登录
2. 已知二次函数$y=-2x^2+bx+c$的图象经过点$(1,0)$，$(2,-7)$。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出此二次函数的顶点坐标和对称轴。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出此二次函数的顶点坐标和对称轴。
答案
解（1）由条件可得
$\begin{cases}0=-2+b+c,\\-7=-2×2^2+2b+c.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-1,\\c=3.\end{cases}$即 $y=-2x^2-x+3.$
（2）$y=-2x^2-x+3=-2(x+\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{25}{8}.$
即顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8}).$
对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{4},$
$\begin{cases}0=-2+b+c,\\-7=-2×2^2+2b+c.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-1,\\c=3.\end{cases}$即 $y=-2x^2-x+3.$
（2）$y=-2x^2-x+3=-2(x+\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{25}{8}.$
即顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8}).$
对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{4},$
解析
【分析】
（1）已知二次函数解析式含两个未知参数b、c，且函数经过两个已知点，采用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可确定解析式。
（2）求顶点坐标和对称轴有两种方法：一是通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标和对称轴；二是直接使用顶点坐标公式、对称轴公式计算，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
（1）将点$(1,0)$、$(2,-7)$代入$y=-2x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}0=-2×1^2 + b + c\\-7=-2×2^2 + 2b + c\end{cases}$
整理得$\begin{cases}-2 + b + c = 0\\-8 + 2b + c = -7\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去c，得$b-6=-7$，解得$b=-1$；
将$b=-1$代入第一个方程，得$-2-1+c=0$，解得$c=3$。
因此二次函数解析式为$y=-2x^2 -x +3$。
（2）对一般式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 -x +3\\&=-2(x^2+\frac{1}{2}x)+3\\&=-2[(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}]+3\\&=-2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{25}{8}\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，可得：
顶点坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）$y=-2x^2 -x +3$；
（2）顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{4}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数配方；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数基础常规题，侧重考察基础方法的应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解法、配方法或顶点坐标公式，适合巩固二次函数基础知识点。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次函数解析式含两个未知参数b、c，且函数经过两个已知点，采用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可确定解析式。
（2）求顶点坐标和对称轴有两种方法：一是通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标和对称轴；二是直接使用顶点坐标公式、对称轴公式计算，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
（1）将点$(1,0)$、$(2,-7)$代入$y=-2x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}0=-2×1^2 + b + c\\-7=-2×2^2 + 2b + c\end{cases}$
整理得$\begin{cases}-2 + b + c = 0\\-8 + 2b + c = -7\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去c，得$b-6=-7$，解得$b=-1$；
将$b=-1$代入第一个方程，得$-2-1+c=0$，解得$c=3$。
因此二次函数解析式为$y=-2x^2 -x +3$。
（2）对一般式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-2x^2 -x +3\\&=-2(x^2+\frac{1}{2}x)+3\\&=-2[(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}]+3\\&=-2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{25}{8}\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，可得：
顶点坐标为$(-\frac{1}{4},\frac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）$y=-2x^2 -x +3$；
（2）顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{4}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数配方；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数基础常规题，侧重考察基础方法的应用，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解法、配方法或顶点坐标公式，适合巩固二次函数基础知识点。
【难度系数】
0.8
二次函数 $y=ax^2+bx+c \ (a＜0)$ 的图象如图所示，观察图象，当 $y＞0$ 时，$x$ 的取值范围为 （$\quad$）
A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$ 或 $x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜0$ 或 $x＞2$
解析 因为抛物
线与 $x$ 轴的一个交点为 $(-1,0)$，对称轴为直线 $x=1$，
结合抛物线的对称性可知，抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $(3,0)$。
所以当 $y＞0$ 时，图象为两个交点中间的一段，即 $-1＜x＜3$。
答案 A
A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$ 或 $x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜0$ 或 $x＞2$
解析 因为抛物
线与 $x$ 轴的一个交点为 $(-1,0)$，对称轴为直线 $x=1$，结合抛物线的对称性可知，抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $(3,0)$。
所以当 $y＞0$ 时，图象为两个交点中间的一段，即 $-1＜x＜3$。
答案 A
答案
A
解析
【分析】
要确定$y＞0$时$x$的取值范围，核心是找到抛物线在$x$轴上方的图象对应的$x$区间。首先观察图象可得抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，利用二次函数图象关于对称轴对称的性质可求出另一个交点坐标，再结合抛物线开口向下的特点，就能得到$y＞0$时$x$的取值范围。
【解析】
解：由图象可知，二次函数图象与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
设抛物线与$x$轴的另一个交点为$(m,0)$，根据二次函数对称性，两个交点到对称轴的距离相等，因此：
$\frac{-1+m}{2}=1$，解得$m=3$，即另一个交点坐标为$(3,0)$。
已知$a＜0$，抛物线开口向下，图象在$x$轴上方时$y＞0$，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题主要考查结合二次函数图象求解不等式的取值范围，解题关键是利用对称性求出抛物线与$x$轴的另一个交点，结合图象直观判断符合要求的区间，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
要确定$y＞0$时$x$的取值范围，核心是找到抛物线在$x$轴上方的图象对应的$x$区间。首先观察图象可得抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，利用二次函数图象关于对称轴对称的性质可求出另一个交点坐标，再结合抛物线开口向下的特点，就能得到$y＞0$时$x$的取值范围。
【解析】
解：由图象可知，二次函数图象与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
设抛物线与$x$轴的另一个交点为$(m,0)$，根据二次函数对称性，两个交点到对称轴的距离相等，因此：
$\frac{-1+m}{2}=1$，解得$m=3$，即另一个交点坐标为$(3,0)$。
已知$a＜0$，抛物线开口向下，图象在$x$轴上方时$y＞0$，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题主要考查结合二次函数图象求解不等式的取值范围，解题关键是利用对称性求出抛物线与$x$轴的另一个交点，结合图象直观判断符合要求的区间，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
3. 关于二次函数 $ y = x^2 - 3x - 1 $ 的图象与 $ x $ 轴交点个数的情况，下列说法正确的是（
A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
C
）A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
答案
C
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，核心思路是将函数问题转化为一元二次方程的实根个数问题：当二次函数y=0时，得到的一元二次方程的根就是交点的横坐标，根的个数与交点个数完全对应。而一元二次方程根的个数可通过根的判别式Δ=b²-4ac判断，因此解题步骤为：第一步确定二次函数的各项系数a、b、c，第二步代入公式计算判别式，第三步根据Δ的符号判断根的个数，最终得到交点个数。
【解析】
令二次函数$y = x^2 - 3x - 1$中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 - 3x - 1 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$
由于$\Delta=13＞0$，说明该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此二次函数的图象与x轴有两个交点。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为基础考点题型，重点考察二次函数与一元二次方程的关联，只要熟练掌握判别式的取值和交点个数的对应规律，即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.85
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，核心思路是将函数问题转化为一元二次方程的实根个数问题：当二次函数y=0时，得到的一元二次方程的根就是交点的横坐标，根的个数与交点个数完全对应。而一元二次方程根的个数可通过根的判别式Δ=b²-4ac判断，因此解题步骤为：第一步确定二次函数的各项系数a、b、c，第二步代入公式计算判别式，第三步根据Δ的符号判断根的个数，最终得到交点个数。
【解析】
令二次函数$y = x^2 - 3x - 1$中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 - 3x - 1 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$
由于$\Delta=13＞0$，说明该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此二次函数的图象与x轴有两个交点。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为基础考点题型，重点考察二次函数与一元二次方程的关联，只要熟练掌握判别式的取值和交点个数的对应规律，即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.85
4. 已知二次函数 $y=ax^2 -2ax +c$ 中部分 $x$ 和 $y$ 的值如表所示.
则方程 $ax^2 -2ax +c=0$ 的一个较大的根的范围是 （
A.$-0.5 ＜ x ＜ -0.4$
B.$-0.5 ＜ x ＜ -0.6$
C.$2.4 ＜ x ＜ 2.5$
D.$2.5 ＜ x ＜ 2.6$
则方程 $ax^2 -2ax +c=0$ 的一个较大的根的范围是 （
C
）A.$-0.5 ＜ x ＜ -0.4$
B.$-0.5 ＜ x ＜ -0.6$
C.$2.4 ＜ x ＜ 2.5$
D.$2.5 ＜ x ＜ 2.6$
答案
C
解析
【分析】
解题首先需要求出二次函数的对称轴，再结合表格中y值的正负变化确定其中一个根的范围，最后利用二次函数的对称性推导另一个较大根的范围。第一步先根据二次函数对称轴公式计算对称轴；第二步观察表格，找到y值由正变负对应的x区间，确定较小根的范围；第三步根据二次函数两根关于对称轴对称的性质，计算较大根的范围即可。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即函数图像关于直线$x=1$对称。
2. 确定较小根的范围：
观察表格数据：当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$；当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$，说明方程$ax^2 -2ax +c=0$的一个较小根的范围是$-0.5＜x＜-0.4$。
3. 推导较大根的范围：
二次函数的两根关于对称轴$x=1$对称，较小根到$x=1$的距离范围为：$1-(-0.4)＜d＜1-(-0.5)$，即$1.4＜d＜1.5$。
因此较大根为对称轴右侧距离对称轴1.4~1.5的位置，即$1+1.4＜x＜1+1.5$，也就是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性解题，需要熟练掌握对称轴的计算方法，理解二次函数与对应一元二次方程根的联系，结合函数值的正负变化判断根的区间。
【难度系数】
0.65
解题首先需要求出二次函数的对称轴，再结合表格中y值的正负变化确定其中一个根的范围，最后利用二次函数的对称性推导另一个较大根的范围。第一步先根据二次函数对称轴公式计算对称轴；第二步观察表格，找到y值由正变负对应的x区间，确定较小根的范围；第三步根据二次函数两根关于对称轴对称的性质，计算较大根的范围即可。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即函数图像关于直线$x=1$对称。
2. 确定较小根的范围：
观察表格数据：当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$；当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$，说明方程$ax^2 -2ax +c=0$的一个较小根的范围是$-0.5＜x＜-0.4$。
3. 推导较大根的范围：
二次函数的两根关于对称轴$x=1$对称，较小根到$x=1$的距离范围为：$1-(-0.4)＜d＜1-(-0.5)$，即$1.4＜d＜1.5$。
因此较大根为对称轴右侧距离对称轴1.4~1.5的位置，即$1+1.4＜x＜1+1.5$，也就是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性解题，需要熟练掌握对称轴的计算方法，理解二次函数与对应一元二次方程根的联系，结合函数值的正负变化判断根的区间。
【难度系数】
0.65
