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一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是12 cm，当重物上升$2π$ cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针旋转的角度约为（
A.$60°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$450°$
A
）A.$60°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$450°$
答案
A
解析
【分析】
解题的突破口是明确重物上升的距离等于滑轮上半径OA旋转时扫过的对应弧长。首先求出滑轮的半径，再将已知的弧长、半径代入弧长公式，就能计算出OA旋转的圆心角度数。
【解析】
第一步，计算滑轮半径：$r=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$
第二步，确定对应弧长：重物上升的距离等于滑轮旋转的对应弧长，即$l=2π\ \mathrm{cm}$
第三步，代入弧长公式计算圆心角：弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），将$l=2π$、$r=6$代入得：
$2π=\frac{nπ × 6}{180}$
两边消去$π$后化简得：$2=\frac{6n}{180}$，解得$n=60°$
【答案】
A
【知识点】
弧长公式；圆心角计算；旋转的实际应用
【点评】
本题结合生活中的滑轮装置考查弧长相关计算，解题核心是建立重物上升距离和弧长的对应关系，侧重考查学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
解题的突破口是明确重物上升的距离等于滑轮上半径OA旋转时扫过的对应弧长。首先求出滑轮的半径，再将已知的弧长、半径代入弧长公式，就能计算出OA旋转的圆心角度数。
【解析】
第一步，计算滑轮半径：$r=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$
第二步，确定对应弧长：重物上升的距离等于滑轮旋转的对应弧长，即$l=2π\ \mathrm{cm}$
第三步，代入弧长公式计算圆心角：弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），将$l=2π$、$r=6$代入得：
$2π=\frac{nπ × 6}{180}$
两边消去$π$后化简得：$2=\frac{6n}{180}$，解得$n=60°$
【答案】
A
【知识点】
弧长公式；圆心角计算；旋转的实际应用
【点评】
本题结合生活中的滑轮装置考查弧长相关计算，解题核心是建立重物上升距离和弧长的对应关系，侧重考查学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在$\odot O$中,BC是直径,点A,D在圆上,$AB=DC$,则下列结论不一定成立的是（
A.$OA=OB=AB$
B.$∠ AOB=∠ COD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$
D.点O到AB,CD的距离相等
第1题图 第2题图
A
）A.$OA=OB=AB$
B.$∠ AOB=∠ COD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$
D.点O到AB,CD的距离相等
第1题图 第2题图
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆同圆中弦、圆心角、弧、弦心距的对应关系：相等的弦对应的圆心角相等、对应的弧相等、对应的弦心距相等。我们逐一分析每个选项：先判断由已知$AB=DC$能直接推出的结论，再判断没有额外条件支撑的结论是否一定成立即可。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 已知弦$AB=DC$，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等、所对的弧相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$，故B、C选项一定成立；
2. 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此点O到AB、CD的距离相等，故D选项一定成立；
3. OA、OB都是$\odot O$的半径，因此$OA=OB$，但只有当$∠ AOB=60°$时，$△ AOB$是等边三角形，才有$OA=OB=AB$，题目没有给出$∠ AOB=60°$的相关条件，因此该结论不一定成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角弧弦的关系；弦心距的性质；圆的半径特征
【点评】
本题属于圆的基础概念题，重点考查同圆中弦、弧、圆心角、弦心距的等量对应关系，解题时要注意题目要求选择的是“不一定成立”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同圆中弦、圆心角、弧、弦心距的对应关系：相等的弦对应的圆心角相等、对应的弧相等、对应的弦心距相等。我们逐一分析每个选项：先判断由已知$AB=DC$能直接推出的结论，再判断没有额外条件支撑的结论是否一定成立即可。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 已知弦$AB=DC$，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等、所对的弧相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$，故B、C选项一定成立；
2. 同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此点O到AB、CD的距离相等，故D选项一定成立；
3. OA、OB都是$\odot O$的半径，因此$OA=OB$，但只有当$∠ AOB=60°$时，$△ AOB$是等边三角形，才有$OA=OB=AB$，题目没有给出$∠ AOB=60°$的相关条件，因此该结论不一定成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角弧弦的关系；弦心距的性质；圆的半径特征
【点评】
本题属于圆的基础概念题，重点考查同圆中弦、弧、圆心角、弦心距的等量对应关系，解题时要注意题目要求选择的是“不一定成立”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\odot O$中,若C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ A=50°$,则$∠ BOC$的度数是 (
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A
)A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先利用圆的半径相等得到△OAB是等腰三角形，结合已知∠A的度数，根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和求出∠AOB的度数；再根据弧的中点性质，可知等弧对应的圆心角相等，即OC平分∠AOB，由此可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是$\odot O$的半径
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形
∴$∠ B=∠ A=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等，可得：
$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径性质，等腰三角形性质，弧与圆心角关系
【点评】
本题是圆的基础性质和等腰三角形性质的结合应用题型，解题的关键是先求出大圆心角$∠ AOB$的度数，再利用等弧对等圆心角的性质推导所求角的度数，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆的半径相等得到△OAB是等腰三角形，结合已知∠A的度数，根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和求出∠AOB的度数；再根据弧的中点性质，可知等弧对应的圆心角相等，即OC平分∠AOB，由此可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是$\odot O$的半径
∴$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形
∴$∠ B=∠ A=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等，可得：
$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径性质，等腰三角形性质，弧与圆心角关系
【点评】
本题是圆的基础性质和等腰三角形性质的结合应用题型，解题的关键是先求出大圆心角$∠ AOB$的度数，再利用等弧对等圆心角的性质推导所求角的度数，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$,则$∠ BOC$的度数为 (
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
C
)A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“同圆中三段弧相等”入手，回忆同圆中弧与圆心角的对应关系：同圆内相等的弧所对的圆心角相等，可推出三个弧对应的圆心角相等。再结合周角总度数为360°，即可求出单个圆心角∠BOC的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ 这三段弧所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$，
又
∵ $∠ AOB+∠ BOC+∠ AOC=360°$（周角的度数为360°），
∴ $3∠ BOC=360°$，
解得$∠ BOC=120°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 周角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查同圆中弧和圆心角的对应关系的应用，解题的关键是根据等弧得到对应的圆心角相等，再结合周角的度数直接计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件“同圆中三段弧相等”入手，回忆同圆中弧与圆心角的对应关系：同圆内相等的弧所对的圆心角相等，可推出三个弧对应的圆心角相等。再结合周角总度数为360°，即可求出单个圆心角∠BOC的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ 这三段弧所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC$，
又
∵ $∠ AOB+∠ BOC+∠ AOC=360°$（周角的度数为360°），
∴ $3∠ BOC=360°$，
解得$∠ BOC=120°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 周角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查同圆中弧和圆心角的对应关系的应用，解题的关键是根据等弧得到对应的圆心角相等，再结合周角的度数直接计算即可。
【难度系数】
0.9
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$AC=AD$，$∠ AOD=70°$，则$∠ BCO$的度数是（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$55°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$55°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先利用同圆中相等的弦对应相等的圆心角，由已知的AC=AD和∠AOD的度数求出∠AOC的度数；再结合平角的性质求出∠BOC的度数；最后根据圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理，即可算出∠BCO的度数。
【解析】
1. 因为在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，已知$AC=AD$，所以$∠ AOC=∠ AOD$，又$∠ AOD=70°$，因此$∠ AOC=70°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-70°=110°$。
3. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OBC=∠ BCO$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BCO=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弦的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题型，解题核心是熟练掌握同圆中弦与圆心角的对应关系，再结合等腰三角形的特征计算角度，是圆类角度计算的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用同圆中相等的弦对应相等的圆心角，由已知的AC=AD和∠AOD的度数求出∠AOC的度数；再结合平角的性质求出∠BOC的度数；最后根据圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理，即可算出∠BCO的度数。
【解析】
1. 因为在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，已知$AC=AD$，所以$∠ AOC=∠ AOD$，又$∠ AOD=70°$，因此$∠ AOC=70°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-70°=110°$。
3. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OBC=∠ BCO$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BCO=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弦的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础题型，解题核心是熟练掌握同圆中弦与圆心角的对应关系，再结合等腰三角形的特征计算角度，是圆类角度计算的典型考题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$\odot O$中,A,B,C均为圆上的点,下列说法:①若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,则$AB=BC$;②若$∠ AOB=∠ BOC$,则$AB=BC$;③若$AB=BC$,则$∠ AOB=∠ BOC$;④若$∠ AOB=∠ BOC$,则点O到弦AB,BC的距离相等.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题时先回忆相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距也相等，且四组量中任意一组相等，其余三组均对应相等，我们只需用该定理逐一验证4个说法即可。
【解析】
在$\odot O$中，半径均相等，属于同圆场景：
①若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧对等弦，可得$AB=BC$，故①正确；
②若$∠ AOB=∠ BOC$，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AB=BC$，故②正确；
③若$AB=BC$，同圆中等弦所对的圆心角相等，可得$∠ AOB=∠ BOC$，故③正确；
④若$∠ AOB=∠ BOC$，则对应弦$AB=BC$，同圆中相等的弦的弦心距相等，即点O到弦AB、BC的距离相等，故④正确。
综上，4个说法均正确，正确个数为4。
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系，弦心距的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者的等价转换关系，就能快速判断所有说法的正误，不易出错。
【难度系数】
0.8
本题考查同圆中圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题时先回忆相关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距也相等，且四组量中任意一组相等，其余三组均对应相等，我们只需用该定理逐一验证4个说法即可。
【解析】
在$\odot O$中，半径均相等，属于同圆场景：
①若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧对等弦，可得$AB=BC$，故①正确；
②若$∠ AOB=∠ BOC$，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AB=BC$，故②正确；
③若$AB=BC$，同圆中等弦所对的圆心角相等，可得$∠ AOB=∠ BOC$，故③正确；
④若$∠ AOB=∠ BOC$，则对应弦$AB=BC$，同圆中相等的弦的弦心距相等，即点O到弦AB、BC的距离相等，故④正确。
综上，4个说法均正确，正确个数为4。
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系，弦心距的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者的等价转换关系，就能快速判断所有说法的正误，不易出错。
【难度系数】
0.8
6. 如图，BC是$\odot O$的直径，D，E是$\odot O$上两点，连接BD，CE并延长相交于点A，连接OD，OE，若$∠ A=70°$，则$∠ DOE$的度数为（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先从已知的∠A出发，利用三角形内角和求出∠B与∠C的和，再结合同圆半径相等得到两个等腰三角形，用∠B、∠C表示出∠BOD和∠COE的和，最后根据平角的定义即可算出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B+∠ C=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∵OB、OD、OC、OE都是$\odot O$的半径
∴$OB=OD$，$OC=OE$
∴$∠ ODB=∠ B$，$∠ OEC=∠ C$
在△OBD中，$∠ BOD=180°-2∠ B$
在△OCE中，$∠ COE=180°-2∠ C$
则$∠ BOD+∠ COE=360°-2(∠ B+∠ C)=360°-2×110°=140°$
∵BC是直径，$∠ BOC=180°$，即$∠ BOD+∠ DOE+∠ COE=180°$
∴$∠ DOE=180°-(∠ BOD+∠ COE)=180°-140°=40°$
【答案】C
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是利用等腰三角形的性质建立已知角和待求角之间的联系，通过角度转化得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠A出发，利用三角形内角和求出∠B与∠C的和，再结合同圆半径相等得到两个等腰三角形，用∠B、∠C表示出∠BOD和∠COE的和，最后根据平角的定义即可算出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B+∠ C=180°-∠ A=180°-70°=110°$
∵OB、OD、OC、OE都是$\odot O$的半径
∴$OB=OD$，$OC=OE$
∴$∠ ODB=∠ B$，$∠ OEC=∠ C$
在△OBD中，$∠ BOD=180°-2∠ B$
在△OCE中，$∠ COE=180°-2∠ C$
则$∠ BOD+∠ COE=360°-2(∠ B+∠ C)=360°-2×110°=140°$
∵BC是直径，$∠ BOC=180°$，即$∠ BOD+∠ DOE+∠ COE=180°$
∴$∠ DOE=180°-(∠ BOD+∠ COE)=180°-140°=40°$
【答案】C
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是利用等腰三角形的性质建立已知角和待求角之间的联系，通过角度转化得到结果。
【难度系数】
0.7
