8. 新考法 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D都在格点上,过点$P(-3,2)$的抛物线$y=mx^2+2mx+n(m＜0)$可能经过
()


A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

8.D

【分析】
解题时首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，再结合已知点$P$的坐标，利用抛物线对称性得到抛物线上另一对称点的坐标，结合抛物线开口向下的性质，根据“开口向下的抛物线，离对称轴越远，函数值越小”的规律，逐一分析各选项中点的坐标是否符合函数值的大小特征，即可选出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=mx^2+2mx+n$，根据对称轴公式可得对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2m}=-1$
已知抛物线过点$P(-3,2)$，由抛物线的对称性可知，点$P$关于对称轴$x=-1$的对称点$(1,2)$也在抛物线上，即$x=1$时，抛物线的函数值为2。
又$m＜0$，因此抛物线开口向下，离对称轴$x=-1$越远，函数值越小。
逐一分析选项：
选项A：点$A$坐标为$(1,1)$，$x=1$时抛物线函数值为2，与点$A$纵坐标不符，不可能经过点$A$；
选项B：点$B$坐标为$(0,2)$，$x=0$到对称轴距离为1，小于$x=1$到对称轴的距离2，因此$x=0$处函数值应大于2，不可能等于2，故不可能经过点$B$；
选项C：点$C$坐标为$(-2,0)$，$x=-2$到对称轴距离为1，小于$x=-3$到对称轴的距离2，因此$x=-2$处函数值应大于2，不可能等于0，故不可能经过点$C$；
选项D：点$D$坐标为$(2,-1)$，$x=2$到对称轴距离为3，大于$x=1$到对称轴的距离2，因此$x=2$处函数值小于2，$-1＜2$符合规律，可能经过点$D$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，不需要求出完整的函数解析式，只需通过对称轴、对称性和开口方向即可判断点是否在抛物线上，能很好地考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.65

9.已知点$A(4,y_1),B(1,y_2),C(-2,y_3)$都在二次函数$y=ax^2-4ax+2(a＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是________(用“＜”连接).

9.$y_3＜y_1＜y_2$

【分析】
要比较三个点的函数值大小，需先明确二次函数的开口方向和对称轴：已知a＜0，函数开口向下，此时图象上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。首先用对称轴公式求出该二次函数的对称轴，再分别计算三个点到对称轴的水平距离，根据距离大小即可判断函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2-4ax+2(a＜0)$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-4a$，得$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，即函数对称轴为直线$x=2$。
2. 分析增减性：因为$a＜0$，二次函数开口向下，图象上的点到对称轴的距离越近，对应的$y$值越大。
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$A(4,y_1)$到$x=2$的距离：$|4-2|=2$
点$B(1,y_2)$到$x=2$的距离：$|1-2|=1$
点$C(-2,y_3)$到$x=2$的距离：$|-2-2|=4$
4. 比较距离大小：$1＜2＜4$，因此对应函数值大小为$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴计算
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先确定对称轴，结合开口方向判断点到对称轴的距离与函数值的对应关系，熟练掌握二次函数图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10. [2026广州模拟改编]已知二次函数$y=x^2 - mx -3$的图象的对称轴为直线$x=1$.
(1)$m$的值是;
(2)平移抛物线$y=x^2 - mx -3$,使其顶点始终在直线$y=x -1$上,则平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最小值是.

10.(1)2
(2)$-\frac{5}{4}$

【分析】
（1）第一问可直接利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，将已知对称轴$x=1$、$a=1$、$b=-m$代入公式，即可求出$m$的值。
（2）第二问首先明确二次函数平移时二次项系数$a$不变，因为平移后顶点始终在直线$y=x-1$上，可设平移后顶点坐标为$(h, h-1)$，据此写出平移后抛物线的顶点式；再求抛物线与$y$轴交点的纵坐标，即令$x=0$得到关于$h$的二次函数，最后根据二次函数的性质求该函数的最小值即可。
【解析】
（1）对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^2 - mx -3$中，$a=1$，$b=-m$，已知对称轴为$x=1$，代入得：
$\frac{-(-m)}{2×1}=1$
化简得$\frac{m}{2}=1$，解得$m=2$。
（2）由（1）得原抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
设平移后抛物线的顶点坐标为$(h, h-1)$（因顶点在直线$y=x-1$上），由于平移不改变二次项系数，故平移后抛物线的解析式为：
$y=(x-h)^2 + (h-1)$
抛物线与$y$轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式得交点纵坐标：
$y=h^2 + h -1$
这是关于$h$的二次函数，其中$a=1＞0$，开口向上，存在最小值。
当$h=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$时，$y$取最小值：
$y=(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) -1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=-\frac{5}{4}$
即平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最小值为$-\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $2$；(2) $-\frac{5}{4}$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图象平移；二次函数最值
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设计，第一问属于基础考查，第二问需要结合一次函数特点设顶点坐标，将交点纵坐标转化为新的二次函数求最值，解题的关键是牢记平移前后二次项系数不变，熟练运用二次函数最值的计算方法。
【难度系数】
0.7

11. 能力训练点·探究建模 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$（$b,c$为常数）的顶点横坐标比抛物线$y=-x^2+2x+c$的顶点横坐标大1.
(1)$b$的值为；
(2)若点$A(x_1,m)$在抛物线$y=-x^2+bx+c$上，点$B(x_2,n)$在抛物线$y=-x^2+2x+c$上，$x_2=2x_1+0.5$，求$n-m$的最大值.

11.解：(1)4
(2)$n-m$ 的最大值为$\frac{13}{12}$.

【分析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，我们可以分别写出两个抛物线的顶点横坐标，再根据“第一个抛物线顶点横坐标比第二个大1”的等量关系列方程，即可求出$b$的值。
(2) 要求$n-m$的最大值，首先根据点在抛物线上的性质，用含$x_1$、$x_2$的式子分别表示$m$、$n$，化简$n-m$的表达式，再将$x_2=2x_1+0.5$代入，把$n-m$转化为关于$x_1$的二次函数，最后根据二次函数开口方向求其最大值即可。
【解析】
(1) 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
对于抛物线$y=-x^2+bx+c$，$a=-1$，其顶点横坐标为$\frac{b}{2}$；
对于抛物线$y=-x^2+2x+c$，$a=-1$，一次项系数为2，其顶点横坐标为$-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由题意得：$\frac{b}{2} - 1 = 1$，解得$b=4$。
(2) 由(1)知，第一个抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+c$。
∵点$A(x_1,m)$在抛物线$y=-x^2+4x+c$上，
∴$m=-x_1^2+4x_1+c$。
∵点$B(x_2,n)$在抛物线$y=-x^2+2x+c$上，
∴$n=-x_2^2+2x_2+c$。
则$n-m=(-x_2^2+2x_2+c)-(-x_1^2+4x_1+c)=x_1^2 - x_2^2 +2x_2 -4x_1$。
将$x_2=2x_1+\frac{1}{2}$代入上式：
$x_2^2=(2x_1+\frac{1}{2})^2=4x_1^2+2x_1+\frac{1}{4}$，
∴$n-m=x_1^2 - (4x_1^2+2x_1+\frac{1}{4}) +2(2x_1+\frac{1}{2}) -4x_1$
$=x_1^2 -4x_1^2 -2x_1 -\frac{1}{4} +4x_1 +1 -4x_1$
$=-3x_1^2 -2x_1 +\frac{3}{4}$。
该式是关于$x_1$的二次函数，其中$a=-3＜0$，图象开口向下，存在最大值。
当$x_1=-\frac{-2}{2×(-3)}=-\frac{1}{3}$时，$n-m$取得最大值：
最大值为$-3×(-\frac{1}{3})^2 -2×(-\frac{1}{3}) +\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{13}{12}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{\frac{13}{12}}$
【知识点】
二次函数顶点性质，二次函数最值求解，整式化简
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质命题，第一问侧重基础公式的直接应用，难度较低；第二问需要结合点与函数图象的关系，通过代入消元将所求问题转化为二次函数最值问题，考察了转化思想和计算能力，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

1. 当$ab＞0$时，函数$y=ax^2$与$y=bx+a$的大致图象可能是（）

1.C

【分析】
首先由已知条件$ab＞0$可得$a$、$b$同号，分两种情况讨论：①$a＞0$，$b＞0$；②$a＜0$，$b＜0$。再结合二次函数$y=ax^2$的开口方向由$a$的符号决定，一次函数$y=bx+a$的斜率由$b$的符号决定、与$y$轴的交点纵坐标由$a$的符号决定，逐一验证各选项是否符合两种情况的特征即可。
【解析】
$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，分两种情况分析：
1. 若$a＞0$，则$b＞0$：
二次函数$y=ax^2$开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=bx+a$斜率为正，且与$y$轴交于正半轴，图象过第一、二、三象限。
选项A中一次函数与$y$轴交于负半轴，不符合；选项B中一次函数斜率为负（呈下降趋势），不符合，故A、B错误。
2. 若$a＜0$，则$b＜0$：
二次函数$y=ax^2$开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=bx+a$斜率为负，且与$y$轴交于负半轴，图象过第二、三、四象限。
选项C中二次函数开口向下，一次函数斜率为负、与$y$轴交于负半轴，符合要求；
选项D中一次函数斜率为正（呈上升趋势），不符合，故D错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，有理数符号法则
【点评】
本题属于函数图象共存类基础题，核心考查学生对两类基本函数图象与参数关系的掌握情况，通过分类讨论结合排除法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7

2. 函数$y=ax^2 -2x +1$与$y=ax -a$（$a$是常数，且$a≠0$）的大致图象可能是（）

2.A

【分析】
这是同参数下一次函数与二次函数图象匹配的题目，解题思路是按参数a的正负分类讨论，结合两个函数的图象特征（开口方向、斜率、截距、对称轴等）逐一排除矛盾选项：1.先明确两个函数的固定特征：二次函数$y=ax^2-2x+1$的常数项为1，故与y轴恒交于$(0,1)$（y轴正半轴）；一次函数$y=ax-a$恒过点$(1,0)$。2.分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别验证两个函数的图象性质是否一致，排除不符合的选项。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2-2x+1$：开口向上，对称轴为$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，与y轴交于正半轴，符合特征的选项有A、B、C，排除开口向下的D选项。
一次函数$y=ax-a$：斜率$a＞0$，图象呈上升趋势，截距为$-a＜0$，即与y轴交于负半轴。
验证剩余选项：B中一次函数与y轴交于正半轴，矛盾，排除；C中一次函数呈下降趋势（斜率为负），矛盾，排除，仅A符合该情况。
2. 当$a＜0$时：
二次函数开口向下，一次函数斜率为负、呈下降趋势，且截距为$-a＞0$（与y轴交于正半轴），二次函数对称轴$x=\frac{1}{a}＜0$（在y轴左侧），无符合该特征的选项。
综上，只有A选项图象正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心是抓住同一参数对两个函数图象的共同约束，结合特殊点、开口方向、斜率等特征快速排除错误选项，解题时注意不要遗漏参数的正负情况。
【难度系数】
0.7