登录
1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体形状的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是（
$A.600 m^2$
$B.625 m^2$
$C.650 m^2$
$D.675 m^2$
B
）$A.600 m^2$
$B.625 m^2$
$C.650 m^2$
$D.675 m^2$
答案
B
解析
【分析】
这是固定周长求矩形最大面积的问题，解题思路分为三步：首先设出矩形一边的长度，结合周长公式用含未知数的代数式表示出邻边长度；其次根据矩形面积公式建立面积关于边长的二次函数关系式；最后利用二次函数的最值性质求解最大值即可。
【解析】
设矩形池底的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，已知池底矩形周长为100m，则其邻边长为$ \frac{100}{2} - x = (50 - x) \, \mathrm{m} $（$ 0 ＜ x ＜ 50 $）。
设池底面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(50 - x) = -x^2 + 50x $
该式为二次函数，二次项系数$ a=-1＜0 $，因此函数存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2×(-1)} = 25 $时，$ S $取最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = -25^2 + 50×25 = 625 \, \mathrm{m}^2 $
即池底的最大面积为$ 625 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的最值 2.二次函数的实际应用 3.矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是正确建立面积关于边长的函数关系式，再结合二次函数性质求解，掌握二次函数最值的求法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
这是固定周长求矩形最大面积的问题，解题思路分为三步：首先设出矩形一边的长度，结合周长公式用含未知数的代数式表示出邻边长度；其次根据矩形面积公式建立面积关于边长的二次函数关系式；最后利用二次函数的最值性质求解最大值即可。
【解析】
设矩形池底的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，已知池底矩形周长为100m，则其邻边长为$ \frac{100}{2} - x = (50 - x) \, \mathrm{m} $（$ 0 ＜ x ＜ 50 $）。
设池底面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(50 - x) = -x^2 + 50x $
该式为二次函数，二次项系数$ a=-1＜0 $，因此函数存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2×(-1)} = 25 $时，$ S $取最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = -25^2 + 50×25 = 625 \, \mathrm{m}^2 $
即池底的最大面积为$ 625 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的最值 2.二次函数的实际应用 3.矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是正确建立面积关于边长的函数关系式，再结合二次函数性质求解，掌握二次函数最值的求法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2.一个羽毛球发出去$x$ s时的高度为$y$ m，且$y$与$x$之间的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a＜0$），如果这个羽毛球在第2 s与第4 s时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（
A.第2.5 s
B.第2.9 s
C.第3.3 s
D.第3.5 s
B
）A.第2.5 s
B.第2.9 s
C.第3.3 s
D.第3.5 s
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数性质在实际问题中的应用，解题思路如下：首先，函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$是开口向下的二次函数，其图象为抛物线，开口向下时顶点处的函数值最大，即羽毛球高度最高的时刻对应抛物线的对称轴位置。已知第2s和第4s时羽毛球高度相等，说明这两个时刻对应的抛物线上的点关于对称轴对称，由此可先求出对称轴，再比较各选项的时刻距离对称轴的远近，开口向下的抛物线中，自变量离对称轴越近，对应的函数值越大，即可找到高度最高的时刻。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，且$a＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴处$y$取得最大值，即此时羽毛球高度最高。
∵羽毛球在第2s与第4s时的高度相等，即$x=2$和$x=4$时$y$的值相等，
根据二次函数的对称性，可得抛物线的对称轴为直线$x=\frac{2+4}{2}=3$。
对于开口向下的抛物线，自变量$x$距离对称轴越近，对应的函数值$y$越大：
计算各选项时刻与对称轴$x=3$的距离：
A.$|2.5-3|=0.5$
B.$|2.9-3|=0.1$
C.$|3.3-3|=0.3$
D.$|3.5-3|=0.5$
对比可知第2.9s离对称轴最近，此时羽毛球高度最高。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题将二次函数性质与实际场景结合，解题的核心是利用对称点快速求出抛物线对称轴，不需要代入计算具体函数值，巧用二次函数的对称性和增减性能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数性质在实际问题中的应用，解题思路如下：首先，函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$是开口向下的二次函数，其图象为抛物线，开口向下时顶点处的函数值最大，即羽毛球高度最高的时刻对应抛物线的对称轴位置。已知第2s和第4s时羽毛球高度相等，说明这两个时刻对应的抛物线上的点关于对称轴对称，由此可先求出对称轴，再比较各选项的时刻距离对称轴的远近，开口向下的抛物线中，自变量离对称轴越近，对应的函数值越大，即可找到高度最高的时刻。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$，且$a＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴处$y$取得最大值，即此时羽毛球高度最高。
∵羽毛球在第2s与第4s时的高度相等，即$x=2$和$x=4$时$y$的值相等，
根据二次函数的对称性，可得抛物线的对称轴为直线$x=\frac{2+4}{2}=3$。
对于开口向下的抛物线，自变量$x$距离对称轴越近，对应的函数值$y$越大：
计算各选项时刻与对称轴$x=3$的距离：
A.$|2.5-3|=0.5$
B.$|2.9-3|=0.1$
C.$|3.3-3|=0.3$
D.$|3.5-3|=0.5$
对比可知第2.9s离对称轴最近，此时羽毛球高度最高。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题将二次函数性质与实际场景结合，解题的核心是利用对称点快速求出抛物线对称轴，不需要代入计算具体函数值，巧用二次函数的对称性和增减性能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
3.某商店以8元/件的价格购进一批商品，如果按每件10元出售，那么每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售单价提高
4
元时，可以使每天的销售利润最大。答案
4
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求销售利润最大值的实际问题，解题思路如下：首先明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；接下来设销售单价提高x元，用含x的代数式分别表示出提价后的单件利润和日销售量，进而列出总利润关于x的二次函数表达式；最后将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的实际取值范围，求出利润最大时x的值即可。
【解析】
设销售单价提高x元，每天的销售利润为y元。
1. 表示单件利润：提价后每件售价为(10+x)元，进价为8元，因此单件利润为$(10+x-8)=(x+2)$元；
2. 表示日销售量：每提高1元销量减少10件，因此提价x元后日销售量为$(100-10x)$件，其中$0≤ x≤10$（若$x＞10$则销售量为负，不符合实际）；
3. 列利润函数表达式：
$y=(x+2)(100-10x)$
展开并整理为顶点式：
$y=-10x^2+80x+200$
$=-10(x^2-8x)+200$
$=-10(x^2-8x+16-16)+200$
$=-10(x-4)^2 + 160 + 200$
$=-10(x-4)^2 + 360$
4. 求最值：
二次项系数$-10＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=4$时，y取得最大值，且$x=4$在$0≤ x≤10$的取值范围内，符合实际意义。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的最值；销售利润问题；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的关键是找准利润相关的等量关系，正确列出函数表达式，同时要注意验证自变量的取值是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求销售利润最大值的实际问题，解题思路如下：首先明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；接下来设销售单价提高x元，用含x的代数式分别表示出提价后的单件利润和日销售量，进而列出总利润关于x的二次函数表达式；最后将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的实际取值范围，求出利润最大时x的值即可。
【解析】
设销售单价提高x元，每天的销售利润为y元。
1. 表示单件利润：提价后每件售价为(10+x)元，进价为8元，因此单件利润为$(10+x-8)=(x+2)$元；
2. 表示日销售量：每提高1元销量减少10件，因此提价x元后日销售量为$(100-10x)$件，其中$0≤ x≤10$（若$x＞10$则销售量为负，不符合实际）；
3. 列利润函数表达式：
$y=(x+2)(100-10x)$
展开并整理为顶点式：
$y=-10x^2+80x+200$
$=-10(x^2-8x)+200$
$=-10(x^2-8x+16-16)+200$
$=-10(x-4)^2 + 160 + 200$
$=-10(x-4)^2 + 360$
4. 求最值：
二次项系数$-10＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=4$时，y取得最大值，且$x=4$在$0≤ x≤10$的取值范围内，符合实际意义。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的最值；销售利润问题；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的关键是找准利润相关的等量关系，正确列出函数表达式，同时要注意验证自变量的取值是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
4.某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地,如图所示(示意图),已知矩形菜地的一面靠墙(墙的最大可用长度为20 m),其余用长为39 m的篱笆围成,菜地边BC上预留了一个宽为1 m的小门(小门不用篱笆).
(1)设菜地的宽AB为x m,则AD=
(2)当x为何值时,围成的菜地的面积最大?
(1)设菜地的宽AB为x m,则AD=
$40-2x$
m(用含x的代数式表示).(2)当x为何值时,围成的菜地的面积最大?
答案
(1)$40-2x$
(2)当$x$为10时，围成的菜地的面积最大。
(2)当$x$为10时，围成的菜地的面积最大。
解析
【分析】
(1) 首先明确篱笆的构成：AD边靠墙无需篱笆，仅AB、BC、CD三边需围篱笆，且BC上有1m宽的小门不用篱笆，篱笆总长为39m。已知AB=x m，矩形对边相等，故CD=AB=x m，BC=AD，根据“AB长度+CD长度+（BC长度-小门宽度）=篱笆总长”的等量关系，代入数值即可推导出AD的代数式。
(2) 矩形面积=长×宽，将AB和AD的表达式代入得到面积关于x的二次函数，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，同时验证AD长度不超过墙的最大可用长度20m，确认取值符合实际要求后即可得到x的取值。
【解析】
(1) 由题意得：AB=CD=x m，AD=BC，篱笆总长39m，BC预留1m小门，因此：
$AB + CD + (BC - 1) = 39$
将$AB=CD=x$、$BC=AD$代入上式：
$x + x + AD - 1 = 39$
整理得：$AD = 40 - 2x$
(2) 设菜地面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式：
$S = AB · AD = x(40 - 2x)$
整理得二次函数：$S = -2x^2 + 40x$
该函数$a=-2＜0$，开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2×(-2)} = 10$
此时$AD=40-2×10=20\ \mathrm{m}$，刚好等于墙的最大可用长度20m，符合实际要求。
因此当x=10时，围成的菜地面积最大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40-2x}$
(2) 当$\boldsymbol{x=10}$时，围成的菜地的面积最大。
【知识点】
列代数式，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动场景考查二次函数的应用，解题时要注意结合实际限制条件（如墙的最大可用长度）验证计算结果的合理性，避免忽略实际意义得到错误答案。
【难度系数】
0.75
(1) 首先明确篱笆的构成：AD边靠墙无需篱笆，仅AB、BC、CD三边需围篱笆，且BC上有1m宽的小门不用篱笆，篱笆总长为39m。已知AB=x m，矩形对边相等，故CD=AB=x m，BC=AD，根据“AB长度+CD长度+（BC长度-小门宽度）=篱笆总长”的等量关系，代入数值即可推导出AD的代数式。
(2) 矩形面积=长×宽，将AB和AD的表达式代入得到面积关于x的二次函数，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，同时验证AD长度不超过墙的最大可用长度20m，确认取值符合实际要求后即可得到x的取值。
【解析】
(1) 由题意得：AB=CD=x m，AD=BC，篱笆总长39m，BC预留1m小门，因此：
$AB + CD + (BC - 1) = 39$
将$AB=CD=x$、$BC=AD$代入上式：
$x + x + AD - 1 = 39$
整理得：$AD = 40 - 2x$
(2) 设菜地面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式：
$S = AB · AD = x(40 - 2x)$
整理得二次函数：$S = -2x^2 + 40x$
该函数$a=-2＜0$，开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2×(-2)} = 10$
此时$AD=40-2×10=20\ \mathrm{m}$，刚好等于墙的最大可用长度20m，符合实际要求。
因此当x=10时，围成的菜地面积最大。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40-2x}$
(2) 当$\boldsymbol{x=10}$时，围成的菜地的面积最大。
【知识点】
列代数式，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动场景考查二次函数的应用，解题时要注意结合实际限制条件（如墙的最大可用长度）验证计算结果的合理性，避免忽略实际意义得到错误答案。
【难度系数】
0.75
5.国庆节期间，全国各影院上映多部爱国影片.
某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量$y$(单位:张)与售价$x$(单位:元/张)之间满足一次函数关系$y=-2x+160(30≤ x≤70,且x是整数)$，设该影院每天的利润为$w$(单位:元)(利润=票房收入-运营成本).
(1)求$w$与$x$之间的函数解析式.
(2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量$y$(单位:张)与售价$x$(单位:元/张)之间满足一次函数关系$y=-2x+160(30≤ x≤70,且x是整数)$，设该影院每天的利润为$w$(单位:元)(利润=票房收入-运营成本).
(1)求$w$与$x$之间的函数解析式.
(2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
答案
(1)$w=-2x^2+160x-400(30≤x≤70,且x是整数)$。
(2)当电影票售价定为40元/张时，每天获利最大，最大利润为2 800元。
(2)当电影票售价定为40元/张时，每天获利最大，最大利润为2 800元。
解析
【分析】
(1) 首先明确利润计算公式：利润=票房收入-运营成本，其中票房收入=售价×售票数量，题目已给出售票数量y与售价x的一次函数关系，将其代入利润公式整理即可得到w与x的函数解析式，注意标注x的取值范围。
(2) 得到的w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。先通过二次函数对称轴公式求出对称轴，判断对称轴是否在x的取值范围内，若在范围内则代入对应x值即可求出最大利润，同时注意x是整数的限制条件。
【解析】
(1) 由题意得：利润=票房收入-运营成本，票房收入为$x· y$，运营成本为400元，因此：
$w = x· y - 400$
将$y=-2x+160$代入上式：
$w = x(-2x+160) - 400$
展开整理得：$w=-2x^2+160x-400$
结合题目给定的x的范围，最终函数解析式为$w=-2x^2+160x-400(30≤ x≤70,且x是整数)$。
(2) 对于二次函数$w=-2x^2+160x-400$，其中$a=-2＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=160$得：
$x=-\frac{160}{2×(-2)}=40$
$40$满足$30≤40≤70$且为整数，因此当$x=40$时，w取得最大值。
将$x=40$代入函数解析式计算：
$w_{max}=-2×40^2 + 160×40 - 400 = -3200 + 6400 - 400 = 2800$
即售价为40元/张时，每天获利最大。
【答案】
(1)$w=-2x^2+160x-400(30≤x≤70,且x是整数)$
(2)当电影票售价定为40元/张时，每天获利最大，最大利润是2800元。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数最值应用；利润问题计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是正确根据数量关系列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确利润计算公式：利润=票房收入-运营成本，其中票房收入=售价×售票数量，题目已给出售票数量y与售价x的一次函数关系，将其代入利润公式整理即可得到w与x的函数解析式，注意标注x的取值范围。
(2) 得到的w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。先通过二次函数对称轴公式求出对称轴，判断对称轴是否在x的取值范围内，若在范围内则代入对应x值即可求出最大利润，同时注意x是整数的限制条件。
【解析】
(1) 由题意得：利润=票房收入-运营成本，票房收入为$x· y$，运营成本为400元，因此：
$w = x· y - 400$
将$y=-2x+160$代入上式：
$w = x(-2x+160) - 400$
展开整理得：$w=-2x^2+160x-400$
结合题目给定的x的范围，最终函数解析式为$w=-2x^2+160x-400(30≤ x≤70,且x是整数)$。
(2) 对于二次函数$w=-2x^2+160x-400$，其中$a=-2＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=160$得：
$x=-\frac{160}{2×(-2)}=40$
$40$满足$30≤40≤70$且为整数，因此当$x=40$时，w取得最大值。
将$x=40$代入函数解析式计算：
$w_{max}=-2×40^2 + 160×40 - 400 = -3200 + 6400 - 400 = 2800$
即售价为40元/张时，每天获利最大。
【答案】
(1)$w=-2x^2+160x-400(30≤x≤70,且x是整数)$
(2)当电影票售价定为40元/张时，每天获利最大，最大利润是2800元。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数最值应用；利润问题计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是正确根据数量关系列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意不要遗漏自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.7
