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8.把抛物线$y=-2x^2$先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=-2(x+3)^2+5$
B.$y=-2(x-3)^2+5$
C.$y=-2(x+5)^2-3$
D.$y=-2(x-5)^2+3$
D
）A.$y=-2(x+3)^2+5$
B.$y=-2(x-3)^2+5$
C.$y=-2(x+5)^2-3$
D.$y=-2(x-5)^2+3$
答案
8.D
解析
【分析】
解决这道题需要用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移规则：上下平移是对函数整体值进行调整，向上平移n个单位就在表达式末尾加n，向下平移就减n；左右平移是对自变量x单独进行调整，向左平移m个单位就把x替换成(x+m)，向右平移m个单位就把x替换成(x-m)，注意仅对x本身做加减，不改变x的系数。我们按照题目给出的平移顺序，先处理向上平移，再处理向右平移，逐步推导新的解析式即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-2x^2$。
1. 第一步向上平移3个单位长度：根据“上加下减”的规律，在原解析式末尾加3，得到$y=-2x^2 + 3$；
2. 第二步向右平移5个单位长度：根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$(x-5)$，代入得$y=-2(x-5)^2 + 3$。
对比选项，该解析式对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数部分的基础常规题，核心考查对图象平移规则的理解与运用，易错点是混淆左右平移的加减方向，或平移时错误对x的系数也进行加减操作，熟练掌握“左加右减、上加下减”的原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”。首先明确平移规则：上下平移是对函数整体值进行调整，向上平移n个单位就在表达式末尾加n，向下平移就减n；左右平移是对自变量x单独进行调整，向左平移m个单位就把x替换成(x+m)，向右平移m个单位就把x替换成(x-m)，注意仅对x本身做加减，不改变x的系数。我们按照题目给出的平移顺序，先处理向上平移，再处理向右平移，逐步推导新的解析式即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-2x^2$。
1. 第一步向上平移3个单位长度：根据“上加下减”的规律，在原解析式末尾加3，得到$y=-2x^2 + 3$；
2. 第二步向右平移5个单位长度：根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$(x-5)$，代入得$y=-2(x-5)^2 + 3$。
对比选项，该解析式对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数部分的基础常规题，核心考查对图象平移规则的理解与运用，易错点是混淆左右平移的加减方向，或平移时错误对x的系数也进行加减操作，熟练掌握“左加右减、上加下减”的原则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. [2026 六安期中] 若直线 $ y = x + m $ 经过第一、三、四象限，则抛物线 $ y = (x + m)^2 - 1 $ 的顶点必在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
9.D
解析
【分析】
解题时先从已知直线的图象性质入手：①一次函数y=kx+b的图象经过的象限由k、b的符号共同决定，先根据直线y=x+m过第一、三、四象限，确定m的正负；②再回忆二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的顶点坐标为(h,k)，求出所给抛物线的顶点坐标；③最后结合m的符号判断顶点横、纵坐标的正负，即可确定顶点所在象限。
【解析】
步骤1：根据一次函数图象性质求m的取值范围
对于直线y=x+m，其中斜率k=1＞0，因此直线必然经过第一、三象限；
已知直线还经过第四象限，说明直线与y轴的交点在y轴负半轴，即截距m＜0。
步骤2：求抛物线的顶点坐标
抛物线$y=(x+m)^2-1$是顶点式，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=-m$，$k=-1$，因此顶点坐标为$(-m, -1)$。
步骤3：判断顶点所在象限
由m＜0可得$-m＞0$，即顶点横坐标为正，纵坐标$-1＜0$，符合第四象限内点的坐标特征（横坐标正、纵坐标负），因此顶点在第四象限。
【答案】D
【知识点】一次函数的图象与性质；二次函数顶点式的顶点坐标；象限内点的坐标特征
【点评】本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题的核心是先通过一次函数的图象特征确定参数的取值范围，再结合二次函数顶点坐标的规律求解，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】0.8
解题时先从已知直线的图象性质入手：①一次函数y=kx+b的图象经过的象限由k、b的符号共同决定，先根据直线y=x+m过第一、三、四象限，确定m的正负；②再回忆二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的顶点坐标为(h,k)，求出所给抛物线的顶点坐标；③最后结合m的符号判断顶点横、纵坐标的正负，即可确定顶点所在象限。
【解析】
步骤1：根据一次函数图象性质求m的取值范围
对于直线y=x+m，其中斜率k=1＞0，因此直线必然经过第一、三象限；
已知直线还经过第四象限，说明直线与y轴的交点在y轴负半轴，即截距m＜0。
步骤2：求抛物线的顶点坐标
抛物线$y=(x+m)^2-1$是顶点式，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=-m$，$k=-1$，因此顶点坐标为$(-m, -1)$。
步骤3：判断顶点所在象限
由m＜0可得$-m＞0$，即顶点横坐标为正，纵坐标$-1＜0$，符合第四象限内点的坐标特征（横坐标正、纵坐标负），因此顶点在第四象限。
【答案】D
【知识点】一次函数的图象与性质；二次函数顶点式的顶点坐标；象限内点的坐标特征
【点评】本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题的核心是先通过一次函数的图象特征确定参数的取值范围，再结合二次函数顶点坐标的规律求解，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】0.8
10.已知点$A(-1,y_1),B(2,y_2),C(5,y_3)$都在二次函数$y=-2(x-3)^2+a$的图象上，
则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 （
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 （
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
10.C
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先明确二次函数的基本性质：该二次函数为顶点式，先判断开口方向、找到对称轴，由于开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可快速比较y值大小，无需代入计算每个y值。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-3)^2+a$：
1. 二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 由顶点式可得抛物线的对称轴为直线$x=3$，开口向下时，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大；
3. 计算各点横坐标到对称轴$x=3$的距离：
点A的横坐标为$-1$，距离为$\vert -1 - 3 \vert =4$；
点B的横坐标为$2$，距离为$\vert 2 - 3 \vert =1$；
点C的横坐标为$5$，距离为$\vert 5 - 3 \vert =2$；
4. 距离大小关系为$1＜2＜4$，因此对应函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的常规考法，解题核心是抓住抛物线的开口方向和对称轴，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，相比代入计算数值的方法更简便快捷，是二次函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先明确二次函数的基本性质：该二次函数为顶点式，先判断开口方向、找到对称轴，由于开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可快速比较y值大小，无需代入计算每个y值。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-3)^2+a$：
1. 二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 由顶点式可得抛物线的对称轴为直线$x=3$，开口向下时，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大；
3. 计算各点横坐标到对称轴$x=3$的距离：
点A的横坐标为$-1$，距离为$\vert -1 - 3 \vert =4$；
点B的横坐标为$2$，距离为$\vert 2 - 3 \vert =1$；
点C的横坐标为$5$，距离为$\vert 5 - 3 \vert =2$；
4. 距离大小关系为$1＜2＜4$，因此对应函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的常规考法，解题核心是抓住抛物线的开口方向和对称轴，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，相比代入计算数值的方法更简便快捷，是二次函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
【变式·整体思想】已知关于$ x $的二次函数$ y=(x+3)^2 -4 $的图象上有两点$ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $，$ x_1 ＜ x_2 $，且$ x_1 +8 = -x_2 $，则$ y_1 $与$ y_2 $的大小关系是（
A.$ y_1 ＜ y_2 $
B.$ y_1 ＞ y_2 $
C.$ y_1 = y_2 $
D.$ y_1 +8 = -y_2 $
B
）A.$ y_1 ＜ y_2 $
B.$ y_1 ＞ y_2 $
C.$ y_1 = y_2 $
D.$ y_1 +8 = -y_2 $
答案
【变式·整体思想】B
解析
【分析】
要比较二次函数图象上两点的函数值大小，首先可结合二次函数顶点式的特点，通过作差法将$y_1$与$y_2$作差，再利用已知的$x_1$、$x_2$的数量关系整体代入，结合$x_1＜x_2$的条件判断差值的正负，即可得出$y_1$与$y_2$的大小关系；也可通过判断两点到对称轴的距离，结合开口方向比较函数值。
【解析】
对于二次函数$y=(x+3)^2 -4$，可知$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-3$。
对$y_1$和$y_2$作差：
$\begin{aligned}y_1 - y_2&=[(x_1+3)^2 -4] - [(x_2+3)^2 -4]\\&=(x_1+3)^2 - (x_2+3)^2\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解得：
$y_1 - y_2=(x_1+3 - x_2 - 3)(x_1+3 + x_2 + 3)=(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6)$
由已知$x_1 +8 = -x_2$，整理得$x_1 + x_2 = -8$，代入上式得：
$x_1 + x_2 + 6 = -8 + 6 = -2$
又因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，因此：
$y_1 - y_2 = (\mathrm{负数}) × (\mathrm{负数}) = \mathrm{正数}$，即$y_1 - y_2 ＞ 0$，所以$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，作差法比较大小，整体代入思想
【点评】
本题重点考查二次函数的性质与代数式大小比较的结合，解题关键是将已知的$x_1$与$x_2$的和的关系整体代入，通过判断差值的正负得到结论，渗透了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
要比较二次函数图象上两点的函数值大小，首先可结合二次函数顶点式的特点，通过作差法将$y_1$与$y_2$作差，再利用已知的$x_1$、$x_2$的数量关系整体代入，结合$x_1＜x_2$的条件判断差值的正负，即可得出$y_1$与$y_2$的大小关系；也可通过判断两点到对称轴的距离，结合开口方向比较函数值。
【解析】
对于二次函数$y=(x+3)^2 -4$，可知$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-3$。
对$y_1$和$y_2$作差：
$\begin{aligned}y_1 - y_2&=[(x_1+3)^2 -4] - [(x_2+3)^2 -4]\\&=(x_1+3)^2 - (x_2+3)^2\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解得：
$y_1 - y_2=(x_1+3 - x_2 - 3)(x_1+3 + x_2 + 3)=(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 6)$
由已知$x_1 +8 = -x_2$，整理得$x_1 + x_2 = -8$，代入上式得：
$x_1 + x_2 + 6 = -8 + 6 = -2$
又因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，因此：
$y_1 - y_2 = (\mathrm{负数}) × (\mathrm{负数}) = \mathrm{正数}$，即$y_1 - y_2 ＞ 0$，所以$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质，作差法比较大小，整体代入思想
【点评】
本题重点考查二次函数的性质与代数式大小比较的结合，解题关键是将已知的$x_1$与$x_2$的和的关系整体代入，通过判断差值的正负得到结论，渗透了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.6
11.抛物线$y=-2(x+2)^2+3$，当$-3≤ x≤0$时，y的最小值是
-5
，y的最大值是3
。答案
11.-5;3
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式，先确定其开口方向、对称轴和顶点坐标：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,3)$。给定自变量取值范围是$-3≤x≤0$，对称轴在该区间内，对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。因此最大值在顶点处取得，最小值需比较区间两个端点对应的函数值，取较小的即可。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=-2(x+2)^2+3$，
∴ $a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,3)$。
∵ $-3≤x≤0$，对称轴$x=-2$在该取值范围内，
∴ 当$x=-2$时，$y$取得最大值，最大值为$3$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$y=-2×(-3+2)^2+3=-2×1+3=1$；
当$x=0$时，$y=-2×(0+2)^2+3=-2×4+3=-5$。
∵ $-5＜1$，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$-5$。
【答案】
$-5$；$3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，解题核心是先明确抛物线的开口方向、对称轴，再结合给定的自变量取值范围判断最值对应的位置，需注意不要忽略自变量的取值范围直接将顶点值作为唯一最值，要结合区间端点的函数值综合判断。
【难度系数】
0.7
首先观察抛物线解析式为顶点式，先确定其开口方向、对称轴和顶点坐标：$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,3)$。给定自变量取值范围是$-3≤x≤0$，对称轴在该区间内，对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。因此最大值在顶点处取得，最小值需比较区间两个端点对应的函数值，取较小的即可。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=-2(x+2)^2+3$，
∴ $a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,3)$。
∵ $-3≤x≤0$，对称轴$x=-2$在该取值范围内，
∴ 当$x=-2$时，$y$取得最大值，最大值为$3$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$y=-2×(-3+2)^2+3=-2×1+3=1$；
当$x=0$时，$y=-2×(0+2)^2+3=-2×4+3=-5$。
∵ $-5＜1$，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$-5$。
【答案】
$-5$；$3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，解题核心是先明确抛物线的开口方向、对称轴，再结合给定的自变量取值范围判断最值对应的位置，需注意不要忽略自变量的取值范围直接将顶点值作为唯一最值，要结合区间端点的函数值综合判断。
【难度系数】
0.7
12. 分类讨论思想 已知抛物线$y=a(x-h)^2+k$与$x$轴有$A(-1,0),B(3,0)$两个交点，若抛物线$y=a(x-h-m)^2+k$与$x$轴的一个交点是$(4,0)$，则$m$的值是
5或1
。答案
12.5或1
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确两个抛物线的形状、顶点纵坐标完全相同，第二个抛物线是第一个抛物线沿x轴方向平移得到的，平移规律为“左加右减”，即平移后抛物线上所有点的横坐标相对原抛物线的横坐标变化量等于m。已知原抛物线与x轴有两个交点，平移后其中一个交点为(4,0)，因此需要分两种情况讨论：①原抛物线左交点A平移后得到(4,0)；②原抛物线右交点B平移后得到(4,0)，分别计算即可得到m的值。
【解析】
抛物线$y=a(x-h-m)^2+k$是由抛物线$y=a(x-h)^2+k$沿x轴向右平移m个单位得到的，平移后原抛物线上的所有点的横坐标都增加m，纵坐标不变。
已知原抛物线与x轴交点为$A(-1,0)$、$B(3,0)$，平移后其中一个交点为$(4,0)$，分两种情况讨论：
1. 若点$A(-1,0)$平移后得到$(4,0)$，则$-1 + m = 4$，解得$m=5$；
2. 若点$B(3,0)$平移后得到$(4,0)$，则$3 + m = 4$，解得$m=1$。
【答案】
5或1
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数与x轴交点；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规律，解题时要注意原抛物线与x轴有两个交点，平移后对应两种交点重合的情况，避免漏解，熟练掌握二次函数平移“左加右减”的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确两个抛物线的形状、顶点纵坐标完全相同，第二个抛物线是第一个抛物线沿x轴方向平移得到的，平移规律为“左加右减”，即平移后抛物线上所有点的横坐标相对原抛物线的横坐标变化量等于m。已知原抛物线与x轴有两个交点，平移后其中一个交点为(4,0)，因此需要分两种情况讨论：①原抛物线左交点A平移后得到(4,0)；②原抛物线右交点B平移后得到(4,0)，分别计算即可得到m的值。
【解析】
抛物线$y=a(x-h-m)^2+k$是由抛物线$y=a(x-h)^2+k$沿x轴向右平移m个单位得到的，平移后原抛物线上的所有点的横坐标都增加m，纵坐标不变。
已知原抛物线与x轴交点为$A(-1,0)$、$B(3,0)$，平移后其中一个交点为$(4,0)$，分两种情况讨论：
1. 若点$A(-1,0)$平移后得到$(4,0)$，则$-1 + m = 4$，解得$m=5$；
2. 若点$B(3,0)$平移后得到$(4,0)$，则$3 + m = 4$，解得$m=1$。
【答案】
5或1
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数与x轴交点；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规律，解题时要注意原抛物线与x轴有两个交点，平移后对应两种交点重合的情况，避免漏解，熟练掌握二次函数平移“左加右减”的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13. 新考法 如图，将抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$ 沿y轴向上平移得到一条新抛物线，其中点A(1,m)，B(4,n)平移后的对应点分别为A'，B'。若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新抛物线对应的函数解析式是
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+4$
。答案
13.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+4$
解析
【分析】
解题思路：首先明确抛物线沿y轴向上平移时，解析式仅常数项发生变化，遵循“上加下减”的平移规律。其次，曲线段AB扫过的阴影面积可通过割补法转化为矩形面积：平移过程中A、B两点向上平移的距离相等，阴影的水平宽度为A、B两点横坐标的差，竖直高度即为平移的距离，根据面积先求出平移距离，再代入平移规律即可得到新抛物线解析式。
【解析】
解：设抛物线沿y轴向上平移了$a$个单位。
根据平移的性质，曲线段AB扫过的阴影面积等于以A、B两点的水平距离为长，平移距离$a$为宽的矩形的面积。
已知A点横坐标为1，B点横坐标为4，因此两点水平距离为$4-1=3$。
由阴影面积为9可得等式：$3× a=9$，解得$a=3$。
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，原抛物线$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$向上平移3个单位后，新抛物线解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1+3=\frac{1}{2}(x-2)^2+4$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+4$
【知识点】
二次函数图象平移，平移的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查二次函数平移与不规则图形面积的结合，解题核心是将曲线扫过的阴影面积转化为规则的矩形面积，再结合平移规律求解，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确抛物线沿y轴向上平移时，解析式仅常数项发生变化，遵循“上加下减”的平移规律。其次，曲线段AB扫过的阴影面积可通过割补法转化为矩形面积：平移过程中A、B两点向上平移的距离相等，阴影的水平宽度为A、B两点横坐标的差，竖直高度即为平移的距离，根据面积先求出平移距离，再代入平移规律即可得到新抛物线解析式。
【解析】
解：设抛物线沿y轴向上平移了$a$个单位。
根据平移的性质，曲线段AB扫过的阴影面积等于以A、B两点的水平距离为长，平移距离$a$为宽的矩形的面积。
已知A点横坐标为1，B点横坐标为4，因此两点水平距离为$4-1=3$。
由阴影面积为9可得等式：$3× a=9$，解得$a=3$。
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，原抛物线$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$向上平移3个单位后，新抛物线解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1+3=\frac{1}{2}(x-2)^2+4$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+4$
【知识点】
二次函数图象平移，平移的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查二次函数平移与不规则图形面积的结合，解题核心是将曲线扫过的阴影面积转化为规则的矩形面积，再结合平移规律求解，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 能力训练点·探究建模 如图,要修一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m.若水管高度为$\frac{8}{3}$ m,要使水柱落地处在水池内,水池半径至少应为
4
m.答案
14.4
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，合理建立平面直角坐标系，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴；第二步，根据“水平距离1m处达到最高，高度为3m”确定抛物线的顶点坐标，设出二次函数的顶点式；第三步，利用水管高度（即x=0时的函数值）代入求出解析式的未知系数；第四步，求水柱落地位置即令y=0，解一元二次方程得到x的正根，即为水池需要的最小半径，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
以池中心为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+3\ (a≠0)$。
水管高度为$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}$，即当$x=0$时，$y=\frac{8}{3}$，代入解析式得：
$\frac{8}{3}=a(0-1)^2+3$
解得$a=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$。
水柱落地时高度为0，令$y=0$，则：
$0=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$
整理得$(x-1)^2=9$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$（距离不能为负，舍去）
即水柱落地处距离池中心的水平距离为4m，因此水池半径至少应为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数实际应用；顶点式求解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题为二次函数实际应用的基础题型，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，求解时要注意结合实际意义对解进行取舍，是考察二次函数应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，合理建立平面直角坐标系，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴；第二步，根据“水平距离1m处达到最高，高度为3m”确定抛物线的顶点坐标，设出二次函数的顶点式；第三步，利用水管高度（即x=0时的函数值）代入求出解析式的未知系数；第四步，求水柱落地位置即令y=0，解一元二次方程得到x的正根，即为水池需要的最小半径，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
以池中心为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+3\ (a≠0)$。
水管高度为$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}$，即当$x=0$时，$y=\frac{8}{3}$，代入解析式得：
$\frac{8}{3}=a(0-1)^2+3$
解得$a=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$。
水柱落地时高度为0，令$y=0$，则：
$0=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$
整理得$(x-1)^2=9$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$（距离不能为负，舍去）
即水柱落地处距离池中心的水平距离为4m，因此水池半径至少应为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数实际应用；顶点式求解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题为二次函数实际应用的基础题型，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，求解时要注意结合实际意义对解进行取舍，是考察二次函数应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
15.已知二次函数$y=\frac{1}{3}(x-3n)^2 +4 -2n$.
(1)求证:不论$n$取何值,抛物线的顶点始终在一条直线上;
(2)若点$A(b+2,a)$,$B(6n+b-4,a)$都在此二次函数图象上,求证:$a≥\frac{5}{3}$.
(1)求证:不论$n$取何值,抛物线的顶点始终在一条直线上;
(2)若点$A(b+2,a)$,$B(6n+b-4,a)$都在此二次函数图象上,求证:$a≥\frac{5}{3}$.
答案
证明：
(1) 由二次函数顶点式$y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$，可得抛物线的顶点坐标为$(3n,4-2n)$。
设顶点横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则：
$\begin{cases}x=3n \\ y=4-2n\end{cases}$
由$x=3n$得$n=\frac{x}{3}$，代入$y=4-2n$，得：
$y=4-2×\frac{x}{3}=-\frac{2}{3}x+4$
因此不论$n$取何值，抛物线的顶点始终在直线$y=-\frac{2}{3}x+4$上。
(2) 点$A(b+2,a)$、$B(6n+b-4,a)$纵坐标相等，两点关于抛物线对称轴对称。
该二次函数的对称轴为直线$x=3n$，同时对称轴为线段$AB$的垂直平分线：
$x=\frac{(b+2)+(6n+b-4)}{2}=b+3n-1$
因此$3n=b+3n-1$，解得$b=1$。
代入得点$A$的横坐标为$1+2=3$，即$A(3,a)$。
将$x=3$代入二次函数解析式：
$a=\frac{1}{3}(3-3n)^2+4-2n$
化简得：
$a=3n^2-8n+7$
配方得：
$a=3(n-\frac{4}{3})^2+\frac{5}{3}$
因为$3＞0$，$(n-\frac{4}{3})^2\ge0$，所以$a\ge\frac{5}{3}$。
(1) 由二次函数顶点式$y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$，可得抛物线的顶点坐标为$(3n,4-2n)$。
设顶点横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则：
$\begin{cases}x=3n \\ y=4-2n\end{cases}$
由$x=3n$得$n=\frac{x}{3}$，代入$y=4-2n$，得：
$y=4-2×\frac{x}{3}=-\frac{2}{3}x+4$
因此不论$n$取何值，抛物线的顶点始终在直线$y=-\frac{2}{3}x+4$上。
(2) 点$A(b+2,a)$、$B(6n+b-4,a)$纵坐标相等，两点关于抛物线对称轴对称。
该二次函数的对称轴为直线$x=3n$，同时对称轴为线段$AB$的垂直平分线：
$x=\frac{(b+2)+(6n+b-4)}{2}=b+3n-1$
因此$3n=b+3n-1$，解得$b=1$。
代入得点$A$的横坐标为$1+2=3$，即$A(3,a)$。
将$x=3$代入二次函数解析式：
$a=\frac{1}{3}(3-3n)^2+4-2n$
化简得：
$a=3n^2-8n+7$
配方得：
$a=3(n-\frac{4}{3})^2+\frac{5}{3}$
因为$3＞0$，$(n-\frac{4}{3})^2\ge0$，所以$a\ge\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明抛物线顶点始终在一条直线上，首先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先写出本题抛物线的顶点坐标，顶点的横、纵坐标均含参数$n$，我们通过消去参数$n$，即可得到顶点横、纵坐标满足的固定函数关系式，也就是顶点所在的定直线。
(2) 已知点$A$、$B$纵坐标相同，根据二次函数的对称性，两点关于抛物线的对称轴对称。因此抛物线的对称轴既可以通过顶点式直接得到，也可以是$A$、$B$两点横坐标的平均值，联立等式即可求出$b$的值，再将$A$点坐标代入二次函数解析式，得到$a$关于$n$的二次函数，通过配方求出该二次函数的最小值，即可证明$a\ge\frac{5}{3}$。
【解析】
(1) 由二次函数顶点式$y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$，可得抛物线的顶点坐标为$(3n,4-2n)$。
设顶点横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则：
$\begin{cases}x=3n \\ y=4-2n\end{cases}$
由$x=3n$得$n=\frac{x}{3}$，代入$y=4-2n$，得：
$y=4-2×\frac{x}{3}=-\frac{2}{3}x+4$
因此不论$n$取何值，抛物线的顶点始终在直线$y=-\frac{2}{3}x+4$上。
(2) 点$A(b+2,a)$、$B(6n+b-4,a)$纵坐标相等，两点关于抛物线对称轴对称。
该二次函数的对称轴为直线$x=3n$，同时对称轴为线段$AB$的垂直平分线，即：
$x=\frac{(b+2)+(6n+b-4)}{2}=b+3n-1$
因此$3n=b+3n-1$，解得$b=1$。
代入得点$A$的横坐标为$1+2=3$，即$A(3,a)$。
将$x=3$代入二次函数解析式：
$a=\frac{1}{3}(3-3n)^2+4-2n$
化简得：
$a=3n^2-8n+7$
配方得：
$a=3(n-\frac{4}{3})^2+\frac{5}{3}$
因为$3＞0$，$(n-\frac{4}{3})^2\ge0$，所以$a\ge\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 抛物线顶点始终在直线$y=-\frac{2}{3}x+4$上；
(2) $a\ge\frac{5}{3}$成立。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数最值
【点评】
本题侧重考查二次函数顶点式的核心应用，第一问通过消参求定直线，考察参数转化能力，第二问结合函数对称性求解未知参数，再通过配方求二次函数的最小值，难度适中，能有效检验对二次函数相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明抛物线顶点始终在一条直线上，首先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先写出本题抛物线的顶点坐标，顶点的横、纵坐标均含参数$n$，我们通过消去参数$n$，即可得到顶点横、纵坐标满足的固定函数关系式，也就是顶点所在的定直线。
(2) 已知点$A$、$B$纵坐标相同，根据二次函数的对称性，两点关于抛物线的对称轴对称。因此抛物线的对称轴既可以通过顶点式直接得到，也可以是$A$、$B$两点横坐标的平均值，联立等式即可求出$b$的值，再将$A$点坐标代入二次函数解析式，得到$a$关于$n$的二次函数，通过配方求出该二次函数的最小值，即可证明$a\ge\frac{5}{3}$。
【解析】
(1) 由二次函数顶点式$y=\frac{1}{3}(x-3n)^2+4-2n$，可得抛物线的顶点坐标为$(3n,4-2n)$。
设顶点横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则：
$\begin{cases}x=3n \\ y=4-2n\end{cases}$
由$x=3n$得$n=\frac{x}{3}$，代入$y=4-2n$，得：
$y=4-2×\frac{x}{3}=-\frac{2}{3}x+4$
因此不论$n$取何值，抛物线的顶点始终在直线$y=-\frac{2}{3}x+4$上。
(2) 点$A(b+2,a)$、$B(6n+b-4,a)$纵坐标相等，两点关于抛物线对称轴对称。
该二次函数的对称轴为直线$x=3n$，同时对称轴为线段$AB$的垂直平分线，即：
$x=\frac{(b+2)+(6n+b-4)}{2}=b+3n-1$
因此$3n=b+3n-1$，解得$b=1$。
代入得点$A$的横坐标为$1+2=3$，即$A(3,a)$。
将$x=3$代入二次函数解析式：
$a=\frac{1}{3}(3-3n)^2+4-2n$
化简得：
$a=3n^2-8n+7$
配方得：
$a=3(n-\frac{4}{3})^2+\frac{5}{3}$
因为$3＞0$，$(n-\frac{4}{3})^2\ge0$，所以$a\ge\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 抛物线顶点始终在直线$y=-\frac{2}{3}x+4$上；
(2) $a\ge\frac{5}{3}$成立。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数最值
【点评】
本题侧重考查二次函数顶点式的核心应用，第一问通过消参求定直线，考察参数转化能力，第二问结合函数对称性求解未知参数，再通过配方求二次函数的最小值，难度适中，能有效检验对二次函数相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
16. 运算能力 [2026 淮北模拟] 当$-2≤ x≤ 1$时，二次函数$y=-(x-m)^2+m^2+1$有最大值4，则实数$m$的值为
2或$-\sqrt{3}$
.答案
16.2或$-\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察二次函数解析式为顶点式，开口向下（$a=-1＜0$），对称轴为直线$x=m$，其最大值的取得位置与对称轴和给定区间$[-2,1]$的相对位置有关，因此需要分三类讨论：①对称轴在区间左侧（$m＜-2$）；②对称轴在区间内（$-2≤m≤1$）；③对称轴在区间右侧（$m＞1$），分别求出每种情况下的最大值，令其等于4，解出$m$后验证是否符合对应分类的前提条件即可。
【解析】
二次函数$y=-(x-m)^2+m^2+1$开口向下，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m, m^2+1)$，分三种情况讨论：
1. 当$m ＜ -2$时，区间$[-2,1]$在对称轴右侧，函数在$[-2,1]$上单调递减，最大值在$x=-2$处取得：
代入$x=-2$得：$y=-(-2-m)^2 + m^2 +1 =4$
化简得：$-3-4m=4$，解得$m=-\frac{7}{4}$
∵$-\frac{7}{4}=-1.75 ＞ -2$，不符合$m＜-2$的前提，故舍去；
2. 当$-2≤m≤1$时，对称轴在区间内，函数最大值为顶点的纵坐标：
即$m^2 +1=4$，解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$
∵$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，不符合区间要求舍去，$-\sqrt{3}\approx-1.732$满足$-2≤m≤1$，故保留$m=-\sqrt{3}$；
3. 当$m＞1$时，区间$[-2,1]$在对称轴左侧，函数在$[-2,1]$上单调递增，最大值在$x=1$处取得：
代入$x=1$得：$y=-(1-m)^2 + m^2 +1=4$
化简得：$2m=4$，解得$m=2$
∵$2＞1$，符合前提，故保留$m=2$。
综上，实数$m$的值为2或$-\sqrt{3}$。
【答案】
2或$-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，核心考查对称轴与限定区间的位置关系对最值取值的影响，解题时要注意分类讨论后对解的合理性进行验证，避免出现多解漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先观察二次函数解析式为顶点式，开口向下（$a=-1＜0$），对称轴为直线$x=m$，其最大值的取得位置与对称轴和给定区间$[-2,1]$的相对位置有关，因此需要分三类讨论：①对称轴在区间左侧（$m＜-2$）；②对称轴在区间内（$-2≤m≤1$）；③对称轴在区间右侧（$m＞1$），分别求出每种情况下的最大值，令其等于4，解出$m$后验证是否符合对应分类的前提条件即可。
【解析】
二次函数$y=-(x-m)^2+m^2+1$开口向下，对称轴为直线$x=m$，顶点坐标为$(m, m^2+1)$，分三种情况讨论：
1. 当$m ＜ -2$时，区间$[-2,1]$在对称轴右侧，函数在$[-2,1]$上单调递减，最大值在$x=-2$处取得：
代入$x=-2$得：$y=-(-2-m)^2 + m^2 +1 =4$
化简得：$-3-4m=4$，解得$m=-\frac{7}{4}$
∵$-\frac{7}{4}=-1.75 ＞ -2$，不符合$m＜-2$的前提，故舍去；
2. 当$-2≤m≤1$时，对称轴在区间内，函数最大值为顶点的纵坐标：
即$m^2 +1=4$，解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$
∵$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，不符合区间要求舍去，$-\sqrt{3}\approx-1.732$满足$-2≤m≤1$，故保留$m=-\sqrt{3}$；
3. 当$m＞1$时，区间$[-2,1]$在对称轴左侧，函数在$[-2,1]$上单调递增，最大值在$x=1$处取得：
代入$x=1$得：$y=-(1-m)^2 + m^2 +1=4$
化简得：$2m=4$，解得$m=2$
∵$2＞1$，符合前提，故保留$m=2$。
综上，实数$m$的值为2或$-\sqrt{3}$。
【答案】
2或$-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，核心考查对称轴与限定区间的位置关系对最值取值的影响，解题时要注意分类讨论后对解的合理性进行验证，避免出现多解漏解的问题。
【难度系数】
0.6
