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3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值列表如下：
则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根所在的范围是（
A.$1.3＜x＜1.4$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1.2＜x＜1.3$
D.$1.4＜x＜1.5$
则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根所在的范围是（
C
）A.$1.3＜x＜1.4$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1.2＜x＜1.3$
D.$1.4＜x＜1.5$
答案
C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的范围，首先明确方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个根落在这个区间内。接下来只需观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.49＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.04＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$1.2＜x＜1.3$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根所在的范围是$1.2＜x＜1.3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查根据二次函数的对应值表判断对应一元二次方程根的取值范围，解题关键是理解函数值正负变化与方程根的关联，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的范围，首先明确方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个根落在这个区间内。接下来只需观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.49＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.04＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$1.2＜x＜1.3$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根所在的范围是$1.2＜x＜1.3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查根据二次函数的对应值表判断对应一元二次方程根的取值范围，解题关键是理解函数值正负变化与方程根的关联，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
1.如图,已知抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴的一个交点坐标为$(-1,0)$,它的对称轴为直线$x=1$,则一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根为 （
A.$x_1=-1,x_2=1$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=-3$
D.$x_1=-1,x_2=3$
D
）A.$x_1=-1,x_2=1$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=-3$
D.$x_1=-1,x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心关联：1. 一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标；2. 抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值。已知其中一个交点横坐标为-1，对称轴为x=1，我们只需要利用对称性求出另一个交点的横坐标，就能得到方程的两个根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，
已知抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，即方程的一个根为$x_1=-1$，
又
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个根为$x_2$，则有$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，
将$x_1=-1$代入得：$\frac{-1 + x_2}{2}=1$，
解得$x_2=3$，
∴ 一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根为$x_1=-1,x_2=3$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；抛物线的对称性
【点评】
本题是基础题型，解题核心是将求一元二次方程的根转化为求抛物线与x轴交点的横坐标，再利用抛物线的对称性快速计算另一个交点坐标，不需要求解函数解析式即可得到答案，解题时要熟练掌握二次函数图象的相关性质。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个核心关联：1. 一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标；2. 抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值。已知其中一个交点横坐标为-1，对称轴为x=1，我们只需要利用对称性求出另一个交点的横坐标，就能得到方程的两个根。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，
已知抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，即方程的一个根为$x_1=-1$，
又
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个根为$x_2$，则有$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，
将$x_1=-1$代入得：$\frac{-1 + x_2}{2}=1$，
解得$x_2=3$，
∴ 一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根为$x_1=-1,x_2=3$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；抛物线的对称性
【点评】
本题是基础题型，解题核心是将求一元二次方程的根转化为求抛物线与x轴交点的横坐标，再利用抛物线的对称性快速计算另一个交点坐标，不需要求解函数解析式即可得到答案，解题时要熟练掌握二次函数图象的相关性质。
【难度系数】
0.8
2.下表给出了二次函数$y=x^2+2x-9$中$x,y$的一些对应值，则可以估计一元二次方程$x^2+2x-9=0$的一个近似根（精确到0.1）为（
A.2
B.2.1
C.2.2
D.2.3
C
）A.2
B.2.1
C.2.2
D.2.3
答案
C
解析
【分析】
要估算一元二次方程$x^2+2x-9=0$的近似根，首先明确方程的根对应二次函数$y=x^2+2x-9$中y=0时x的取值。解题时先观察表格中y值的正负变化，找到y由负变正的相邻x值，确定根所在的区间，再比较区间两端点对应y值的绝对值大小，绝对值越小说明该x越接近方程的根，最后结合精确到0.1的要求得到近似根。
【解析】
一元二次方程$x^2+2x-9=0$的根是二次函数$y=x^2+2x-9$中$y=0$时$x$的取值：
1. 观察表格数据：当$x=2.1$时，$y=-0.39＜0$；当$x=2.2$时，$y=0.24＞0$，说明方程的一个根在2.1和2.2之间。
2. 比较两个y值与0的接近程度：$|-0.39|=0.39$，$|0.24|=0.24$，因为$0.24＜0.39$，说明y=0时对应的x更靠近2.2。
因此精确到0.1时，方程的一个近似根为2.2，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题考查利用二次函数的列表数据估算对应一元二次方程的近似根，解题关键是理解方程的根与函数零点的对应关系，通过函数值的正负确定根的区间，再结合精度要求判断近似值，是二次函数应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要估算一元二次方程$x^2+2x-9=0$的近似根，首先明确方程的根对应二次函数$y=x^2+2x-9$中y=0时x的取值。解题时先观察表格中y值的正负变化，找到y由负变正的相邻x值，确定根所在的区间，再比较区间两端点对应y值的绝对值大小，绝对值越小说明该x越接近方程的根，最后结合精确到0.1的要求得到近似根。
【解析】
一元二次方程$x^2+2x-9=0$的根是二次函数$y=x^2+2x-9$中$y=0$时$x$的取值：
1. 观察表格数据：当$x=2.1$时，$y=-0.39＜0$；当$x=2.2$时，$y=0.24＞0$，说明方程的一个根在2.1和2.2之间。
2. 比较两个y值与0的接近程度：$|-0.39|=0.39$，$|0.24|=0.24$，因为$0.24＜0.39$，说明y=0时对应的x更靠近2.2。
因此精确到0.1时，方程的一个近似根为2.2，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程近似根估算
【点评】
本题考查利用二次函数的列表数据估算对应一元二次方程的近似根，解题关键是理解方程的根与函数零点的对应关系，通过函数值的正负确定根的区间，再结合精度要求判断近似值，是二次函数应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
3.已知抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=kx+b$交于点$A(-1,3)$和点$B(5,-2)$，则关于$x$的方程$ax^2+c=kx+b$的根是 （
A.$x=2$或$x=-3$
B.$x=-2$或$x=3$
C.$x=1$或$x=-5$
D.$x=-1$或$x=5$
D
）A.$x=2$或$x=-3$
B.$x=-2$或$x=3$
C.$x=1$或$x=-5$
D.$x=-1$或$x=5$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确函数图象交点和对应方程根的关系：两个函数图象的交点的横坐标，就是当两个函数值相等时对应的x的值，也就是这两个函数表达式相等所组成的方程的根。本题中方程$ax^2+c=kx+b$就是抛物线和直线的函数表达式相等得到的，因此只需要提取两个交点的横坐标即可得到方程的根。
【解析】
根据函数图象交点的意义：若两个函数$y_1=ax^2+c$与$y_2=kx+b$的图象交于点$(m,n)$，则当$x=m$时，$y_1=y_2=n$，即$x=m$是方程$ax^2+c=kx+b$的根。
已知抛物线与直线交于$A(-1,3)$和$B(5,-2)$，两个交点的横坐标分别为$x=-1$和$x=5$，因此方程$ax^2+c=kx+b$的根是$x=-1$或$x=5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数交点与方程根的关系
2. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解函数图象交点的代数意义，不需要复杂计算，掌握“交点横坐标即对应方程的根”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确函数图象交点和对应方程根的关系：两个函数图象的交点的横坐标，就是当两个函数值相等时对应的x的值，也就是这两个函数表达式相等所组成的方程的根。本题中方程$ax^2+c=kx+b$就是抛物线和直线的函数表达式相等得到的，因此只需要提取两个交点的横坐标即可得到方程的根。
【解析】
根据函数图象交点的意义：若两个函数$y_1=ax^2+c$与$y_2=kx+b$的图象交于点$(m,n)$，则当$x=m$时，$y_1=y_2=n$，即$x=m$是方程$ax^2+c=kx+b$的根。
已知抛物线与直线交于$A(-1,3)$和$B(5,-2)$，两个交点的横坐标分别为$x=-1$和$x=5$，因此方程$ax^2+c=kx+b$的根是$x=-1$或$x=5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数交点与方程根的关系
2. 二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解函数图象交点的代数意义，不需要复杂计算，掌握“交点横坐标即对应方程的根”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.若二次函数$y=x^2 -2x +n$的图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$，则该函数图象与x轴的交点坐标为
$(-1,0),(3,0)$
。答案
$(-1,0),(3,0)$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，二次函数图象上的点满足函数解析式，已知函数与y轴的交点坐标，将其代入解析式即可求出未知参数n，得到完整的二次函数解析式；其次，二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0，求解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，最终可确定交点坐标。
【解析】
1. 求参数n的值
将与y轴的交点坐标$(0,-3)$代入$y=x^2 -2x +n$，代入x=0、y=-3得：
$-3=0^2 - 2×0 +n$
解得$n=-3$，因此二次函数解析式为$y=x^2 -2x -3$。
2. 求与x轴的交点坐标
函数与x轴交点处y=0，令y=0，得一元二次方程：
$x^2 -2x -3=0$
对左边因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因此函数图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
【答案】
$(-1,0),(3,0)$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数章节的基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解逻辑，只要掌握“点在图象上则坐标满足解析式”“与x轴交点对应y=0”两个核心规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先，二次函数图象上的点满足函数解析式，已知函数与y轴的交点坐标，将其代入解析式即可求出未知参数n，得到完整的二次函数解析式；其次，二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0，求解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，最终可确定交点坐标。
【解析】
1. 求参数n的值
将与y轴的交点坐标$(0,-3)$代入$y=x^2 -2x +n$，代入x=0、y=-3得：
$-3=0^2 - 2×0 +n$
解得$n=-3$，因此二次函数解析式为$y=x^2 -2x -3$。
2. 求与x轴的交点坐标
函数与x轴交点处y=0，令y=0，得一元二次方程：
$x^2 -2x -3=0$
对左边因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因此函数图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$。
【答案】
$(-1,0),(3,0)$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数章节的基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解逻辑，只要掌握“点在图象上则坐标满足解析式”“与x轴交点对应y=0”两个核心规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 + ax + a^2 - 2a + 1$（$a$为常数）的图象与$x$轴有公共点，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的取值范围是
$a≥\frac{1}{2}$
。答案
$a≥\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要确定a的取值范围，需结合题目给出的两个限制条件分析：①二次函数图象与x轴有公共点，说明对应的一元二次方程有实根，即判别式Δ≥0；②二次函数二次项系数为正，开口向上，x＞2时y随x增大而增大，说明对称轴需在直线x=2的左侧或与x=2重合。分别根据两个条件列不等式，求解后取交集即可得到a的取值范围。
【解析】
解：已知二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 + ax + a^2 - 2a + 1$，二次项系数$\frac{1}{4}＞0$，因此抛物线开口向上。
1. 由图象与x轴有公共点，可得判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = a^2 - 4×\frac{1}{4}×(a^2 - 2a + 1) ≥ 0$
化简得：$a^2 - (a^2 - 2a + 1) ≥ 0$
即$2a - 1 ≥ 0$，解得$a ≥ \frac{1}{2}$。
2. 开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大，该函数对称轴为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{a}{2×\frac{1}{4}} = -2a$
要使$x＞2$时y随x增大而增大，需对称轴≤2，即：
$-2a ≤ 2$，解得$a ≥ -1$。
3. 两个条件需同时满足，取两个解集的交集，最终得$a ≥ \frac{1}{2}$。
【答案】
$a≥\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数判别式应用；二次函数增减性；不等式组求解
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，需要准确掌握判别式与图象交点的关系、增减性与对称轴的对应关系，解题时注意多个约束条件需取解集的公共部分，易错点为对称轴公式记错或解带负系数的不等式时不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.6
要确定a的取值范围，需结合题目给出的两个限制条件分析：①二次函数图象与x轴有公共点，说明对应的一元二次方程有实根，即判别式Δ≥0；②二次函数二次项系数为正，开口向上，x＞2时y随x增大而增大，说明对称轴需在直线x=2的左侧或与x=2重合。分别根据两个条件列不等式，求解后取交集即可得到a的取值范围。
【解析】
解：已知二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 + ax + a^2 - 2a + 1$，二次项系数$\frac{1}{4}＞0$，因此抛物线开口向上。
1. 由图象与x轴有公共点，可得判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = a^2 - 4×\frac{1}{4}×(a^2 - 2a + 1) ≥ 0$
化简得：$a^2 - (a^2 - 2a + 1) ≥ 0$
即$2a - 1 ≥ 0$，解得$a ≥ \frac{1}{2}$。
2. 开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大，该函数对称轴为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{a}{2×\frac{1}{4}} = -2a$
要使$x＞2$时y随x增大而增大，需对称轴≤2，即：
$-2a ≤ 2$，解得$a ≥ -1$。
3. 两个条件需同时满足，取两个解集的交集，最终得$a ≥ \frac{1}{2}$。
【答案】
$a≥\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数判别式应用；二次函数增减性；不等式组求解
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，需要准确掌握判别式与图象交点的关系、增减性与对称轴的对应关系，解题时注意多个约束条件需取解集的公共部分，易错点为对称轴公式记错或解带负系数的不等式时不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.6
6.如图，二次函数$y_1=x^2-2x-3$的图象与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与一次函数$y_2=-x+b$的图象交于A，C两点.
(1)求b的值.
(2)求点C的坐标.
(3)根据图象，直接写出当$y_1＞y_2$时x的取值范围.
(1)求b的值.
(2)求点C的坐标.
(3)根据图象，直接写出当$y_1＞y_2$时x的取值范围.
答案
(1)$b=-1$.
(2)点$C$的坐标为$(2,-3)$.
(3)$x＜-1$或$x＞2$.
(2)点$C$的坐标为$(2,-3)$.
(3)$x＜-1$或$x＞2$.
解析
【分析】
1. 求b的值：首先求出二次函数与x轴左侧交点A的坐标，由于点A同时在一次函数图象上，将A点坐标代入一次函数解析式即可求出b的值。
2. 求点C的坐标：点C是两个函数图象的交点，联立二次函数和求出的一次函数解析式，解方程组后排除点A对应的解，即可得到点C的坐标。
3. 求$y_1＞y_2$时x的取值范围：结合图象，$y_1＞y_2$对应二次函数图象位于一次函数图象上方的区域，直接读取该区域对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 求点A的坐标：令$y_1=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因为点A在点B左侧，所以A点坐标为$(-1,0)$。
将$A(-1,0)$代入$y_2=-x+b$，得$0=-(-1)+b$，解得$b=-1$。
(2) 由(1)得一次函数解析式为$y_2=-x-1$，联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=x^2-2x-3\\y=-x-1\end{cases}$
消去y得$x^2-2x-3=-x-1$，整理得$x^2-x-2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
$x=-1$对应点A，将$x=2$代入$y_2=-x-1$，得$y=-2-1=-3$，即点C的坐标为$(2,-3)$。
(3) 观察图象可得，二次函数图象在一次函数图象上方时，对应的x的取值为$x＜-1$或$x＞2$，即$y_1＞y_2$时x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$。
【答案】
(1)$b=-1$
(2)$(2,-3)$
(3)$x＜-1$或$x＞2$
【知识点】
待定系数法，函数交点求解，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数综合的基础题型，解题过程中结合代数计算和图象性质即可快速得出结果，重点考查数形结合思想的运用，掌握基础函数的性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
1. 求b的值：首先求出二次函数与x轴左侧交点A的坐标，由于点A同时在一次函数图象上，将A点坐标代入一次函数解析式即可求出b的值。
2. 求点C的坐标：点C是两个函数图象的交点，联立二次函数和求出的一次函数解析式，解方程组后排除点A对应的解，即可得到点C的坐标。
3. 求$y_1＞y_2$时x的取值范围：结合图象，$y_1＞y_2$对应二次函数图象位于一次函数图象上方的区域，直接读取该区域对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 求点A的坐标：令$y_1=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因为点A在点B左侧，所以A点坐标为$(-1,0)$。
将$A(-1,0)$代入$y_2=-x+b$，得$0=-(-1)+b$，解得$b=-1$。
(2) 由(1)得一次函数解析式为$y_2=-x-1$，联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=x^2-2x-3\\y=-x-1\end{cases}$
消去y得$x^2-2x-3=-x-1$，整理得$x^2-x-2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
$x=-1$对应点A，将$x=2$代入$y_2=-x-1$，得$y=-2-1=-3$，即点C的坐标为$(2,-3)$。
(3) 观察图象可得，二次函数图象在一次函数图象上方时，对应的x的取值为$x＜-1$或$x＞2$，即$y_1＞y_2$时x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$。
【答案】
(1)$b=-1$
(2)$(2,-3)$
(3)$x＜-1$或$x＞2$
【知识点】
待定系数法，函数交点求解，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数综合的基础题型，解题过程中结合代数计算和图象性质即可快速得出结果，重点考查数形结合思想的运用，掌握基础函数的性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
