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1. 关于抛物线 $ y = -x^2 + 6x -7 $，下列说法正确的是 （
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x=-3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0,7) $
D.顶点坐标是 $ (3,2) $
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x=-3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0,7) $
D.顶点坐标是 $ (3,2) $
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先明确抛物线解析式中a、b、c的取值，再根据二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标的对应判断方法，逐一分析四个选项即可得出答案。
【解析】
对于抛物线$y = -x^2 + 6x -7$，其中二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=6$，常数项$c=-7$。
A选项：当$a＜0$时抛物线开口向下，$a=-1＜0$，故开口向下，A错误；
B选项：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴是直线$x=3$，B错误；
C选项：抛物线与y轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式得$y=-7$，即交点坐标为$(0,-7)$，C错误；
D选项：将对称轴$x=3$代入解析式，得$y=-3^2+6×3-7=-9+18-7=2$，即顶点坐标为$(3,2)$，也可通过配方法变形解析式为$y=-(x-3)^2+2$，直接得到顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数基本性质，对称轴计算，顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察对二次函数相关基础公式的掌握，解题时逐一验证选项即可，难度较低，是基础得分类题目。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先明确抛物线解析式中a、b、c的取值，再根据二次函数开口方向、对称轴、与y轴交点、顶点坐标的对应判断方法，逐一分析四个选项即可得出答案。
【解析】
对于抛物线$y = -x^2 + 6x -7$，其中二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=6$，常数项$c=-7$。
A选项：当$a＜0$时抛物线开口向下，$a=-1＜0$，故开口向下，A错误；
B选项：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴是直线$x=3$，B错误；
C选项：抛物线与y轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式得$y=-7$，即交点坐标为$(0,-7)$，C错误；
D选项：将对称轴$x=3$代入解析式，得$y=-3^2+6×3-7=-9+18-7=2$，即顶点坐标为$(3,2)$，也可通过配方法变形解析式为$y=-(x-3)^2+2$，直接得到顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数基本性质，对称轴计算，顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察对二次函数相关基础公式的掌握，解题时逐一验证选项即可，难度较低，是基础得分类题目。
【难度系数】
0.8
如图，以点$P(3,1)$为顶点的抛物线交$y$轴于点$A(0,4)$.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移后恰好与$x$轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式.
解（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1$（$a≠0$）.
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，
所以$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\dfrac{1}{3}$.
所以该抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2+1$.
（2）由题意可得，平移后的抛物线的顶点在$x$轴上.
所以平移后的抛物线的顶点坐标为$(3,0)$.
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2$.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移后恰好与$x$轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式.
解（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1$（$a≠0$）.
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，
所以$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\dfrac{1}{3}$.
所以该抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2+1$.
（2）由题意可得，平移后的抛物线的顶点在$x$轴上.
所以平移后的抛物线的顶点坐标为$(3,0)$.
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2$.
答案
解：(1) 设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
将点$A(0,4)$代入解析式，得
$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
(2) 平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
将点$A(0,4)$代入解析式，得
$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
(2) 平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
解析
【分析】
（1）已知抛物线顶点坐标，优先采用顶点式设解析式，二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标。本题顶点为$P(3,1)$，可直接代入$h=3、k=1$得到含参数$a$的解析式，再将点$A(0,4)$代入解析式，求解关于$a$的一元一次方程，即可得到原抛物线的解析式。
（2）抛物线平移时二次项系数$a$保持不变；抛物线与$x$轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点落在$x$轴上，即顶点纵坐标为0，横坐标和原顶点横坐标一致，据此可直接写出平移后的解析式。
【解析】
(1) 设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
将点$A(0,4)$代入解析式，得：
$4=a(0-3)^2+1$
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
(2) 抛物线向下平移时二次项系数不变，平移后与$x$轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点坐标为$(3,0)$，因此平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2+1}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数平移性质
3. 抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点式求解解析式的方法和二次函数平移的规律，解题的关键是牢记抛物线平移时二次项系数不变，以及抛物线与x轴仅有一个交点时顶点在x轴上的性质。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线顶点坐标，优先采用顶点式设解析式，二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标。本题顶点为$P(3,1)$，可直接代入$h=3、k=1$得到含参数$a$的解析式，再将点$A(0,4)$代入解析式，求解关于$a$的一元一次方程，即可得到原抛物线的解析式。
（2）抛物线平移时二次项系数$a$保持不变；抛物线与$x$轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点落在$x$轴上，即顶点纵坐标为0，横坐标和原顶点横坐标一致，据此可直接写出平移后的解析式。
【解析】
(1) 设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
将点$A(0,4)$代入解析式，得：
$4=a(0-3)^2+1$
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
(2) 抛物线向下平移时二次项系数不变，平移后与$x$轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点坐标为$(3,0)$，因此平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2+1}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{3}(x-3)^2}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数平移性质
3. 抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点式求解解析式的方法和二次函数平移的规律，解题的关键是牢记抛物线平移时二次项系数不变，以及抛物线与x轴仅有一个交点时顶点在x轴上的性质。
【难度系数】
0.8
