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【例1】 解一元二次方程：
(1)$x^2 +6x -2=0$.
方法一:配方法.
方法指导
若一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$中，$\frac{b}{a}$为偶数，可考虑用配方法求解.
方法二:公式法.
(2)$(3x-2)^2=(x+4)^2$.
方法一:直接开平方法.
方法指导
易化为$(mx+n)^2=p(m≠0,p≥0)$型的一元二次方程，可用直接开平方法求解.
方法二:因式分解法.
(1)$x^2 +6x -2=0$.
方法一:配方法.
方法指导
若一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$中，$\frac{b}{a}$为偶数，可考虑用配方法求解.
方法二:公式法.
(2)$(3x-2)^2=(x+4)^2$.
方法一:直接开平方法.
方法指导
易化为$(mx+n)^2=p(m≠0,p≥0)$型的一元二次方程，可用直接开平方法求解.
方法二:因式分解法.
答案
(1)方法一：移项，得$x^2 +6x=2$，$x^2 +6x +9=2+9$，$(x+3)^2=11$，$\therefore x+3=\pm\sqrt{11}$，$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
方法二：这里$a=1,b=6,c=-2$，$\because\Delta=b^2-4ac=6^2-4×1×(-2)=44＞0$，$\therefore x=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{-6\pm2\sqrt{11}}{2}=-3\pm\sqrt{11}$，$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
(2)方法一：直接开平方，得$3x-2=\pm(x+4)$，$\therefore 3x-2=x+4$或$3x-2=-(x+4)$，$\therefore x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
方法二：$(3x-2)^2-(x+4)^2=0$，$[(3x-2)+(x+4)][(3x-2)-(x+4)]=0$，$\therefore (4x+2)(2x-6)=0$，$\therefore 4x+2=0$或$2x-6=0$，$\therefore x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
方法二：这里$a=1,b=6,c=-2$，$\because\Delta=b^2-4ac=6^2-4×1×(-2)=44＞0$，$\therefore x=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{-6\pm2\sqrt{11}}{2}=-3\pm\sqrt{11}$，$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
(2)方法一：直接开平方，得$3x-2=\pm(x+4)$，$\therefore 3x-2=x+4$或$3x-2=-(x+4)$，$\therefore x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
方法二：$(3x-2)^2-(x+4)^2=0$，$[(3x-2)+(x+4)][(3x-2)-(x+4)]=0$，$\therefore (4x+2)(2x-6)=0$，$\therefore 4x+2=0$或$2x-6=0$，$\therefore x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的不同解法，需根据方程的形式选择对应方法逐步求解：
(1) 对于方程$x^2+6x-2=0$：①配方法：先移项把常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方转化为一元一次方程求解；②公式法：先确定方程中$a,b,c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式计算结果。
(2) 对于方程$(3x-2)^2=(x+4)^2$：①直接开平方法：方程左右两边都是完全平方的形式，直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可；②因式分解法：先移项使方程右边为0，左边利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0，分别求解得方程的根。
【解析】
(1)方法一（配方法）：
移项，得$x^2 +6x=2$，
配方，得$x^2 +6x +9=2+9$，即$(x+3)^2=11$，
开平方，得$x+3=\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
方法二（公式法）：
这里$a=1,b=6,c=-2$，
$\because\Delta=b^2-4ac=6^2-4×1×(-2)=44＞0$，
$\therefore x=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{-6\pm2\sqrt{11}}{2}=-3\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
(2)方法一（直接开平方法）：
直接开平方，得$3x-2=\pm(x+4)$，
$\therefore 3x-2=x+4$或$3x-2=-(x+4)$，
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
方法二（因式分解法）：
移项，得$(3x-2)^2-(x+4)^2=0$，
利用平方差公式分解因式，得$[(3x-2)+(x+4)][(3x-2)-(x+4)]=0$，
整理，得$(4x+2)(2x-6)=0$，
$\therefore 4x+2=0$或$2x-6=0$，
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$；
(2) $x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，需熟练掌握不同解法的适用条件和操作步骤，学会根据方程的特征灵活选择简便解法，可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的不同解法，需根据方程的形式选择对应方法逐步求解：
(1) 对于方程$x^2+6x-2=0$：①配方法：先移项把常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方转化为一元一次方程求解；②公式法：先确定方程中$a,b,c$的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式计算结果。
(2) 对于方程$(3x-2)^2=(x+4)^2$：①直接开平方法：方程左右两边都是完全平方的形式，直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可；②因式分解法：先移项使方程右边为0，左边利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0，分别求解得方程的根。
【解析】
(1)方法一（配方法）：
移项，得$x^2 +6x=2$，
配方，得$x^2 +6x +9=2+9$，即$(x+3)^2=11$，
开平方，得$x+3=\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
方法二（公式法）：
这里$a=1,b=6,c=-2$，
$\because\Delta=b^2-4ac=6^2-4×1×(-2)=44＞0$，
$\therefore x=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{-6\pm2\sqrt{11}}{2}=-3\pm\sqrt{11}$，
$\therefore x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$。
(2)方法一（直接开平方法）：
直接开平方，得$3x-2=\pm(x+4)$，
$\therefore 3x-2=x+4$或$3x-2=-(x+4)$，
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
方法二（因式分解法）：
移项，得$(3x-2)^2-(x+4)^2=0$，
利用平方差公式分解因式，得$[(3x-2)+(x+4)][(3x-2)-(x+4)]=0$，
整理，得$(4x+2)(2x-6)=0$，
$\therefore 4x+2=0$或$2x-6=0$，
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=-3+\sqrt{11}$，$x_2=-3-\sqrt{11}$；
(2) $x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练题，需熟练掌握不同解法的适用条件和操作步骤，学会根据方程的特征灵活选择简便解法，可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
【例2】 用“十字相乘法”解一元二次方程：
(1)$x^2 +5x -14=0$.
(2)$2x^2 +3x +1=0$.
(1)$x^2 +5x -14=0$.
(2)$2x^2 +3x +1=0$.
答案
(1)原方程因式分解，得$(x+7)(x-2)=0$，$\therefore x+7=0$或$x-2=0$，$\therefore x_1=-7$，$x_2=2$。
(2)原方程因式分解，得$(x+1)(2x+1)=0$，$\therefore x+1=0$或$2x+1=0$，$\therefore x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(2)原方程因式分解，得$(x+1)(2x+1)=0$，$\therefore x+1=0$或$2x+1=0$，$\therefore x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题考查用十字相乘法因式分解求解一元二次方程，解题思路如下：
1. 对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，十字相乘的核心是找到两个数$m$、$n$，满足$m× n=c$且$m+n=b$，即可将方程分解为$(x+m)(x+n)=0$；对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠1$）的方程，需将二次项系数$a$拆为$a_1× a_2$，常数项$c$拆为$c_1× c_2$，满足$a_1c_2+a_2c_1=b$，即可分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0$。
2. 分解完成后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
第一问中方程$x^2+5x-14=0$的常数项为$-14$，一次项系数为$5$，找到数字7和$-2$，满足$7×(-2)=-14$、$7+(-2)=5$，符合拆分要求；第二问中方程$2x^2+3x+1=0$的二次项系数2可拆为$1×2$，常数项1可拆为$1×1$，交叉相乘求和得$1×1+2×1=3$，正好等于一次项系数，符合拆分要求。
【解析】
(1) 对原方程用十字相乘法因式分解，得：
$(x+7)(x-2)=0$
$\therefore x+7=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=-7$，$x_2=2$。
(2) 对原方程用十字相乘法因式分解，得：
$(x+1)(2x+1)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $2x+1=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-7$，$x_2=2$；(2)$x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握十字相乘的系数拆分规则，拆分后要验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，避免拆分错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用十字相乘法因式分解求解一元二次方程，解题思路如下：
1. 对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，十字相乘的核心是找到两个数$m$、$n$，满足$m× n=c$且$m+n=b$，即可将方程分解为$(x+m)(x+n)=0$；对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠1$）的方程，需将二次项系数$a$拆为$a_1× a_2$，常数项$c$拆为$c_1× c_2$，满足$a_1c_2+a_2c_1=b$，即可分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)=0$。
2. 分解完成后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
第一问中方程$x^2+5x-14=0$的常数项为$-14$，一次项系数为$5$，找到数字7和$-2$，满足$7×(-2)=-14$、$7+(-2)=5$，符合拆分要求；第二问中方程$2x^2+3x+1=0$的二次项系数2可拆为$1×2$，常数项1可拆为$1×1$，交叉相乘求和得$1×1+2×1=3$，正好等于一次项系数，符合拆分要求。
【解析】
(1) 对原方程用十字相乘法因式分解，得：
$(x+7)(x-2)=0$
$\therefore x+7=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=-7$，$x_2=2$。
(2) 对原方程用十字相乘法因式分解，得：
$(x+1)(2x+1)=0$
$\therefore x+1=0$ 或 $2x+1=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-7$，$x_2=2$；(2)$x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握十字相乘的系数拆分规则，拆分后要验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，避免拆分错误。
【难度系数】
0.8
