1.建立恰当的平面直角坐标系,设出相应的函数解析式.
| 图象 | 建立方法及函数解析式 |
| --- | --- |
| | 以抛物线的为原点，对称轴为建立平面直角坐标系，抛物线对应的函数解析式的形式为 |
| （抛物线顶点在y轴正半轴，开口向下） | 以抛物线的对称轴为建立平面直角坐标系，抛物线对应的函数解析式的形式为 |
续表
| 图象 | 建立方法及函数解析式 |
| --- | --- |
| | 使顶点在轴，对称轴平行于轴建立平面直角坐标系，抛物线对应的函数解析式的形式为 |
| （抛物线顶点在上方，过原点） | 使对称轴平行于轴建立平面直角坐标系，抛物线对应的函数解析式的形式为 |
2.建立的平面直角坐标系不同,抛物线在坐标系内的位置就不同,其对应的函数解析式也.

1.顶点 y轴 $y=ax^2$ y轴 $y=ax^2+k$ x y $y=a(x-h)^2$ y $y=a(x-h)^2+k$
2.不同

【分析】
本题考查抛物线建立平面直角坐标系及对应函数解析式的选择，核心思路是利用抛物线的对称性，通过选择顶点或对称轴作为坐标轴，简化函数解析式的形式，减少参数数量，从而快速确定对应解析式。
【解析】
1. 对于顶点在y轴正半轴、开口向下的抛物线：
通常以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式为$y=ax^2$；
若以抛物线的对称轴为y轴建立坐标系，解析式为$y=ax^2+k$。
对于顶点在上方且过原点的抛物线：
使顶点在x轴，对称轴平行于y轴建立坐标系，解析式为$y=a(x-h)^2$；
使对称轴平行于y轴建立坐标系，解析式为$y=a(x-h)^2+k$。
2. 平面直角坐标系的建立方式不同，抛物线的位置会变化，对应的函数解析式也会不同。
【答案】
1. 顶点 y轴 $y=ax^2$ y轴 $y=ax^2+k$ x y $y=a(x-h)^2$ y $y=a(x-h)^2+k$
2. 不同
【知识点】
抛物线的解析式、平面直角坐标系的建立
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查利用抛物线对称性简化解析式的方法，需掌握不同坐标系下抛物线解析式的形式，难度较低，属于二次函数入门级应用。
【难度系数】
0.6

【例1】一座抛物线形拱桥的横截面如图所示，水面宽度$AB=40\ \mathrm{m}$，水面离拱桥的最大高度$CD=16\ \mathrm{m}$，按图中方式建立平面直角坐标系.
(1)求出该抛物线对应的函数解析式.
(2)现有一艘宽$21\ \mathrm{m}$，高出水面$12\ \mathrm{m}$的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥.
解：
【规律方法】
解决抛物线形建筑类问题的策略
(1)根据题意，建立恰当的平面直角坐标系，设出抛物线对应的函数解析式.
(2)准确将线段的长度转化为点的坐标，将点的坐标代入函数解析式，求出二次函数的解析式.
(3)应用所求出的函数解析式及其性质解决问题.

解：
(1) 由题意可知，抛物线的顶点$C$在$y$轴上，坐标为$(0,16)$，水面端点$A$、$B$的坐标分别为$(-20,0)$、$(20,0)$。
设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+16$，将点$B(20,0)$代入解析式得：
$0 = a · 20^2 + 16$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此该抛物线对应的函数解析式为
$y=-\frac{1}{25}x^2 + 16 \quad (-20 ≤ x ≤ 20)$
(2) 若轮船高出水面$12\ \mathrm{m}$，令$y=12$，代入抛物线解析式得：
$12 = -\frac{1}{25}x^2 + 16$
整理得$x^2=100$，解得$x_1=10$，$x_2=-10$。
此时对应高度下的拱桥可通行宽度为$|10 - (-10)|=20\ \mathrm{m}$。
由于轮船宽度为$21\ \mathrm{m}$，$21＞20$，因此这艘轮船不能通过这座拱桥。

【分析】
首先根据题目给出的平面直角坐标系，确定抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，利用顶点式设出抛物线解析式，代入交点坐标求出解析式；其次，轮船高出水面12m即y=12，将其代入抛物线解析式求出对应的x值，计算该高度下拱桥的可通行宽度，与轮船宽度比较，判断能否通过。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线的顶点C在y轴上，坐标为(0,16)，水面端点A、B的坐标分别为(-20,0)、(20,0)。
设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+16$，将点$B(20,0)$代入解析式得：
$0 = a · 20^2 + 16$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此该抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2 + 16 \quad (-20 ≤ x ≤ 20)$。
(2) 若轮船高出水面12m，令$y=12$，代入抛物线解析式得：
$12 = -\frac{1}{25}x^2 + 16$
整理得$x^2=100$，解得$x_1=10$，$x_2=-10$。
此时对应高度下的拱桥可通行宽度为$|10 - (-10)|=20\ \mathrm{m}$。
由于轮船宽度为$21\ \mathrm{m}$，$21＞20$，因此这艘轮船不能通过这座拱桥。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{25}x^2 + 16 \ (-20 ≤ x ≤ 20)$；(2) 不能通过
【知识点】
二次函数的应用；抛物线解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题是抛物线在实际生活中的典型应用，解题核心是根据坐标系确定抛物线上的点坐标，利用顶点式求解析式，再通过代入求值计算可通行宽度，进而解决实际问题，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

1.某隧道截面图如图所示，其轮廓可近似看作
抛物线的一部分.若隧道底部宽12 m，高8 m，按照图中的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m、高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.

(1)$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤ 12)$.
(2)能安全通过.理由如下：

由题意,得点 A 的横坐标为$\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$.
将$x=2$代入$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8$,
得$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$.
因为$\dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$,所以能安全通过.

【分析】
第(1)问，已知抛物线的顶点坐标和过原点，选择顶点式设解析式，代入原点求出系数即可得到函数解析式；第(2)问，要判断车辆能否安全通过，需先确定车辆在坐标系中的位置，再代入抛物线解析式计算对应位置的隧道高度，最后计算隧道高度与车辆高度的差，判断是否满足空隙不少于0.5m的条件。
【解析】
(1) 设抛物线的顶点式为 $ y=a(x-h)^2+k $，由图可知抛物线顶点为 $ (6,8) $，故 $ h=6 $，$ k=8 $，即 $ y=a(x-6)^2+8 $。
将原点 $ (0,0) $ 代入解析式得：$ 0=a(0-6)^2+8 $，
解得 $ a=-\frac{2}{9} $，
因此抛物线的函数解析式为 $ y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8 \ (0≤x≤12) $。
(2) 由题意，两车沿中心线两侧行驶，间隔2m，每辆车宽3m，中心线在 $ x=6 $，则左边车辆左边缘的横坐标为 $ \frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2 $。
将 $ x=2 $ 代入抛物线解析式：
$ y=-\frac{2}{9}(2-6)^2+8=-\frac{2}{9}×16+8=\frac{40}{9} $，
隧道在该位置的高度与车辆高度的差为 $ \frac{40}{9}-3.5=\frac{40}{9}-\frac{7}{2}=\frac{17}{18} $，
因为 $ \frac{17}{18}＞0.5 $，所以两车能安全通过。
【答案】
(1) $ y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤ 12) $；
(2) 能安全通过，理由：点A的横坐标为2，代入解析式得$ y=\dfrac{40}{9} $，$ \dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5 $，故能安全通过。
【知识点】
二次函数的应用，抛物线解析式，二次函数求值
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，需结合图形确定关键点坐标，利用顶点式求解析式，再代入计算判断，是常见的实际应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6