m$，根据平方的非负性可知$m≥0$，
原方程可化为$(m+1)(m+3)=8$，
展开整理得$m^2+4m-5=0$，
因式分解得$(m+5)(m-1)=0$，解得$m_1=-5$，$m_2=1$。
因为$m≥0$，所以$m=-5$不符合要求，舍去，因此$m=1$。
【答案】
(1) $x^2 -x$；$y^2 -3y -18=0$；$x_1=-2,x_2=3$
(2) $x^2 + y^2 =1$
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解法、非负数的性质
【点评】
本题重点考查换元法的应用，通过将重复出现的整体设为新元，可将高次或结构复杂的方程转化为常见的一元二次方程求解，解题时需注意根据方程的隐含条件对求得的解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查换元法解方程的应用，解题核心是将方程中重复出现的含未知数的整体设为新未知数，实现降次，将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，最后还要结合隐含条件对解进行取舍。
(1) 观察方程可发现$x^2-x$重复出现，因此设其为y，即可将原四次方程转化为关于y的一元二次方程，先解出y的取值，再代回$y=x^2-x$求解x，若对应的一元二次方程无实根，则舍去该y值。
(2) 观察等式可发现$x^2+y^2$重复出现，设其为m，即可将原方程转化为关于m的一元二次方程，同时要注意平方的非负性，$x^2+y^2≥0$，解出m后需舍去不符合条件的负值。
【解析】
(1) 设$x^2-x=y$，则原方程可化为$y^2-3y-18=0$，
因式分解得$(y-6)(y+3)=0$，解得$y_1=6$，$y_2=-3$。
当$y=6$时，$x^2-x=6$，整理得$x^2-x-6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$；
当$y=-3$时，$x^2-x=-3$，整理得$x^2-x+3=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×3=-11＜0$，此方程无实根，舍去。
因此原方程的根为$x_1=-2,x_2=3$。
(2) 设$x^2+y^2=m$，根据平方的非负性可知$m≥0$，
原方程可化为$(m+1)(m+3)=8$，
展开整理得$m^2+4m-5=0$，
因式分解得$(m+5)(m-1)=0$，解得$m_1=-5$，$m_2=1$。
因为$m≥0$，所以$m=-5$不符合要求，舍去，因此$m=1$。
【答案】
(1) $x^2 -x$；$y^2 -3y -18=0$；$x_1=-2,x_2=3$
(2) $x^2 + y^2 =1$
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解法、非负数的性质
【点评】
本题重点考查换元法的应用，通过将重复出现的整体设为新元，可将高次或结构复杂的方程转化为常见的一元二次方程求解，解题时需注意根据方程的隐含条件对求得的解进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
