登录
已知关于 $ x $ 的方程 $(x-1)(x-2)-p^2=0$，求证：无论 $ p $ 为何值，方程总有两个不相等的实数根。
证明 因为关于 $ x $ 的方程 $(x-1) · (x-2)-p^2=0$，
所以 $ x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0 $。
所以 $ \Delta = 1 + 4p^2 ＞ 0 $。
所以无论 $ p $ 为何值，方程总有两个不相等的实数根。
证明 因为关于 $ x $ 的方程 $(x-1) · (x-2)-p^2=0$，
所以 $ x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0 $。
所以 $ \Delta = 1 + 4p^2 ＞ 0 $。
所以无论 $ p $ 为何值，方程总有两个不相等的实数根。
答案
证明：
将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$。
计算该方程的根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2) \\&= 9 - 8 + 4p^2 \\&= 1 + 4p^2\end{aligned}$
因为无论$p$取何实数，都有$p^2\ge0$，所以$4p^2\ge0$，可得$\Delta=1+4p^2\ge1＞0$。
因此无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$。
计算该方程的根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2) \\&= 9 - 8 + 4p^2 \\&= 1 + 4p^2\end{aligned}$
因为无论$p$取何实数，都有$p^2\ge0$，所以$4p^2\ge0$，可得$\Delta=1+4p^2\ge1＞0$。
因此无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要证明无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，确定a、b、c的取值；其次代入判别式公式计算Δ的表达式；最后结合平方的非负性判断Δ恒大于0，即可得证。
【解析】
1. 整理方程：将原方程展开并化为一元二次方程的一般形式：
$(x-1)(x-2)-p^2=0$展开得$x^2-3x+2-p^2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$。
2. 计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2) \\&= 9 - 8 + 4p^2 \\&= 1 + 4p^2\end{aligned}$
3. 判断Δ的符号：
因为无论p取何实数，都有$p^2\ge0$，所以$4p^2\ge0$，可得$\Delta=1+4p^2\ge1＞0$。
根据一元二次方程根的判别式的性质，Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此结论成立。
【答案】
证明：
将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$。
计算该方程的根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2) \\&= 9 - 8 + 4p^2 \\&= 1 + 4p^2\end{aligned}$
因为无论$p$取何实数，都有$p^2\ge0$，所以$4p^2\ge0$，可得$\Delta=1+4p^2\ge1＞0$。
因此无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
3. 整式化简
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型基础题，解题的关键是熟练掌握根的判别式与方程根的个数的对应关系，准确化简方程并计算判别式，结合非负数的性质判断判别式符号即可解题。
【难度系数】
0.8
要证明无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，确定a、b、c的取值；其次代入判别式公式计算Δ的表达式；最后结合平方的非负性判断Δ恒大于0，即可得证。
【解析】
1. 整理方程：将原方程展开并化为一元二次方程的一般形式：
$(x-1)(x-2)-p^2=0$展开得$x^2-3x+2-p^2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$。
2. 计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2) \\&= 9 - 8 + 4p^2 \\&= 1 + 4p^2\end{aligned}$
3. 判断Δ的符号：
因为无论p取何实数，都有$p^2\ge0$，所以$4p^2\ge0$，可得$\Delta=1+4p^2\ge1＞0$。
根据一元二次方程根的判别式的性质，Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此结论成立。
【答案】
证明：
将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - p^2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=2-p^2$。
计算该方程的根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-3)^2 - 4×1×(2-p^2) \\&= 9 - 8 + 4p^2 \\&= 1 + 4p^2\end{aligned}$
因为无论$p$取何实数，都有$p^2\ge0$，所以$4p^2\ge0$，可得$\Delta=1+4p^2\ge1＞0$。
因此无论$p$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
3. 整式化简
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型基础题，解题的关键是熟练掌握根的判别式与方程根的个数的对应关系，准确化简方程并计算判别式，结合非负数的性质判断判别式符号即可解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的方程$x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$.
（1）求证：无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求$2m^2 + 4m + 525$的值.
（1）求证：无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求$2m^2 + 4m + 525$的值.
答案
（1）证明 由题意，得 $\Delta=(2m)^2 -4(m^2 -2)=4m^2 -4m^2 +8=8＞0$.
所以无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解 由条件可知 $1^2 +2m +m^2 -2=0$. 所以 $m^2 +2m=1$. 所以 $2m^2 +4m +525=2(m^2 +2m)+525=2×1 +525=527$.
所以无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解 由条件可知 $1^2 +2m +m^2 -2=0$. 所以 $m^2 +2m=1$. 所以 $2m^2 +4m +525=2(m^2 +2m)+525=2×1 +525=527$.
解析
【分析】
（1）要证明无论m取何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是验证方程的根的判别式Δ恒大于0。首先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式化简，判断结果的正负性即可完成证明。
（2）已知方程的根为1，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程可得到关于m的等式，整理得出m²+2m的整体值；观察所求代数式的结构，将其变形为含m²+2m的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m的值，能简化运算。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-2$。
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - 2) = 4m^2 - 4m^2 + 8 = 8$，
因为$8＞0$，所以无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：将$x=1$代入原方程，得：
$1^2 + 2m + m^2 - 2 = 0$，
整理得$m^2 + 2m = 1$。
对所求代数式变形：$2m^2 + 4m + 525 = 2(m^2 + 2m) + 525$，
将$m^2 + 2m = 1$代入得：$2×1 + 525 = 527$。
【答案】
（1）无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）$\boxed{527}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的定义
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问是根的判别式的常规应用，掌握判别式和根的对应关系即可解决；第二问运用整体代入的思想简化计算，避免了求解参数的复杂运算，考查学生对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要证明无论m取何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是验证方程的根的判别式Δ恒大于0。首先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式化简，判断结果的正负性即可完成证明。
（2）已知方程的根为1，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程可得到关于m的等式，整理得出m²+2m的整体值；观察所求代数式的结构，将其变形为含m²+2m的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m的值，能简化运算。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-2$。
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - 2) = 4m^2 - 4m^2 + 8 = 8$，
因为$8＞0$，所以无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：将$x=1$代入原方程，得：
$1^2 + 2m + m^2 - 2 = 0$，
整理得$m^2 + 2m = 1$。
对所求代数式变形：$2m^2 + 4m + 525 = 2(m^2 + 2m) + 525$，
将$m^2 + 2m = 1$代入得：$2×1 + 525 = 527$。
【答案】
（1）无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）$\boxed{527}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的定义
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问是根的判别式的常规应用，掌握判别式和根的对应关系即可解决；第二问运用整体代入的思想简化计算，避免了求解参数的复杂运算，考查学生对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
若关于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^2 + 6x + 3 = 0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（）
A.$m ＞ 6$
B.$m ≤ 6$，且$m ≠ 3$
C.$m ≥ 6$
D.$m ＜ 6$，且$m ≠ 3$
解析 由题意，得$\Delta = 36 - 4(m - 3) × 3 ≥ 0$，且$m - 3 ≠ 0$。
所以$m ≤ 6$，且$m ≠ 3$。
答案 B
A.$m ＞ 6$
B.$m ≤ 6$，且$m ≠ 3$
C.$m ≥ 6$
D.$m ＜ 6$，且$m ≠ 3$
解析 由题意，得$\Delta = 36 - 4(m - 3) × 3 ≥ 0$，且$m - 3 ≠ 0$。
所以$m ≤ 6$，且$m ≠ 3$。
答案 B
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需抓住两个核心条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，不符合题意；二是方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ≥0。我们分别根据这两个条件列出不等式，求解后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(m - 3)x^2 + 6x + 3 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a = m - 3$，$b = 6$，$c = 3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m - 3)×3 ≥ 0$
化简：$36 - 12(m - 3) ≥ 0$
展开括号：$36 - 12m + 36 ≥ 0$
合并同类项：$72 - 12m ≥ 0$
移项得：$12m ≤ 72$
解得：$m ≤ 6$
结合$m ≠ 3$，最终m的取值范围是$m ≤ 6$且$m ≠ 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程参数范围求解的基础题型，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，解题时需先明确方程类型的限定条件，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需抓住两个核心条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一元一次方程，不符合题意；二是方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ≥0。我们分别根据这两个条件列出不等式，求解后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 方程$(m - 3)x^2 + 6x + 3 = 0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a = m - 3$，$b = 6$，$c = 3$
代入得：$\Delta = 6^2 - 4×(m - 3)×3 ≥ 0$
化简：$36 - 12(m - 3) ≥ 0$
展开括号：$36 - 12m + 36 ≥ 0$
合并同类项：$72 - 12m ≥ 0$
移项得：$12m ≤ 72$
解得：$m ≤ 6$
结合$m ≠ 3$，最终m的取值范围是$m ≤ 6$且$m ≠ 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程参数范围求解的基础题型，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，解题时需先明确方程类型的限定条件，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
4. 若关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + 2x + 1 = 0 $有两个相等的实数根，则实数$ a $的值为（
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
）A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的隐含条件：二次项系数不为0，即$a≠0$；其次回忆一元二次方程根的情况与判别式$\Delta$的对应关系：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；最后将对应系数代入判别式公式列方程求解，验证所得结果满足二次项系数不为0即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$中，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × 1 = 4 - 4a = 0$
解得：$a = 1$
验证$a=1≠0$，符合一元二次方程的要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意先明确一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，再结合根的判别式与根的对应关系列式计算即可，避免因忽略隐含条件导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的隐含条件：二次项系数不为0，即$a≠0$；其次回忆一元二次方程根的情况与判别式$\Delta$的对应关系：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；最后将对应系数代入判别式公式列方程求解，验证所得结果满足二次项系数不为0即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$中，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × 1 = 4 - 4a = 0$
解得：$a = 1$
验证$a=1≠0$，符合一元二次方程的要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意先明确一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，再结合根的判别式与根的对应关系列式计算即可，避免因忽略隐含条件导致错误。
【难度系数】
0.8
