二次函数
$y=ax^2+bx+c$ 配方 二次函数
$y=a(x+$$)^2+$ → 性质
$y=ax^2+bx+c$ | $a＞0$ 开口向上 | $a＜0$ 开口向下
--- | --- | ---
抛物线对称轴 | 直线 $x=$ |
抛物线顶点坐标 | ( , ) |
函数增减情况 | 在对称轴左侧，$y$随 $x$ 的增大而 ；在对称轴右侧，$y$随 $x$ 的增大而 | 在对称轴左侧，$y$随 $x$ 的增大而 ；在对称轴右侧，$y$随 $x$ 的增大而
函数最大值或最小值 | 最小值 | 最大值
| 当 $x=$ 时，$y$ 取最值，为 |

$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；减小；增大；增大；减小；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
解题时先回忆二次函数一般式配方为顶点式的步骤，再从顶点式推导二次函数的各项性质：1. 先对一般式$y=ax^2+bx+c$提取二次项系数$a$，再凑完全平方整理得到顶点式，即可得到顶点式的两个常数项；2. 顶点式中可直接读出对称轴、顶点坐标；3. 结合开口方向分析增减性：开口向上时抛物线左降右升，开口向下时左升右降；4. 最值在顶点处取得，对应横坐标为对称轴的x值，纵坐标为顶点的y值。
【解析】
1. 配方过程：
$y=ax^2+bx+c = a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
$=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
$=a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+c$
$=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}$
因此配方后两个空依次填$\frac{b}{2a}$、$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 对称轴：由顶点式可知，抛物线对称轴为过顶点且平行于y轴的直线，即直线$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 顶点坐标：顶点式对应顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，因此两个空依次填$-\frac{b}{2a}$、$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
4. 增减性：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧（$x＜-\frac{b}{2a}$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞-\frac{b}{2a}$），$y$随$x$的增大而增大。
当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜-\frac{b}{2a}$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞-\frac{b}{2a}$），$y$随$x$的增大而减小。
因此四个空依次填减小、增大、增大、减小。
5. 最值：最值在顶点处取得，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最值，值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此两个空依次填$-\frac{b}{2a}$、$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；$-\frac{b}{2a}$；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；减小；增大；增大；减小；$-\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数配方；二次函数图像性质；二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心是掌握二次函数一般式转化为顶点式的配方方法，能结合顶点式推导对称轴、顶点坐标、增减性、最值等核心性质，是二次函数各类题型的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

1.(新知回顾) 把二次函数 $y=x^2-8x-7$ 化成 $y=a(x-h)^2+k$ 的形式是，其对应的图象开口向，对称轴为直线，顶点坐标为；当 $x=$时，$y$ 取最值，为。

1.$y=(x-4)^2-23$；上；$x=4$；$(4,-23)$；4；小；$-23$

【分析】
要解决这道题，首先需要用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，配方法的核心是对二次项和一次项凑完全平方，注意变形过程中要保持式子的值不变；再根据顶点式中$a$的正负判断开口方向，直接对应得到对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向判断函数的最值情况：当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点处取最小值；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点处取最大值。
【解析】
1. 将一般式化为顶点式：
对$y=x^2-8x-7$使用配方法，先将二次项、一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证等式成立：
$\begin{aligned}y&=x^2-8x-7\\&=(x^2-8x+16)-16-7\\&=(x-4)^2-23\end{aligned}$
2. 分析二次函数的图象与性质：
顶点式中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，可得本题对称轴为直线$x=4$；
顶点坐标为$(h,k)$，即$(4,-23)$；
因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，当$x=h=4$时，$y$取最小值，最小值为$k=-23$。
【答案】
$y=(x-4)^2-23$；上；$x=4$；$(4,-23)$；4；小；$-23$
【知识点】
二次函数一般式化顶点式；二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点要求掌握配方法的操作步骤，以及顶点式与抛物线各项性质的对应关系，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. [2026合肥期中]二次函数$y=x^2+2x-1$的大致图象是（）

2.B

【分析】
判断二次函数图象可从开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点等特征入手，用排除法解题：首先由二次项系数a的符号确定开口方向，排除不符合的选项；再用对称轴公式计算对称轴位置，排除对称轴位置错误的选项；最后通过与y轴、x轴的交点特征排除剩余错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=x^2+2x-1$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项A开口向下，排除A。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴在y轴左侧，选项C的对称轴在y轴右侧，排除C。
3. 分析与坐标轴交点：
令$x=0$，代入得$y=-1$，即抛物线与y轴交于$(0,-1)$，在y轴负半轴；
令$y=0$，解方程$x^2+2x-1=0$，由求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-1)}}{2×1}=-1\pm\sqrt{2}$，其中正根为$-1+\sqrt{2}\approx0.414＞0$，说明抛物线与x轴正半轴有交点，交点在原点右侧，选项D的两个x轴交点都在原点左侧，排除D。
综上，只有选项B符合所有图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数对称轴、二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题型，核心考察二次函数各项系数与图象特征的对应关系，熟练掌握相关性质后用排除法可快速求解，是二次函数基础内容的常规考法。
【难度系数】
0.7

3.关于抛物线$y=-x^2+4x-5$，下列说法错误的是（）

A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.顶点坐标为$(2,-1)$
D.在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大

3.B

【分析】
要判断关于二次函数的说法是否正确，需先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质：开口方向由$a$的符号决定，对称轴用公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，顶点坐标可通过代入对称轴对应的$x$值求$y$得到，增减性结合开口方向和对称轴判断。本题为选错题，只需逐一验证四个选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+4x-5$，其中$a=-1$，$b=4$，$c=-5$：
1. 验证A选项：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 验证B选项：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，即对称轴是直线$x=2$，不是$x=-2$，B说法错误，符合题意；
3. 验证C选项：将$x=2$代入函数解析式，得$y=-2^2+4×2-5=-4+8-5=-1$，$\therefore$顶点坐标为$(2,-1)$，C说法正确，不符合题意；
4. 验证D选项：$\because$抛物线开口向下，$\therefore$在对称轴左侧（$x＜2$时），$y$随$x$的增大而增大，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴，二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，属于常规基础题型，只要熟练掌握二次函数开口、对称轴、顶点坐标、增减性的判断方法，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

4.已知$A(2,a),B(m,b)$是抛物线$y=-x^2-2x+c$上不同的两点.当$m=-2$时,如何比较$a$与$b$的大小?
【思考过程】
(1)分析问题:比较函数值$a$与$b$的大小→可尝试求$a,b$,或分析点$A,B$的位置关系.
(2)分析条件:根据$y=-x^2-2x+c$的特征,适合选用什么方法?
(3)比较大小:$a$ $b$(填“＞”“＜”或“=”）.
【拓展设问】当$a=b$时,$m=$.

4.(3)＜ 【拓展设问】$-4$

【分析】
要比较抛物线上两点的函数值大小，有两种常用思路：①直接将两点横坐标代入抛物线解析式，分别求出a、b的表达式再作差比较；②先确定抛物线的开口方向和对称轴，通过比较两点到对称轴的距离判断函数值大小。对于拓展设问，当两点函数值相等且为不同点时，说明两点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴公式即可求出m的值。
【解析】
（3）比较a和b的大小
当$m=-2$时：
将点$A(2,a)$代入$y=-x^2-2x+c$：
$a=-2^2-2×2 + c=-4-4+c=c-8$
将点$B(-2,b)$代入$y=-x^2-2x+c$：
$b=-(-2)^2-2×(-2)+c=-4+4+c=c$
因为$c-8＜c$，所以$a＜b$。
拓展设问求解m
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中二次项系数为$-1$，一次项系数为$-2$，因此：
对称轴$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$
当$a=b$时，A、B是抛物线上不同的两点，说明两点关于对称轴对称，即两点横坐标的中点在对称轴上：
$\frac{2+m}{2}=-1$
解得：$2+m=-2$，$m=-4$。
【答案】
(3)$＜$；拓展设问：$-4$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数基础应用题，考查函数值比较和对称性的应用，既可以直接代入计算求解，也可以利用二次函数性质快速判断，方法灵活，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

元认知·归纳
若抛物线开口向上(下)，则与对称轴距离越近的点，函数值越（）；与对称轴距离相等的点，函数值。

元认知·归纳：小；大；相等

【分析】
解题时可结合二次函数的图象特征推导：①首先明确抛物线的顶点在对称轴上，开口向上时顶点是图象的最低点（对应函数最小值），开口向下时顶点是图象的最高点（对应函数最大值），点到对称轴的距离越近，就越靠近顶点，函数值就越接近最值；②再结合二次函数的轴对称性推导距离相等的点的函数值关系。
【解析】
1. 当抛物线开口向上时，顶点是图象的最低点，点到对称轴的距离越近，越靠近最低点，函数值越小；
2. 当抛物线开口向下时，顶点是图象的最高点，点到对称轴的距离越近，越靠近最高点，函数值越大；
3. 二次函数图象是关于对称轴对称的轴对称图形，若两点到对称轴的距离相等，则两点关于对称轴对称，对应的函数值相等。
【答案】
小；大；相等
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的轴对称性
【点评】
本题是二次函数基础性质的归纳题，所考查的结论是比较二次函数值大小的核心依据，需要熟练掌握并能灵活运用到实际解题中。
【难度系数】
0.8

5.抛物线$y=-2x^2+8x-6$.
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标及对称轴；
(2)当x时，y随x的增大而减小；
(3)当$2≤ x≤4$时，y的取值范围为.

5.解：(1)因为 $y=-2x^2+8x-6=-2(x-2)^2+2$，所以抛物线的顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线 $x=2$。
(2)＞2
(3)$-6≤y≤2$

【分析】
(1) 配方法求二次函数顶点坐标和对称轴的思路：先提取二次项系数，将二次项、一次项组合，再通过加、减一次项系数一半的平方凑完全平方式，整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，即可直接得到顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$。
(2) 二次函数增减性由开口方向和对称轴共同决定：先判断开口方向，$a=-2＜0$则抛物线开口向下，开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x增大而减小，结合第一问得到的对称轴即可得出结果。
(3) 求给定x区间内y的取值范围：先判断区间内函数的增减性，$2≤x≤4$在对称轴右侧，函数单调递减，因此x取区间左端点时y最大，取右端点时y最小，分别代入计算即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 对抛物线解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+8x-6\\&=-2(x^2-4x)-6\\&=-2(x^2-4x+4-4)-6\\&=-2(x-2)^2+8-6\\&=-2(x-2)^2+2\end{aligned}$
由顶点式可得，抛物线顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x=2$。
(2) 因为$a=-2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即当$x＞2$时，y随x的增大而减小。
(3) 当$2≤x≤4$时，函数在该区间单调递减：
$x=2$时，y取最大值为$2$；
$x=4$时，代入解析式得$y=-2×4^2+8×4-6=-6$，即y的最小值为$-6$；
因此y的取值范围为$-6≤y≤2$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x=2$；
(2) $＞2$；
(3) $-6≤y≤2$
【知识点】
配方法求顶点式，二次函数增减性，二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，正确运用配方法是解题前提，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应关系，即可快速解决这类问题，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.75

6.将函数 $y=\frac{1}{2}x^2 + x - 2$ 化成 $y=a(x-h)^2 +k$ 的形式是 ______，所以抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x -2$ 可由抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 先沿x轴向 ______（填“左”或“右”）平移 ______ 个单位长度，再沿y轴向 ______（填“上”或“下”）平移 ______ 个单位长度得到.
7.将抛物线 $y=3x^2 -6x +7$ 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为 ______.

6.$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-\frac{5}{2}$；左；1；下；$\frac{5}{2}$
7.$(3,5)$

【分析】
第6题解题思路：要将二次函数一般式化为顶点式，需使用配方法：先提取二次项系数，再对括号内的二次项和一次项进行配方，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证代数式的值不变，整理即可得到顶点式。再根据二次函数图象平移的“左加右减（针对x）、上加下减（针对常数项）”规则，对比顶点式与$y=\frac{1}{2}x^2$的形式，就能确定平移方向和距离。
第7题解题思路：先将原抛物线解析式化为顶点式得到原顶点坐标，抛物线平移时顶点会同步平移，根据平移规则直接平移顶点坐标：向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，即可得到新抛物线的顶点坐标。
【解析】
6. 对$y=\frac{1}{2}x^2 + x - 2$配方：
第一步：提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得$y=\frac{1}{2}(x^2 + 2x) - 2$
第二步：对括号内配方，$x^2+2x=(x+1)^2 - 1$，代入得：
$y=\frac{1}{2}[(x+1)^2 - 1] - 2 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{5}{2}$
根据平移规则：$y=\frac{1}{2}x^2$中x替换为$x+1$，对应沿x轴向左平移1个单位；常数项减$\frac{5}{2}$，对应沿y轴向下平移$\frac{5}{2}$个单位。
7. 先将$y=3x^2 -6x +7$化为顶点式：
提取二次项系数3，得$y=3(x^2 - 2x) +7$
配方得$y=3[(x-1)^2 - 1] +7 = 3(x-1)^2 -3 +7 = 3(x-1)^2 +4$
原抛物线顶点坐标为$(1,4)$，向右平移2个单位，横坐标变为$1+2=3$；向上平移1个单位，纵坐标变为$4+1=5$，故新抛物线顶点坐标为$(3,5)$。
【答案】
6.$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-\frac{5}{2}$；左；1；下；$\frac{5}{2}$
7.$(3,5)$
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象平移，二次函数顶点坐标
【点评】
这两道题是二次函数的基础常考题，核心考察配方法的应用和二次函数平移的规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8