登录
【例2】如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m高的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系$y=at^2 +5t +c$.已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.
(1)当足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系$x=10t$,已知球门的高度为2.44 m(球门框厚度忽略不计),如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门？
|思路分析|
思考1:由题意可得到抛物线上哪两个点的坐标？
思考2:要求足球飞行多久时,足球离地面最高及最大高度,需求出抛物线的
思考3:判断足球能否射入球门的依据是什么？
解:
(1)当足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系$x=10t$,已知球门的高度为2.44 m(球门框厚度忽略不计),如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门？
|思路分析|
思考1:由题意可得到抛物线上哪两个点的坐标？
思考2:要求足球飞行多久时,足球离地面最高及最大高度,需求出抛物线的
顶点坐标
.思考3:判断足球能否射入球门的依据是什么？
解:
答案
思考1:$(0,0.5),(0.8,3.5)$.
思考2:顶点坐标
思考3:依据是足球飞行的水平距离为 28 m 时,足球高度与球门高度的大小关系,若足球高度小于球门高度,则可射入球门.
解:(1)当足球飞行的时间是 1.6 s 时,足球离地面最高,最大高度是 4.5 m.
(2)他能将球直接射入球门.
思考2:顶点坐标
思考3:依据是足球飞行的水平距离为 28 m 时,足球高度与球门高度的大小关系,若足球高度小于球门高度,则可射入球门.
解:(1)当足球飞行的时间是 1.6 s 时,足球离地面最高,最大高度是 4.5 m.
(2)他能将球直接射入球门.
解析
【分析】
本题是二次函数在抛射类实际问题中的应用，解题思路如下：①首先根据题意提取抛物线上两个已知点的坐标：t=0时y=0.5，t=0.8时y=3.5，代入函数表达式求出a、c的值，确定二次函数解析式；②第一问求足球的最高高度和对应时间，本质是求开口向下的二次函数的顶点坐标，顶点的横坐标为对应飞行时间，纵坐标为最大高度；③第二问判断能否射入球门，先根据水平距离与时间的函数关系，求出水平距离为28m时对应的飞行时间，再代入高度函数算出此时足球的高度，和球门高度2.44m比较即可得出结论。
【解析】
由题意得，函数$y=at^2 +5t +c$的图象过点$(0,0.5)$和$(0.8,3.5)$，代入求解如下：
1. 确定函数解析式：
将$t=0,y=0.5$代入表达式，得$c=0.5$；
将$c=0.5$、$t=0.8,y=3.5$代入表达式，得：
$3.5=a×0.8^2 +5×0.8 +0.5$
计算得$a=-\frac{25}{16}$，因此函数解析式为$y=-\frac{25}{16}t^2 +5t +0.5$。
(1) 求最大高度及对应飞行时间：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{25}{16},b=5$得：
$t=-\frac{5}{2×(-\frac{25}{16})}=1.6\ \mathrm{s}$
将$t=1.6$代入函数解析式，计算最大高度：
$y=-\frac{25}{16}×1.6^2 +5×1.6 +0.5=4.5\ \mathrm{m}$
(2) 判断能否射入球门：
当水平距离$x=28\ \mathrm{m}$时，由$x=10t$得对应飞行时间$t=\frac{28}{10}=2.8\ \mathrm{s}$
将$t=2.8$代入高度函数，计算此时足球高度：
$y=-\frac{25}{16}×2.8^2 +5×2.8 +0.5=2.25\ \mathrm{m}$
因为$2.25\ \mathrm{m}＜2.44\ \mathrm{m}$，符合进球门的高度要求。
【答案】
(1)当足球飞行的时间是 1.6 s 时,足球离地面最高,最大高度是 4.5 m；
(2)他能将球直接射入球门。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数的相关问题，先确定函数解析式，再利用二次函数的性质求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在抛射类实际问题中的应用，解题思路如下：①首先根据题意提取抛物线上两个已知点的坐标：t=0时y=0.5，t=0.8时y=3.5，代入函数表达式求出a、c的值，确定二次函数解析式；②第一问求足球的最高高度和对应时间，本质是求开口向下的二次函数的顶点坐标，顶点的横坐标为对应飞行时间，纵坐标为最大高度；③第二问判断能否射入球门，先根据水平距离与时间的函数关系，求出水平距离为28m时对应的飞行时间，再代入高度函数算出此时足球的高度，和球门高度2.44m比较即可得出结论。
【解析】
由题意得，函数$y=at^2 +5t +c$的图象过点$(0,0.5)$和$(0.8,3.5)$，代入求解如下：
1. 确定函数解析式：
将$t=0,y=0.5$代入表达式，得$c=0.5$；
将$c=0.5$、$t=0.8,y=3.5$代入表达式，得：
$3.5=a×0.8^2 +5×0.8 +0.5$
计算得$a=-\frac{25}{16}$，因此函数解析式为$y=-\frac{25}{16}t^2 +5t +0.5$。
(1) 求最大高度及对应飞行时间：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{25}{16},b=5$得：
$t=-\frac{5}{2×(-\frac{25}{16})}=1.6\ \mathrm{s}$
将$t=1.6$代入函数解析式，计算最大高度：
$y=-\frac{25}{16}×1.6^2 +5×1.6 +0.5=4.5\ \mathrm{m}$
(2) 判断能否射入球门：
当水平距离$x=28\ \mathrm{m}$时，由$x=10t$得对应飞行时间$t=\frac{28}{10}=2.8\ \mathrm{s}$
将$t=2.8$代入高度函数，计算此时足球高度：
$y=-\frac{25}{16}×2.8^2 +5×2.8 +0.5=2.25\ \mathrm{m}$
因为$2.25\ \mathrm{m}＜2.44\ \mathrm{m}$，符合进球门的高度要求。
【答案】
(1)当足球飞行的时间是 1.6 s 时,足球离地面最高,最大高度是 4.5 m；
(2)他能将球直接射入球门。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的最值，二次函数实际应用
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数的相关问题，先确定函数解析式，再利用二次函数的性质求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球
网AB与y轴的水平距离OA＝3 m，CA＝2 m，击球点P在y轴上.若选择吊球，则羽毛球(看作一点)的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足二次函数$y=a(x-1)^2+3$；若选择扣球，则羽毛球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足一次函数$y=-0.4x+2.7$.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)若球网的高度为1.55 m，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网？如果能过网，请再通过计算判断球的落地点能不能
在近网区AC内.
网AB与y轴的水平距离OA＝3 m，CA＝2 m，击球点P在y轴上.若选择吊球，则羽毛球(看作一点)的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足二次函数$y=a(x-1)^2+3$；若选择扣球，则羽毛球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足一次函数$y=-0.4x+2.7$.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)若球网的高度为1.55 m，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网？如果能过网，请再通过计算判断球的落地点能不能
在近网区AC内.
答案
(1)点 P 的坐标为$(0,2.7)$.$a=-0.3$.
(2)扣球不能过网,吊球能过网,落地点能在近网区 AC 内.
(2)扣球不能过网,吊球能过网,落地点能在近网区 AC 内.
解析
【分析】
(1) 求点P坐标：击球点P在y轴上，即x=0，且P在扣球的一次函数图象上，将x=0代入一次函数即可求出P的纵坐标，得到P点坐标；再将P点坐标代入吊球的二次函数解析式，即可解出a的值。
(2) 判断是否过网：球网位置对应x=OA=3m，分别将x=3代入两个函数解析式，求出对应y值，和球网高度1.55m比较，y＞1.55即可过网，反之不能。判断落地点是否在AC内：AC对应x的范围是3m≤x≤3+2=5m，令能过网的函数y=0，解出x的值，判断x是否在3到5之间即可。
【解析】
(1) 点P在y轴上，横坐标为0，将x=0代入一次函数$y=-0.4x+2.7$，得：
$y=-0.4×0 +2.7=2.7$
∴点P的坐标为$(0,2.7)$。
将$P(0,2.7)$代入二次函数$y=a(x-1)^2+3$，得：
$2.7=a(0-1)^2+3$
解得$a=-0.3$。
(2) 球网位置对应$x=OA=3\ \mathrm{m}$：
① 扣球：将$x=3$代入$y=-0.4x+2.7$，得
$y=-0.4×3 +2.7=1.5\ \mathrm{m}$
∵$1.5＜1.55$，
∴扣球不能过网。
② 吊球：吊球的解析式为$y=-0.3(x-1)^2+3$，将$x=3$代入得：
$y=-0.3×(3-1)^2 +3=-0.3×4 +3=1.8\ \mathrm{m}$
∵$1.8＞1.55$，
∴吊球能过网。
接下来判断吊球落地点是否在AC内：AC对应x的范围是$3\ \mathrm{m}≤ x≤ 3+2=5\ \mathrm{m}$，令$y=0$，则：
$0=-0.3(x-1)^2 +3$
解得$(x-1)^2=10$，取正根得$x=1+\sqrt{10}\approx4.16$（负根不符合实际舍去）
∵$3＜4.16＜5$，
∴吊球的落地点能在近网区AC内。
【答案】
(1)点P的坐标为$(0,2.7)$，$a=-0.3$；
(2)扣球不能过网，吊球能过网，落地点能在近网区AC内。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的应用，函数与方程的关系
【点评】
本题结合体育运动场景考查函数的实际应用，解题的关键是明确实际场景中x、y对应的实际意义，将实际问题转化为函数求值、解方程的问题，是典型的函数应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求点P坐标：击球点P在y轴上，即x=0，且P在扣球的一次函数图象上，将x=0代入一次函数即可求出P的纵坐标，得到P点坐标；再将P点坐标代入吊球的二次函数解析式，即可解出a的值。
(2) 判断是否过网：球网位置对应x=OA=3m，分别将x=3代入两个函数解析式，求出对应y值，和球网高度1.55m比较，y＞1.55即可过网，反之不能。判断落地点是否在AC内：AC对应x的范围是3m≤x≤3+2=5m，令能过网的函数y=0，解出x的值，判断x是否在3到5之间即可。
【解析】
(1) 点P在y轴上，横坐标为0，将x=0代入一次函数$y=-0.4x+2.7$，得：
$y=-0.4×0 +2.7=2.7$
∴点P的坐标为$(0,2.7)$。
将$P(0,2.7)$代入二次函数$y=a(x-1)^2+3$，得：
$2.7=a(0-1)^2+3$
解得$a=-0.3$。
(2) 球网位置对应$x=OA=3\ \mathrm{m}$：
① 扣球：将$x=3$代入$y=-0.4x+2.7$，得
$y=-0.4×3 +2.7=1.5\ \mathrm{m}$
∵$1.5＜1.55$，
∴扣球不能过网。
② 吊球：吊球的解析式为$y=-0.3(x-1)^2+3$，将$x=3$代入得：
$y=-0.3×(3-1)^2 +3=-0.3×4 +3=1.8\ \mathrm{m}$
∵$1.8＞1.55$，
∴吊球能过网。
接下来判断吊球落地点是否在AC内：AC对应x的范围是$3\ \mathrm{m}≤ x≤ 3+2=5\ \mathrm{m}$，令$y=0$，则：
$0=-0.3(x-1)^2 +3$
解得$(x-1)^2=10$，取正根得$x=1+\sqrt{10}\approx4.16$（负根不符合实际舍去）
∵$3＜4.16＜5$，
∴吊球的落地点能在近网区AC内。
【答案】
(1)点P的坐标为$(0,2.7)$，$a=-0.3$；
(2)扣球不能过网，吊球能过网，落地点能在近网区AC内。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的应用，函数与方程的关系
【点评】
本题结合体育运动场景考查函数的实际应用，解题的关键是明确实际场景中x、y对应的实际意义，将实际问题转化为函数求值、解方程的问题，是典型的函数应用类题型。
【难度系数】
0.7
