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老师出了一道题:已知$A(-1,y_1),B(-2,y_2),C (3,y_3)$三点都在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
小虎说:把$x$的值$-1,-2,3$分别代入函数解析式中,求出$y_1,y_2,y_3$的值后比较即可.
小聪说:可以根据二次函数图象的对称性先把它们都转换到对称轴同侧,再借助二次函数的性质比较大小.
小亮说:我发现一个事实,抛物线开口向下时,其上的点离对称轴越远其纵坐标越小.
他们说的都对,你能根据他们的说法写出这三种解法吗?
$y_3＜y_2＜y_1$
.小虎说:把$x$的值$-1,-2,3$分别代入函数解析式中,求出$y_1,y_2,y_3$的值后比较即可.
小聪说:可以根据二次函数图象的对称性先把它们都转换到对称轴同侧,再借助二次函数的性质比较大小.
小亮说:我发现一个事实,抛物线开口向下时,其上的点离对称轴越远其纵坐标越小.
他们说的都对,你能根据他们的说法写出这三种解法吗?
答案
小虎的解法：
当$x=-1$时,$y_1=-\frac{1}{2}$；
当$x=-2$时,$y_2=-2$；
当$x=3$时,$y_3=-\frac{9}{2}$.
∵ $-\frac{9}{2}＜-2＜-\frac{1}{2}$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小聪的解法：
∵ 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象关于$y$轴对称，
∴ $x=3$与$x=-3$对应的纵坐标都是$y_3$.
∵ $a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下.
∴ 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵ $-3＜-2＜-1＜0$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小亮的解法：
∵ 在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$中,$a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下,且对称轴为$y$轴.
∴ 其上的点离对称轴$y$轴越远,其纵坐标越小.
∵ 点$A(-1,y_1),B(-2,y_2),C(3,y_3)$三点都在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象上，
∴ $0-(-1)=1,0-(-2)=2,3-0=3,3＞2＞1$.
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
当$x=-1$时,$y_1=-\frac{1}{2}$；
当$x=-2$时,$y_2=-2$；
当$x=3$时,$y_3=-\frac{9}{2}$.
∵ $-\frac{9}{2}＜-2＜-\frac{1}{2}$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小聪的解法：
∵ 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象关于$y$轴对称，
∴ $x=3$与$x=-3$对应的纵坐标都是$y_3$.
∵ $a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下.
∴ 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵ $-3＜-2＜-1＜0$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小亮的解法：
∵ 在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$中,$a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下,且对称轴为$y$轴.
∴ 其上的点离对称轴$y$轴越远,其纵坐标越小.
∵ 点$A(-1,y_1),B(-2,y_2),C(3,y_3)$三点都在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象上，
∴ $0-(-1)=1,0-(-2)=2,3-0=3,3＞2＞1$.
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
解析
【分析】
本题是比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，可从三种不同思路解题：①基础代入思路：函数图象上的点坐标满足函数解析式，直接将三个点的横坐标代入解析式求出对应纵坐标，再比较数值大小即可；②对称转化思路：二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的对称轴是y轴，可将x＞0的点对称到x＜0的一侧，再结合抛物线开口向下时x＜0区间的增减性比较大小；③距离比较思路：开口向下的抛物线上的点，离对称轴越远纵坐标越小，只需计算三个点到y轴的距离，比较距离大小即可得到纵坐标的大小关系。
【解析】
小虎的解法：
当$x=-1$时，$y_1=-\frac{1}{2} × (-1)^2=-\frac{1}{2}$；
当$x=-2$时，$y_2=-\frac{1}{2} × (-2)^2=-2$；
当$x=3$时，$y_3=-\frac{1}{2} × 3^2=-\frac{9}{2}$.
∵ $-\frac{9}{2}＜-2＜-\frac{1}{2}$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小聪的解法：
∵ 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象关于$y$轴对称，
∴ $x=3$与$x=-3$对应的纵坐标都是$y_3$.
∵ $a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下.
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.
∵ $-3＜-2＜-1＜0$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小亮的解法：
∵ 在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，且对称轴为$y$轴.
∴ 其上的点离对称轴$y$轴越远，其纵坐标越小.
∵ 点$A(-1,y_1),B(-2,y_2),C(3,y_3)$三点都在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象上，
∴ 三点到y轴的距离分别为$|-1|=1$，$|-2|=2$，$|3|=3$，且$3＞2＞1$.
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
【答案】
$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质设置多种解题思路，既可以用基础的代入求值法直接求解，也可以借助函数的对称性、增减性简化运算，有助于学生多角度理解二次函数的特征，灵活选择解题方法。
【难度系数】
0.8
本题是比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，可从三种不同思路解题：①基础代入思路：函数图象上的点坐标满足函数解析式，直接将三个点的横坐标代入解析式求出对应纵坐标，再比较数值大小即可；②对称转化思路：二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的对称轴是y轴，可将x＞0的点对称到x＜0的一侧，再结合抛物线开口向下时x＜0区间的增减性比较大小；③距离比较思路：开口向下的抛物线上的点，离对称轴越远纵坐标越小，只需计算三个点到y轴的距离，比较距离大小即可得到纵坐标的大小关系。
【解析】
小虎的解法：
当$x=-1$时，$y_1=-\frac{1}{2} × (-1)^2=-\frac{1}{2}$；
当$x=-2$时，$y_2=-\frac{1}{2} × (-2)^2=-2$；
当$x=3$时，$y_3=-\frac{1}{2} × 3^2=-\frac{9}{2}$.
∵ $-\frac{9}{2}＜-2＜-\frac{1}{2}$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小聪的解法：
∵ 函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象关于$y$轴对称，
∴ $x=3$与$x=-3$对应的纵坐标都是$y_3$.
∵ $a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下.
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.
∵ $-3＜-2＜-1＜0$，
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
小亮的解法：
∵ 在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 抛物线开口向下，且对称轴为$y$轴.
∴ 其上的点离对称轴$y$轴越远，其纵坐标越小.
∵ 点$A(-1,y_1),B(-2,y_2),C(3,y_3)$三点都在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象上，
∴ 三点到y轴的距离分别为$|-1|=1$，$|-2|=2$，$|3|=3$，且$3＞2＞1$.
∴ $y_3＜y_2＜y_1$.
【答案】
$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质设置多种解题思路，既可以用基础的代入求值法直接求解，也可以借助函数的对称性、增减性简化运算，有助于学生多角度理解二次函数的特征，灵活选择解题方法。
【难度系数】
0.8
1. 下列关于二次函数$y=x^2$的性质，说法不正确的是（
A.它的图象经过点$(1,1)$
B.它的图象的对称轴是$y$轴
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.它有最大值
D
）A.它的图象经过点$(1,1)$
B.它的图象的对称轴是$y$轴
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.它有最大值
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题时可先回忆$y=ax^2$（$a＞0$）的基本性质，再逐一验证四个选项的正误，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：将$x=1$代入$y=x^2$，得$y=1^2=1$，因此图象经过点$(1,1)$，该选项说法正确；
选项B：二次函数$y=ax^2$的对称轴为$y$轴，因此$y=x^2$的对称轴是$y$轴，该选项说法正确；
选项C：$y=x^2$中$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，该选项说法正确；
选项D：$y=x^2$开口向上，图象有最低点，因此函数有最小值，没有最大值，该选项说法错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质，二次函数的增减性，二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=x^2$基本性质的记忆与理解，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值等核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，解题时可先回忆$y=ax^2$（$a＞0$）的基本性质，再逐一验证四个选项的正误，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：将$x=1$代入$y=x^2$，得$y=1^2=1$，因此图象经过点$(1,1)$，该选项说法正确；
选项B：二次函数$y=ax^2$的对称轴为$y$轴，因此$y=x^2$的对称轴是$y$轴，该选项说法正确；
选项C：$y=x^2$中$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，该选项说法正确；
选项D：$y=x^2$开口向上，图象有最低点，因此函数有最小值，没有最大值，该选项说法错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质，二次函数的增减性，二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=x^2$基本性质的记忆与理解，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值等核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知二次函数$y=kx^{k^2 -k}$，当$k=$
-1
时，函数图象是开口向下的抛物线，此时当$x$$＞0$
时，$y$随$x$的增大而减小。答案
2. -1 ＞0
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：首先根据二次函数的定义确定k的取值范围，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0；其次结合“抛物线开口向下”的条件，可知二次项系数小于0，筛选出符合要求的k值，最后再根据二次函数$y=ax^2$的增减性规律，确定y随x增大而减小的x的取值范围。
【解析】
1. 求k的值：
因为函数$y=kx^{k^2 -k}$是二次函数，所以自变量x的次数为2，且二次项系数$k≠0$，可得方程：
$k^2 -k = 2$
整理得$k^2 -k -2 = 0$，因式分解为$(k-2)(k+1)=0$，解得$k=2$或$k=-1$。
又因为抛物线开口向下，所以二次项系数$k＜0$，因此舍去$k=2$，得$k=-1$。
2. 求y随x增大而减小的x范围：
当$k=-1$时，函数为$y=-x^2$，其图象开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），根据二次函数增减性，开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
-1；＞0
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题侧重对二次函数基础概念和性质的考查，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，再结合开口方向、增减性的性质逐步推导即可，是对基础知识点掌握程度的检验。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需分两步思考：首先根据二次函数的定义确定k的取值范围，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0；其次结合“抛物线开口向下”的条件，可知二次项系数小于0，筛选出符合要求的k值，最后再根据二次函数$y=ax^2$的增减性规律，确定y随x增大而减小的x的取值范围。
【解析】
1. 求k的值：
因为函数$y=kx^{k^2 -k}$是二次函数，所以自变量x的次数为2，且二次项系数$k≠0$，可得方程：
$k^2 -k = 2$
整理得$k^2 -k -2 = 0$，因式分解为$(k-2)(k+1)=0$，解得$k=2$或$k=-1$。
又因为抛物线开口向下，所以二次项系数$k＜0$，因此舍去$k=2$，得$k=-1$。
2. 求y随x增大而减小的x范围：
当$k=-1$时，函数为$y=-x^2$，其图象开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），根据二次函数增减性，开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
-1；＞0
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题侧重对二次函数基础概念和性质的考查，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，再结合开口方向、增减性的性质逐步推导即可，是对基础知识点掌握程度的检验。
【难度系数】
0.8
3. 已知$P(t_1,-2),Q(t_2,-2)$是二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的图象上的两个不同的点，则$t_1 + t_2 =$
0
。答案
3. 0
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：① 观察到P、Q两点纵坐标相同，结合二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，可知纵坐标相等的两点关于y轴对称，对称点的横坐标互为相反数，直接可得两横坐标之和为0；② 也可以将两点坐标分别代入二次函数解析式，求解得到$t_1$和$t_2$的取值，再计算两者之和，其中利用对称性解题更简便。
【解析】
方法1：利用对称性求解
二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。
因为点$P(t_1,-2)$和$Q(t_2,-2)$纵坐标相等，所以两点关于抛物线的对称轴对称，即$t_1$与$t_2$互为相反数，因此$t_1 + t_2 = 0$。
方法2：代入解析式求解
将点$P(t_1,-2)$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2$，得：
$-2=-\dfrac{1}{4}t_1^2$
解得$t_1^2=8$，即$t_1=\pm 2\sqrt{2}$。
同理可得$t_2^2=8$，因为P、Q是不同的点，所以$t_1$和$t_2$分别取$2\sqrt{2}$和$-2\sqrt{2}$，因此$t_1 + t_2 = 2\sqrt{2} + (-2\sqrt{2})=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，既可以通过代入计算求解，也可以利用抛物线的对称性快速得到答案，熟练掌握二次函数的对称性可简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
解题可以从两个思路入手：① 观察到P、Q两点纵坐标相同，结合二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，可知纵坐标相等的两点关于y轴对称，对称点的横坐标互为相反数，直接可得两横坐标之和为0；② 也可以将两点坐标分别代入二次函数解析式，求解得到$t_1$和$t_2$的取值，再计算两者之和，其中利用对称性解题更简便。
【解析】
方法1：利用对称性求解
二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$）。
因为点$P(t_1,-2)$和$Q(t_2,-2)$纵坐标相等，所以两点关于抛物线的对称轴对称，即$t_1$与$t_2$互为相反数，因此$t_1 + t_2 = 0$。
方法2：代入解析式求解
将点$P(t_1,-2)$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2$，得：
$-2=-\dfrac{1}{4}t_1^2$
解得$t_1^2=8$，即$t_1=\pm 2\sqrt{2}$。
同理可得$t_2^2=8$，因为P、Q是不同的点，所以$t_1$和$t_2$分别取$2\sqrt{2}$和$-2\sqrt{2}$，因此$t_1 + t_2 = 2\sqrt{2} + (-2\sqrt{2})=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，既可以通过代入计算求解，也可以利用抛物线的对称性快速得到答案，熟练掌握二次函数的对称性可简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
4. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$,解答下列问题:
(1)根据已知的部分图象画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可).
(2)判断点$(-2,-4)$是否在这个函数图象上,并说明理由.
(3)求当$y=4$时对应的函数图象上的点的坐标.
(1)根据已知的部分图象画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可).
(2)判断点$(-2,-4)$是否在这个函数图象上,并说明理由.
(3)求当$y=4$时对应的函数图象上的点的坐标.
答案
4. (1)
(2)不在.理由如下：
∵ 当$x=-2$时,$y=2$，
∴ 点$(-2,-4)$不在这个函数图象上.
(3)
∵ 当$y=4$时,$\frac{1}{2}x^2=4$，
∴ $x=\pm2\sqrt{2}$.
∴ 当$y=4$时,对应的函数图象上的点的坐标为$(2\sqrt{2},4)$和$(-2\sqrt{2},4)$.
解析
【分析】
(1) 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴，因此可利用轴对称的性质，将已知的y轴右侧图象上的点关于y轴对称描点，再平滑连接即可画出左侧的另一半图象。
(2) 判断点是否在函数图象上的方法是：将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
(3) 已知函数值y求对应的x值，只需将y的值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可，注意二次方程的解通常有两个，对应图象上两个点。
【解析】
(1) 根据二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，在网格中描出右侧点的对称点，平滑连接得到完整图象。
(2) 将$x=-2$代入函数解析式$y=\frac{1}{2}x^2$，得：
$y=\frac{1}{2}× (-2)^2=\frac{1}{2}×4=2$
计算得到的函数值为2，与点$(-2,-4)$的纵坐标$-4$不相等，因此点不在该函数图象上。
(3) 令$y=4$，代入解析式得：
$\frac{1}{2}x^2=4$
两边同乘2得$x^2=8$，开平方得$x=\pm2\sqrt{2}$，因此y=4时对应图象上的两个点。
【答案】
(1)
(2)不在.理由如下：
∵ 当$x=-2$时,$y=2$，
∴ 点$(-2,-4)$不在这个函数图象上.
(3)
∵ 当$y=4$时,$\frac{1}{2}x^2=4$，
∴ $x=\pm2\sqrt{2}$.
∴ 当$y=4$时,对应的函数图象上的点的坐标为$(2\sqrt{2},4)$和$(-2\sqrt{2},4)$.
【知识点】
二次函数图象对称性；函数图象上点的特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重考察二次函数$y=ax^2$的基础性质、点与函数图象的判断方法，以及代入求值解方程的能力，掌握二次函数对称性和点在函数图象上的判定规则是解题关键。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象是抛物线，对称轴为y轴，因此可利用轴对称的性质，将已知的y轴右侧图象上的点关于y轴对称描点，再平滑连接即可画出左侧的另一半图象。
(2) 判断点是否在函数图象上的方法是：将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
(3) 已知函数值y求对应的x值，只需将y的值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可，注意二次方程的解通常有两个，对应图象上两个点。
【解析】
(1) 根据二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，在网格中描出右侧点的对称点，平滑连接得到完整图象。
(2) 将$x=-2$代入函数解析式$y=\frac{1}{2}x^2$，得：
$y=\frac{1}{2}× (-2)^2=\frac{1}{2}×4=2$
计算得到的函数值为2，与点$(-2,-4)$的纵坐标$-4$不相等，因此点不在该函数图象上。
(3) 令$y=4$，代入解析式得：
$\frac{1}{2}x^2=4$
两边同乘2得$x^2=8$，开平方得$x=\pm2\sqrt{2}$，因此y=4时对应图象上的两个点。
【答案】
(1)
(2)不在.理由如下：
∵ 当$x=-2$时,$y=2$，
∴ 点$(-2,-4)$不在这个函数图象上.
(3)
∵ 当$y=4$时,$\frac{1}{2}x^2=4$，
∴ $x=\pm2\sqrt{2}$.
∴ 当$y=4$时,对应的函数图象上的点的坐标为$(2\sqrt{2},4)$和$(-2\sqrt{2},4)$.
【知识点】
二次函数图象对称性；函数图象上点的特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重考察二次函数$y=ax^2$的基础性质、点与函数图象的判断方法，以及代入求值解方程的能力，掌握二次函数对称性和点在函数图象上的判定规则是解题关键。
【难度系数】
0.8
