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【例1】若抛物线$y=x^2+2x+m-1$与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（
A.$m＜2$
B.$m＞2$
C.$0＜m≤2$
D.$m＜-2$
思路分析
A
）A.$m＜2$
B.$m＞2$
C.$0＜m≤2$
D.$m＜-2$
思路分析
答案
A
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可将其转化为对应的一元二次方程根的个数问题：抛物线与x轴有2个不同交点，等价于对应的一元二次方程有2个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。接下来我们只需要确定二次函数各项系数，代入判别式列出不等式，求解不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
∵抛物线$y=x^2+2x+m-1$与x轴有两个不同的交点
∴对应的一元二次方程$x^2+2x+m-1=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$
对于方程$x^2+2x+m-1=0$，$a=1$，$b=2$，$c=m-1$
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
化简不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$4 -4m +4 ＞0$
$8 -4m ＞0$
移项得$4m ＜8$
解得$m＜2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，解题关键是建立“函数图象交点个数”和“方程根的判别式符号”之间的对应关系，将图象问题转化为代数计算问题求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，可将其转化为对应的一元二次方程根的个数问题：抛物线与x轴有2个不同交点，等价于对应的一元二次方程有2个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0。接下来我们只需要确定二次函数各项系数，代入判别式列出不等式，求解不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
∵抛物线$y=x^2+2x+m-1$与x轴有两个不同的交点
∴对应的一元二次方程$x^2+2x+m-1=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$
对于方程$x^2+2x+m-1=0$，$a=1$，$b=2$，$c=m-1$
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
化简不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$4 -4m +4 ＞0$
$8 -4m ＞0$
移项得$4m ＜8$
解得$m＜2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，解题关键是建立“函数图象交点个数”和“方程根的判别式符号”之间的对应关系，将图象问题转化为代数计算问题求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
思考:二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有两个不同的交点,需满足什么条件?
答案
当$b^2-4ac＞0$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个不同的交点.
解析
【分析】
解题时我们可以用转化思想思考：首先，二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是当函数值y=0时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此交点个数和方程的实数根个数是一一对应的。题目要求有两个不同的交点，就等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根。接下来回忆一元二次方程根的个数的判定规则：用判别式$\Delta = b^2-4ac$判断，$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，$\Delta=0$时方程有两个相等实根，$\Delta＜0$时方程没有实根。另外题干已经明确给出是二次函数，所以$a≠0$的前提已经满足，不需要额外补充条件，最终就能推导出对应的要求。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，是当$y=0$时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。
若图象与x轴有两个不同的交点，等价于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根的判别式规则，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
题干已明确该函数为二次函数，满足$a≠0$的前提，因此需满足的条件为$b^2-4ac＞0$。
【答案】
当$b^2-4ac＞0$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个不同的交点。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础核心考点，主要考察将函数图象交点问题转化为方程根的个数问题的转化思维，掌握判别式和交点个数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以用转化思想思考：首先，二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是当函数值y=0时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此交点个数和方程的实数根个数是一一对应的。题目要求有两个不同的交点，就等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根。接下来回忆一元二次方程根的个数的判定规则：用判别式$\Delta = b^2-4ac$判断，$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，$\Delta=0$时方程有两个相等实根，$\Delta＜0$时方程没有实根。另外题干已经明确给出是二次函数，所以$a≠0$的前提已经满足，不需要额外补充条件，最终就能推导出对应的要求。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，是当$y=0$时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。
若图象与x轴有两个不同的交点，等价于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程根的判别式规则，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
题干已明确该函数为二次函数，满足$a≠0$的前提，因此需满足的条件为$b^2-4ac＞0$。
【答案】
当$b^2-4ac＞0$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个不同的交点。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础核心考点，主要考察将函数图象交点问题转化为方程根的个数问题的转化思维，掌握判别式和交点个数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
|一题多变|
(改变条件)已知抛物线 $y=x^2+2x+m-1$ 与直线 $y=-1$ 有两个不同的交点,求 $m$ 的取值范围.
(改变条件)已知抛物线 $y=x^2+2x+m-1$ 与直线 $y=-1$ 有两个不同的交点,求 $m$ 的取值范围.
答案
解:$m＜1.$
解析
【分析】
要解决抛物线与直线交点个数的问题，可先将两个解析式联立，转化为一元二次方程根的个数问题：若有两个不同交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，代入系数计算即可求出m的取值范围。
【解析】
将$y=-1$代入抛物线解析式$y=x^2+2x+m-1$，可得：
$x^2+2x+m-1=-1$
整理得一元二次方程：$x^2+2x+m=0$
∵抛物线与直线有两个不同的交点，
∴该方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=2$，$c=m$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1× m ＞ 0$
即$4-4m＞0$，
解得$m＜1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二次函数与方程的转化、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查“函数图象交点个数转化为对应方程根的个数”的转化思想，熟练掌握根的判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线与直线交点个数的问题，可先将两个解析式联立，转化为一元二次方程根的个数问题：若有两个不同交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，代入系数计算即可求出m的取值范围。
【解析】
将$y=-1$代入抛物线解析式$y=x^2+2x+m-1$，可得：
$x^2+2x+m-1=-1$
整理得一元二次方程：$x^2+2x+m=0$
∵抛物线与直线有两个不同的交点，
∴该方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=2$，$c=m$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1× m ＞ 0$
即$4-4m＞0$，
解得$m＜1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二次函数与方程的转化、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查“函数图象交点个数转化为对应方程根的个数”的转化思想，熟练掌握根的判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1.已知二次函数$y=x^2-(m-1)x+4$的图象与坐标轴有且只有两个公共点，则（
A.$m＞5$或$m＜-3$
B.$m=5$或$m=-3$
C.$m=-5$或$m=3$
D.$-3＜m＜5$
B
）A.$m＞5$或$m＜-3$
B.$m=5$或$m=-3$
C.$m=-5$或$m=3$
D.$-3＜m＜5$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确二次函数与坐标轴的交点包含x轴、y轴两个方向的交点：第一步先求与y轴的交点，代入x=0得y=4，可知与y轴交于(0,4)，该点不在x轴上，不会和x轴的交点重合。题目要求图象与坐标轴仅有2个公共点，说明该函数与x轴只能有1个公共点（若与x轴有2个交点，加y轴的1个交点总共有3个，不符合要求），而二次函数与x轴只有1个交点等价于判别式Δ=0，接下来代入判别式公式计算m的值即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-(m-1)x+4$：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=4$，即函数与y轴交于固定点$(0,4)$，该点不在x轴上，不会与x轴交点重合。
2. 由图象与坐标轴有且只有2个公共点，可得该二次函数与x轴仅有1个公共点，即对应的一元二次方程$x^2-(m-1)x+4=0$有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$。
3. 代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$（其中$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=4$）计算：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(m-1)]^2 - 4×1×4\\&=(m-1)^2 - 16=0\end{aligned}$
4. 解方程$(m-1)^2=16$，开方得$m-1=\pm4$：
当$m-1=4$时，$m=5$；当$m-1=-4$时，$m=-3$。
因此$m=5$或$m=-3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、判别式的应用、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数章节的基础常考题，解题的关键是先确定与y轴的交点位置，避免漏考虑y轴的交点导致判断错误，再结合总交点个数推导与x轴的交点情况，最后用判别式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先明确二次函数与坐标轴的交点包含x轴、y轴两个方向的交点：第一步先求与y轴的交点，代入x=0得y=4，可知与y轴交于(0,4)，该点不在x轴上，不会和x轴的交点重合。题目要求图象与坐标轴仅有2个公共点，说明该函数与x轴只能有1个公共点（若与x轴有2个交点，加y轴的1个交点总共有3个，不符合要求），而二次函数与x轴只有1个交点等价于判别式Δ=0，接下来代入判别式公式计算m的值即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-(m-1)x+4$：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=4$，即函数与y轴交于固定点$(0,4)$，该点不在x轴上，不会与x轴交点重合。
2. 由图象与坐标轴有且只有2个公共点，可得该二次函数与x轴仅有1个公共点，即对应的一元二次方程$x^2-(m-1)x+4=0$有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$。
3. 代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$（其中$a=1$，$b=-(m-1)$，$c=4$）计算：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(m-1)]^2 - 4×1×4\\&=(m-1)^2 - 16=0\end{aligned}$
4. 解方程$(m-1)^2=16$，开方得$m-1=\pm4$：
当$m-1=4$时，$m=5$；当$m-1=-4$时，$m=-3$。
因此$m=5$或$m=-3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、判别式的应用、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数章节的基础常考题，解题的关键是先确定与y轴的交点位置，避免漏考虑y轴的交点导致判断错误，再结合总交点个数推导与x轴的交点情况，最后用判别式求解即可。
【难度系数】
0.7
2.已知点$A(2,1)$，$B(4,m)$在二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上，若方程$ax^2+bx+c=0$的一个根为$x=3.5$，另一个根为负数，则$m$的取值范围是 (
A.$m＞0$
B.$m＜0$
C.$m≥0$
D.$m≤0$
B
)A.$m＞0$
B.$m＜0$
C.$m≥0$
D.$m≤0$
答案
B
解析
【分析】
解题时可结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：①方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，由此可知抛物线与x轴交于$(3.5,0)$和另一个横坐标小于0的点；②已知$x=2$在两个交点横坐标之间，且对应函数值为$1＞0$，根据二次函数图像的正负性分布规律，可判断抛物线开口向下；③再判断$x=4$的位置在$3.5$右侧，属于两根之外的区域，结合开口向下时两根之外函数值为负，就能得到$m$的取值范围。
【解析】
设二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点横坐标为$x_1$、$x_2$，由题意得$x_1＜0$，$x_2=3.5$。
因为$x_1＜0＜2＜3.5$，即$x=2$落在两根之间，且$x=2$时函数值$y=1＞0$，结合二次函数性质：
若抛物线开口向上（$a＞0$），两根之间的函数值应小于0，与$x=2$时$y=1＞0$矛盾，因此抛物线开口向下，$a＜0$。
开口向下的二次函数，两根之外的区域函数值小于0。
又因为$x=4＞3.5=x_2$，即$x=4$落在两根之外的区域，因此对应的函数值$m＜0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像性质
【点评】
本题侧重考查二次函数图像与方程根的联系，需要学生熟练掌握不同开口方向下，二次函数在根的内外区间的函数值符号规律，理清区间范围和开口方向即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：①方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，由此可知抛物线与x轴交于$(3.5,0)$和另一个横坐标小于0的点；②已知$x=2$在两个交点横坐标之间，且对应函数值为$1＞0$，根据二次函数图像的正负性分布规律，可判断抛物线开口向下；③再判断$x=4$的位置在$3.5$右侧，属于两根之外的区域，结合开口向下时两根之外函数值为负，就能得到$m$的取值范围。
【解析】
设二次函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点横坐标为$x_1$、$x_2$，由题意得$x_1＜0$，$x_2=3.5$。
因为$x_1＜0＜2＜3.5$，即$x=2$落在两根之间，且$x=2$时函数值$y=1＞0$，结合二次函数性质：
若抛物线开口向上（$a＞0$），两根之间的函数值应小于0，与$x=2$时$y=1＞0$矛盾，因此抛物线开口向下，$a＜0$。
开口向下的二次函数，两根之外的区域函数值小于0。
又因为$x=4＞3.5=x_2$，即$x=4$落在两根之外的区域，因此对应的函数值$m＜0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像性质
【点评】
本题侧重考查二次函数图像与方程根的联系，需要学生熟练掌握不同开口方向下，二次函数在根的内外区间的函数值符号规律，理清区间范围和开口方向即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【例2】利用函数图象求方程$x^2+2x-2=0$的实数根(结果保留小数点后一位).
解:
解:
答案
函数$y=x^2+2x-2$的图象如图所示,它与$x$轴的公共点的横坐标大约是$−2.7,0.7$,所以方程$x^2+2x-2=0$的实数根为$x_1≈−2.7,x_2≈0.7$.
解析
【分析】
要利用函数图象求解一元二次方程的根，首先要明确一元二次方程和对应二次函数的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。因此本题首先确定方程$x^2+2x-2=0$对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$，再观察给出的函数图象，找到它与$x$轴两个交点的位置，分别估算两个交点的横坐标，就能得到方程的近似实数根。
【解析】
1. 确定对应函数：方程$x^2+2x-2=0$对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$。
2. 观察图象找交点：由给出的函数图象可知，抛物线与$x$轴有两个公共点，一个公共点在$x=-3$和$x=-2$之间，另一个公共点在$x=0$和$x=1$之间。
3. 估算交点横坐标：结合坐标轴刻度估算，左侧交点横坐标大约是$-2.7$，右侧交点横坐标大约是$0.7$。
4. 转化为方程的根：根据二次函数与一元二次方程的关系，这两个横坐标就是方程$x^2+2x-2=0$的实数根。
【答案】
函数$y=x^2+2x-2$的图象如图所示,它与$x$轴的公共点的横坐标大约是$−2.7,0.7$,所以方程$x^2+2x-2=0$的实数根为$x_1≈−2.7,x_2≈0.7$.
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；估算方程的根
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的核心是建立方程的根与函数图象和x轴交点横坐标的关联，同时需要学生具备基本的识图和估算能力，是对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
要利用函数图象求解一元二次方程的根，首先要明确一元二次方程和对应二次函数的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。因此本题首先确定方程$x^2+2x-2=0$对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$，再观察给出的函数图象，找到它与$x$轴两个交点的位置，分别估算两个交点的横坐标，就能得到方程的近似实数根。
【解析】
1. 确定对应函数：方程$x^2+2x-2=0$对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$。
2. 观察图象找交点：由给出的函数图象可知，抛物线与$x$轴有两个公共点，一个公共点在$x=-3$和$x=-2$之间，另一个公共点在$x=0$和$x=1$之间。
3. 估算交点横坐标：结合坐标轴刻度估算，左侧交点横坐标大约是$-2.7$，右侧交点横坐标大约是$0.7$。
4. 转化为方程的根：根据二次函数与一元二次方程的关系，这两个横坐标就是方程$x^2+2x-2=0$的实数根。
【答案】
函数$y=x^2+2x-2$的图象如图所示,它与$x$轴的公共点的横坐标大约是$−2.7,0.7$,所以方程$x^2+2x-2=0$的实数根为$x_1≈−2.7,x_2≈0.7$.
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；估算方程的根
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的核心是建立方程的根与函数图象和x轴交点横坐标的关联，同时需要学生具备基本的识图和估算能力，是对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
