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7. 如图,过$\odot O$的直径$AB$上两点$M,N$,分别作弦$CD,EF$,若$CD// EF,AC=BF$. 求证:
(1) $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$;
(2) $AM=BN$.
(1) $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$;
(2) $AM=BN$.
答案
7. (1)如图,连接OC,OF.
$\because AC=BF$,
$\therefore ∠COA=∠BOF$.
$\because ∠COA+∠COB=180°$,
$∠BOF+∠FOA=180°$,
$\therefore ∠COB=∠FOA$.
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$.
(2)$\because OA=OC,OB=OF$,
$\therefore ∠A=∠ACO=\frac{180°-∠AOC}{2}, ∠B=∠BFO=\frac{180°-∠BOF}{2}$.
$\because ∠AOC=∠BOF$,
$\therefore ∠A=∠B$.
$\because CD// EF$,
$\therefore ∠AMC=∠ANE$.
又 $∠BNF=∠ANE$,
$\therefore ∠AMC=∠BNF$.
在$△ AMC$和$△ BNF$中,
$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠AMC=∠BNF,\\AC=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ BNF$.
$\therefore AM=BN$.
解析
【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$，根据同圆中弧相等的判定规则，可转化为证明两段弧对应的圆心角相等。首先连接半径$OC、OF$构造圆心角，已知$AC=BF$，由同圆中相等的弦对应相等的圆心角可得$∠ COA=∠ BOF$，再结合平角的补角相等，即可推出$∠ COB=∠ FOA$，进而证得弧相等。
(2) 要证明$AM=BN$，可通过证明包含这两条线段的$△ AMC$和$△ BNF$全等来推导。首先由圆的半径相等，结合$∠ AOC=∠ BOF$可推出等腰$△ AOC$和$△ BOF$的底角$∠ A=∠ B$；再结合$CD// EF$的性质和对顶角相等，得到$∠ AMC=∠ BNF$，最后结合已知$AC=BF$，用AAS判定三角形全等，即可得到对应边$AM=BN$。
【解析】
(1) 连接$OC,OF$。
$\because AC=BF$，同圆中相等的弦对应的圆心角相等，$\therefore ∠ COA=∠ BOF$。
$\because ∠ COA+∠ COB=180°$，$∠ BOF+∠ FOA=180°$，
$\therefore ∠ COB=∠ FOA$。
同圆中相等的圆心角对应的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$。
(2) $\because OA、OC、OB、OF$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC,OB=OF$，
$\therefore ∠ A=∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}$，$∠ B=∠ BFO=\frac{180°-∠ BOF}{2}$。
$\because ∠ AOC=∠ BOF$，$\therefore ∠ A=∠ B$。
$\because CD// EF$，$\therefore ∠ AMC=∠ ANE$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠ BNF=∠ ANE$（对顶角相等），$\therefore ∠ AMC=∠ BNF$。
在$△ AMC$和$△ BNF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ AMC=∠ BNF,\\AC=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ BNF$（AAS），
$\therefore AM=BN$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 如图,连接OC,OF.
$\because AC=BF$,
$\therefore ∠COA=∠BOF$.
$\because ∠COA+∠COB=180°$,
$∠BOF+∠FOA=180°$,
$\therefore ∠COB=∠FOA$.
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$.
(2)$\because OA=OC,OB=OF$,
$\therefore ∠A=∠ACO=\frac{180°-∠AOC}{2}, ∠B=∠BFO=\frac{180°-∠BOF}{2}$.
$\because ∠AOC=∠BOF$,
$\therefore ∠A=∠B$.
$\because CD// EF$,
$\therefore ∠AMC=∠ANE$.
又 $∠BNF=∠ANE$,
$\therefore ∠AMC=∠BNF$.
在$△ AMC$和$△ BNF$中,
$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠AMC=∠BNF,\\AC=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ BNF$.
$\therefore AM=BN$.
【知识点】
圆心角弧弦的关系、全等三角形判定、平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形全等的综合应用题，解题关键是合理添加半径作为辅助线，利用同圆中弦、圆心角、弧的对应关系推导角的等量关系，再结合平行线性质、全等三角形判定求解，逻辑清晰，能有效考查几何推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$，根据同圆中弧相等的判定规则，可转化为证明两段弧对应的圆心角相等。首先连接半径$OC、OF$构造圆心角，已知$AC=BF$，由同圆中相等的弦对应相等的圆心角可得$∠ COA=∠ BOF$，再结合平角的补角相等，即可推出$∠ COB=∠ FOA$，进而证得弧相等。
(2) 要证明$AM=BN$，可通过证明包含这两条线段的$△ AMC$和$△ BNF$全等来推导。首先由圆的半径相等，结合$∠ AOC=∠ BOF$可推出等腰$△ AOC$和$△ BOF$的底角$∠ A=∠ B$；再结合$CD// EF$的性质和对顶角相等，得到$∠ AMC=∠ BNF$，最后结合已知$AC=BF$，用AAS判定三角形全等，即可得到对应边$AM=BN$。
【解析】
(1) 连接$OC,OF$。
$\because AC=BF$，同圆中相等的弦对应的圆心角相等，$\therefore ∠ COA=∠ BOF$。
$\because ∠ COA+∠ COB=180°$，$∠ BOF+∠ FOA=180°$，
$\therefore ∠ COB=∠ FOA$。
同圆中相等的圆心角对应的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$。
(2) $\because OA、OC、OB、OF$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC,OB=OF$，
$\therefore ∠ A=∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}$，$∠ B=∠ BFO=\frac{180°-∠ BOF}{2}$。
$\because ∠ AOC=∠ BOF$，$\therefore ∠ A=∠ B$。
$\because CD// EF$，$\therefore ∠ AMC=∠ ANE$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠ BNF=∠ ANE$（对顶角相等），$\therefore ∠ AMC=∠ BNF$。
在$△ AMC$和$△ BNF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B,\\∠ AMC=∠ BNF,\\AC=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ BNF$（AAS），
$\therefore AM=BN$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 如图,连接OC,OF.
$\because AC=BF$,
$\therefore ∠COA=∠BOF$.
$\because ∠COA+∠COB=180°$,
$∠BOF+∠FOA=180°$,
$\therefore ∠COB=∠FOA$.
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AF}$.
(2)$\because OA=OC,OB=OF$,
$\therefore ∠A=∠ACO=\frac{180°-∠AOC}{2}, ∠B=∠BFO=\frac{180°-∠BOF}{2}$.
$\because ∠AOC=∠BOF$,
$\therefore ∠A=∠B$.
$\because CD// EF$,
$\therefore ∠AMC=∠ANE$.
又 $∠BNF=∠ANE$,
$\therefore ∠AMC=∠BNF$.
在$△ AMC$和$△ BNF$中,
$\begin{cases}∠A=∠B,\\∠AMC=∠BNF,\\AC=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ BNF$.
$\therefore AM=BN$.
【知识点】
圆心角弧弦的关系、全等三角形判定、平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形全等的综合应用题，解题关键是合理添加半径作为辅助线，利用同圆中弦、圆心角、弧的对应关系推导角的等量关系，再结合平行线性质、全等三角形判定求解，逻辑清晰，能有效考查几何推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,点A,B,M在$\odot O$上,$OD ⊥ AM$于点D,$OE ⊥ BM$于点E.若$OD=OE$,求证:$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
答案
8. 如图,连接OM.
$\because OD ⊥ AM,OE ⊥ BM$,
$\therefore AD=MD=\frac{1}{2}AM, ME=BE=\frac{1}{2}BM$,
$∠ODM=∠OEM=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DMO$和$\mathrm{Rt}△ EMO$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\OM=OM,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMO ≌ \mathrm{Rt}△ EMO$.
$\therefore DM=EM$.
$\therefore AM=BM$.
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
解析
【分析】
要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，根据同圆的性质，只需证明两条弧对应的弦$AM=BM$即可。已知$OD⊥AM$、$OE⊥BM$，结合垂径定理可知$AM=2DM$、$BM=2EM$，因此只需证$DM=EM$。观察图形可得$DM$、$EM$分别在$Rt△DMO$和$Rt△EMO$中，已知$OD=OE$，且$OM$是两个直角三角形的公共斜边，可通过HL判定两三角形全等得到$DM=EM$，逐步推导即可得证。
【解析】
证明：如图，连接$OM$.
$\because OD ⊥ AM,OE ⊥ BM$,
$\therefore$ 由垂径定理得$AD=MD=\frac{1}{2}AM, ME=BE=\frac{1}{2}BM$，且$∠ODM=∠OEM=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DMO$和$\mathrm{Rt}△ EMO$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\OM=OM,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMO ≌ \mathrm{Rt}△ EMO(\mathrm{HL})$.
$\therefore DM=EM$.
$\therefore AM=2DM=2EM=BM$.
$\because$ 同圆中相等的弦所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
【答案】
8. 如图,连接OM.
$\because OD ⊥ AM,OE ⊥ BM$,
$\therefore AD=MD=\frac{1}{2}AM, ME=BE=\frac{1}{2}BM$,
$∠ODM=∠OEM=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DMO$和$\mathrm{Rt}△ EMO$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\OM=OM,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMO ≌ \mathrm{Rt}△ EMO$.
$\therefore DM=EM$.
$\therefore AM=BM$.
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；弦弧关系
【点评】
本题是圆性质应用的常规基础题，解题核心是将弧相等的证明转化为弦相等的证明，通过添加辅助线构造全等三角形，结合垂径定理即可推导结论，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，根据同圆的性质，只需证明两条弧对应的弦$AM=BM$即可。已知$OD⊥AM$、$OE⊥BM$，结合垂径定理可知$AM=2DM$、$BM=2EM$，因此只需证$DM=EM$。观察图形可得$DM$、$EM$分别在$Rt△DMO$和$Rt△EMO$中，已知$OD=OE$，且$OM$是两个直角三角形的公共斜边，可通过HL判定两三角形全等得到$DM=EM$，逐步推导即可得证。
【解析】
证明：如图，连接$OM$.
$\because OD ⊥ AM,OE ⊥ BM$,
$\therefore$ 由垂径定理得$AD=MD=\frac{1}{2}AM, ME=BE=\frac{1}{2}BM$，且$∠ODM=∠OEM=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DMO$和$\mathrm{Rt}△ EMO$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\OM=OM,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMO ≌ \mathrm{Rt}△ EMO(\mathrm{HL})$.
$\therefore DM=EM$.
$\therefore AM=2DM=2EM=BM$.
$\because$ 同圆中相等的弦所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
【答案】
8. 如图,连接OM.
$\because OD ⊥ AM,OE ⊥ BM$,
$\therefore AD=MD=\frac{1}{2}AM, ME=BE=\frac{1}{2}BM$,
$∠ODM=∠OEM=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DMO$和$\mathrm{Rt}△ EMO$中,
$\begin{cases}OD=OE,\\OM=OM,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMO ≌ \mathrm{Rt}△ EMO$.
$\therefore DM=EM$.
$\therefore AM=BM$.
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；弦弧关系
【点评】
本题是圆性质应用的常规基础题，解题核心是将弧相等的证明转化为弦相等的证明，通过添加辅助线构造全等三角形，结合垂径定理即可推导结论，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,$CD ⊥ OA$于点$D$,$CE ⊥ OB$于点$E$,求证:$OD=OE$.
答案
9. 如图,连接OC.
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC$.
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$,
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$.
又 $OC=OC$,
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO$.
$\therefore OD=OE$.
解析
【分析】
要证明$OD=OE$，可通过证明两条线段所在的$△ CDO$和$△ CEO$全等来推导。首先根据已知的弧相等的条件，结合同圆中等弧对应圆心角相等，可得到一组角相等；再结合垂直的条件得到两个直角，还有公共边$OC$，即可证明两个三角形全等，最终通过全等三角形对应边相等得到结论，解题时首先连接$OC$构造全等三角形即可。
【解析】
证明：如图，连接$OC$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC$（同圆中相等的弧所对的圆心角相等）。
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$，
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠CDO=∠CEO \\∠DOC=∠EOC \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO$（AAS），
$\therefore OD=OE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
9. 如图,连接OC.
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC$.
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$,
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$.
又 $OC=OC$,
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO$.
$\therefore OD=OE$.
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是合理添加辅助线$OC$构造全等三角形，结合同圆中弧和圆心角的对应关系即可找到全等条件，熟练掌握相关性质定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明$OD=OE$，可通过证明两条线段所在的$△ CDO$和$△ CEO$全等来推导。首先根据已知的弧相等的条件，结合同圆中等弧对应圆心角相等，可得到一组角相等；再结合垂直的条件得到两个直角，还有公共边$OC$，即可证明两个三角形全等，最终通过全等三角形对应边相等得到结论，解题时首先连接$OC$构造全等三角形即可。
【解析】
证明：如图，连接$OC$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠AOC=∠BOC$（同圆中相等的弧所对的圆心角相等）。
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$，
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$。
在$△ CDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠CDO=∠CEO \\∠DOC=∠EOC \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO$（AAS），
$\therefore OD=OE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
9. 如图,连接OC.
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC$.
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$,
$\therefore ∠CDO=∠CEO=90°$.
又 $OC=OC$,
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO$.
$\therefore OD=OE$.
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是合理添加辅助线$OC$构造全等三角形，结合同圆中弧和圆心角的对应关系即可找到全等条件，熟练掌握相关性质定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图，A,B是$\odot O$上的两点，$∠ AOB=120°$,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1)求证：四边形OACB为菱形；
(2)延长OA至点P，使得OA=AP，连接PC，若$\odot O$的半径$R=1$，求PC的长.
(1)求证：四边形OACB为菱形；
(2)延长OA至点P，使得OA=AP，连接PC，若$\odot O$的半径$R=1$，求PC的长.
答案
10. (1)如图,连接OC.
$\because C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠AOB=120°$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC=60°$.
又 $OA=OC=OB$,
$\therefore △ OAC$和$△ OBC$都是等边三角形.
$\therefore AC=OA=OC,OB=BC=OC$.
$\therefore AC=OA=OB=BC$.
$\therefore$ 四边形OACB是菱形.
(2)由(1)知$OA=AC$.
$\because OA=AP$,
$\therefore AP=AC$.
$\therefore ∠P=∠ACP$.
$\because △ OAC$是等边三角形,
$\therefore ∠OAC=∠OCA=60°$.
$\therefore ∠PAC=180°-∠OAC=120°$.
$\therefore ∠P=∠ACP=30°$.
$\therefore ∠PCO=∠ACP+∠OCA=30°+60°=90°$.
又 $OC=1$,
$\therefore PO=2$.
$\therefore PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形OACB为菱形，优先考虑通过“四条边相等的四边形是菱形”来判定。首先连接辅助线OC，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据弧的中点性质可得对应圆心角相等，结合已知$∠ AOB=120°$，可推出$∠ AOC=∠ BOC=60°$；再结合圆的半径相等，可证$△ OAC$和$△ OBC$均为等边三角形，从而得到四边形OACB的四条边相等，即可完成证明。
(2) 求PC的长度时，结合(1)中等边三角形的结论可得$OA=AC$，结合$OA=AP$可推出$AP=AC$，进而得到等腰$△ PAC$，计算可得$∠ P=30°$，进一步推出$∠ PCO=90°$，即$△ PCO$为直角三角形，最后用勾股定理即可求出PC的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=120°$，
所以$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
又因为OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC=OB$，
因此$△ OAC$和$△ OBC$都是有一个角为$60°$的等腰三角形，即都是等边三角形，
所以$AC=OA=OC$，$OB=BC=OC$，
由此可得$AC=OA=OB=BC$，四条边相等的四边形是菱形，故四边形OACB是菱形。
(2) 解：由(1)可知$△ OAC$是等边三角形，因此$OA=AC$，$∠ OAC=∠ OCA=60°$。
已知$OA=AP$，所以$AP=AC$，即$△ PAC$是等腰三角形，$∠ P=∠ ACP$。
因为$∠ PAC=180°-∠ OAC=180°-60°=120°$，
所以$∠ P=∠ ACP=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
因此$∠ PCO=∠ ACP+∠ OCA=30°+60°=90°$，$△ PCO$为直角三角形。
又因为$\odot O$的半径$R=1$，所以$OC=1$，$PO=OA+AP=1+1=2$，
根据勾股定理：$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 如图,连接OC.
$\because C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠AOB=120°$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC=60°$.
又 $OA=OC=OB$,
$\therefore △ OAC$和$△ OBC$都是等边三角形.
$\therefore AC=OA=OC,OB=BC=OC$.
$\therefore AC=OA=OB=BC$.
$\therefore$ 四边形OACB是菱形.
(2)由(1)知$OA=AC$.
$\because OA=AP$,
$\therefore AP=AC$.
$\therefore ∠P=∠ACP$.
$\because △ OAC$是等边三角形,
$\therefore ∠OAC=∠OCA=60°$.
$\therefore ∠PAC=180°-∠OAC=120°$.
$\therefore ∠P=∠ACP=30°$.
$\therefore ∠PCO=∠ACP+∠OCA=30°+60°=90°$.
又 $OC=1$,
$\therefore PO=2$.
$\therefore PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与特殊几何图形结合的基础综合题，解题的核心是连接OC构造等边三角形，将弧中点的条件转化为角相等的结论，再结合等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质逐步推导，能够帮助学生巩固圆的基本性质和几何证明的常规思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形OACB为菱形，优先考虑通过“四条边相等的四边形是菱形”来判定。首先连接辅助线OC，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据弧的中点性质可得对应圆心角相等，结合已知$∠ AOB=120°$，可推出$∠ AOC=∠ BOC=60°$；再结合圆的半径相等，可证$△ OAC$和$△ OBC$均为等边三角形，从而得到四边形OACB的四条边相等，即可完成证明。
(2) 求PC的长度时，结合(1)中等边三角形的结论可得$OA=AC$，结合$OA=AP$可推出$AP=AC$，进而得到等腰$△ PAC$，计算可得$∠ P=30°$，进一步推出$∠ PCO=90°$，即$△ PCO$为直角三角形，最后用勾股定理即可求出PC的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=120°$，
所以$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
又因为OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC=OB$，
因此$△ OAC$和$△ OBC$都是有一个角为$60°$的等腰三角形，即都是等边三角形，
所以$AC=OA=OC$，$OB=BC=OC$，
由此可得$AC=OA=OB=BC$，四条边相等的四边形是菱形，故四边形OACB是菱形。
(2) 解：由(1)可知$△ OAC$是等边三角形，因此$OA=AC$，$∠ OAC=∠ OCA=60°$。
已知$OA=AP$，所以$AP=AC$，即$△ PAC$是等腰三角形，$∠ P=∠ ACP$。
因为$∠ PAC=180°-∠ OAC=180°-60°=120°$，
所以$∠ P=∠ ACP=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
因此$∠ PCO=∠ ACP+∠ OCA=30°+60°=90°$，$△ PCO$为直角三角形。
又因为$\odot O$的半径$R=1$，所以$OC=1$，$PO=OA+AP=1+1=2$，
根据勾股定理：$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 如图,连接OC.
$\because C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠AOB=120°$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC=60°$.
又 $OA=OC=OB$,
$\therefore △ OAC$和$△ OBC$都是等边三角形.
$\therefore AC=OA=OC,OB=BC=OC$.
$\therefore AC=OA=OB=BC$.
$\therefore$ 四边形OACB是菱形.
(2)由(1)知$OA=AC$.
$\because OA=AP$,
$\therefore AP=AC$.
$\therefore ∠P=∠ACP$.
$\because △ OAC$是等边三角形,
$\therefore ∠OAC=∠OCA=60°$.
$\therefore ∠PAC=180°-∠OAC=120°$.
$\therefore ∠P=∠ACP=30°$.
$\therefore ∠PCO=∠ACP+∠OCA=30°+60°=90°$.
又 $OC=1$,
$\therefore PO=2$.
$\therefore PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与特殊几何图形结合的基础综合题，解题的核心是连接OC构造等边三角形，将弧中点的条件转化为角相等的结论，再结合等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质逐步推导，能够帮助学生巩固圆的基本性质和几何证明的常规思路。
【难度系数】
0.7
