1. 若关于 $ x $ 的方程 $(3 - a)x^2 - 5x + 1 = 0$ 是一元二次方程，则 $ a $ 的值不可以为 $\quad (\quad)$

A.4
B.3
C.2
D.0

1. B

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：一元二次方程的二次项系数不能为0。我们首先找到给定方程的二次项系数，根据系数不为0的要求列不等式，解出a的取值范围，再对照选项找出不符合要求的a值即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，该类方程的二次项系数不能为0。
在方程$(3 - a)x^2 - 5x + 1 = 0$中，二次项系数为$3-a$，因此需满足：
$3 - a ≠ 0$
解得$a ≠ 3$
即a的值不可以为3。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽视一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，只要牢记一元二次方程的判定要求即可快速求解。
【难度系数】
0.9

用适当的方法解方程：
(1) $2x^2 + 3x -5=0$；
(2) $2x(5x-1)=3(5x-1)$。
解 (1) $2x^2 + 3x -5=0$，
因为 $a=2$，$b=3$，$c=-5$，
所以 $\Delta = b^2 -4ac = 3^2 -4×2×(-5)=49＞0$。
所以 $x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2}$，
解得 $x_1=-\frac{5}{2}$，$x_2=1$。
(2) 移项，
得 $2x(5x-1)-3(5x-1)=0$。
左边分解因式，
得 $(5x-1)(2x-3)=0$。
$5x-1=0$ 或 $2x-3=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。

解：
(1) $2x^2 + 3x - 5 = 0$
$\because a=2$，$b=3$，$c=-5$，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-5) = 49 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2}$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得
$2x(5x-1) - 3(5x-1) = 0$，
左边分解因式，得
$(5x-1)(2x-3) = 0$，
$\therefore 5x-1=0$ 或 $2x-3=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。

【分析】
(1) 方程$2x^2 + 3x -5=0$是一元二次方程的标准形式，可选用公式法求解：首先明确二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再计算根的判别式$\Delta$判断方程实数根的情况，若$\Delta＞0$，直接代入求根公式即可计算得到方程的两个解。
(2) 方程$2x(5x-1)=3(5x-1)$的左右两侧含有相同的公因式$(5x-1)$，若直接两边除以公因式会遗漏$5x-1=0$的根，因此选用因式分解法更简便：先移项将右侧的项移到左侧，再提取公因式$(5x-1)$，将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别解对应的一元一次方程即可得到全部解。
【解析】
(1) $2x^2 + 3x - 5 = 0$
$\because a=2$，$b=3$，$c=-5$，
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-5) = 49 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2}$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得
$2x(5x-1) - 3(5x-1) = 0$，
左边分解因式，得
$(5x-1)(2x-3) = 0$，
$\therefore 5x-1=0$ 或 $2x-3=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{2}$；
(2) $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时要结合方程的结构特征选取最简便的解法，可有效提升解题正确率与速度；第二题需注意不要直接除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握各类解法的适用条件是解题的核心。
【难度系数】
0.8

2. 解方程：
(1) $x^2 + 2x -5 =0$；(配方法)
(2) $2x^2 -2x -3=0$；(公式法)
(3) $x^2 -1=3(x-1)$；(因式分解法)
(4) $3x^2 +2x=5$.(选择适当的方法)

解（1）移项，得 $x^2 + 2x =5$.
配方，得 $x^2 + 2x +1=5+1$，
$(x+1)^2=6$.
由此可得 $x+1=\pm\sqrt{6}$.
所以 $x_1=\sqrt{6}-1$，$x_2=-\sqrt{6}-1$.
（2）因为 $a=2$，$b=-2$，$c=-3$，
所以 $\Delta =b^2 -4ac=28＞0$.
所以 $x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$.
所以 $x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$.
（3）原方程变形为 $(x-1)(x+1)-3(x-1)=0$.
左边分解因式，得 $(x-1)(x-2)=0$.
所以 $x-1=0$ 或 $x-2=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=2$.
（4）移项，得 $3x^2 +2x -5=0$.
所以 $a=3$，$b=2$，$c=-5$.
所以 $b^2 -4ac=2^2 -4×3×(-5)=64$.
所以 $x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×3}=\frac{-2\pm8}{6}$.
所以 $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{3}$.

【分析】
本题需根据每个小题指定的方法（或选择合适方法）求解一元二次方程：
(1) 配方法：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配为完全平方式，最后开方计算根；
(2) 公式法：先确定方程一般形式中a、b、c的取值，计算判别式$\Delta$，若$\Delta≥0$，代入求根公式即可得到结果；
(3) 因式分解法：先利用平方差公式改写左侧，将右侧式子移到左侧后提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令因式为0求解；
(4) 可选用公式法：先移项整理为一元二次方程一般形式，再按公式法步骤计算即可。
【解析】
（1）移项，得 $x^2 + 2x =5$.
配方，得 $x^2 + 2x +1=5+1$，
$(x+1)^2=6$.
由此可得 $x+1=\pm\sqrt{6}$.
所以 $x_1=\sqrt{6}-1$，$x_2=-\sqrt{6}-1$.
（2）因为 $a=2$，$b=-2$，$c=-3$，
所以 $\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2-4×2×(-3)=28＞0$.
所以 $x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$.
所以 $x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$.
（3）原方程变形为 $(x-1)(x+1)-3(x-1)=0$.
左边分解因式，得 $(x-1)(x-2)=0$.
所以 $x-1=0$ 或 $x-2=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=2$.
（4）移项，得 $3x^2 +2x -5=0$.
所以 $a=3$，$b=2$，$c=-5$.
所以 $b^2 -4ac=2^2 -4×3×(-5)=64$.
所以 $x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×3}=\frac{-2\pm8}{6}$.
所以 $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{3}$.
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{6}-1$，$x_2=-\sqrt{6}-1$；
(2) $x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$；
(3) $x_1=1$，$x_2=2$；
(4) $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{3}$.
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程不同解法的应用，需熟练掌握各类解法的操作步骤，解题时严格按照指定方法的流程计算，注意移项变号、开方带正负号等细节，避免计算错误。
【难度系数】
0.8