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5. 下列说法中正确的是________.(填序号)
①在函数$y=-x^2$中,当$x=0$时,$y$有最大值0；
②在函数$y=2x^2$中,当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大；
③在抛物线$y=2x^2,y=-x^2,y=-\dfrac{1}{2}x^2$中,抛物线$y=2x^2$的开口最小,抛物线$y=-x^2$的开口最大；
④不论$a$是正数还是负数,抛物线$y=ax^2$的顶点都是坐标原点.
①在函数$y=-x^2$中,当$x=0$时,$y$有最大值0；
②在函数$y=2x^2$中,当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大；
③在抛物线$y=2x^2,y=-x^2,y=-\dfrac{1}{2}x^2$中,抛物线$y=2x^2$的开口最小,抛物线$y=-x^2$的开口最大；
④不论$a$是正数还是负数,抛物线$y=ax^2$的顶点都是坐标原点.
答案
5. ①②④
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时需逐个分析每个说法，结合二次函数的开口方向、增减性、最值、顶点坐标、开口大小与$a$的关系逐一判断即可：首先明确相关性质：1.顶点坐标：$y=ax^2$的顶点恒为坐标原点；2.最值与开口方向：$a＞0$时开口向上，顶点为最小值点，$a＜0$时开口向下，顶点为最大值点；3.增减性：$a＞0$时，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小；$a＜0$时相反；4.开口大小：$|a|$越大，抛物线开口越小，$|a|$越小，开口越大。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
①对于$y=-x^2$，$a=-1＜0$，开口向下，顶点为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值0，该说法正确；
②对于$y=2x^2$，$a=2＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，该说法正确；
③三条抛物线的$|a|$分别为$2$、$1$、$\frac{1}{2}$，根据$|a|$越大开口越小，可知$y=2x^2$开口最小，$y=-\frac{1}{2}x^2$开口最大，因此该说法错误；
④不论$a$为正数还是负数，抛物线$y=ax^2$的顶点坐标都是$(0,0)$，即坐标原点，该说法正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数$y=ax^2$的各项性质的熟记，易错点是容易混淆开口大小与$|a|$的对应关系，只要牢固掌握基础性质就能准确判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时需逐个分析每个说法，结合二次函数的开口方向、增减性、最值、顶点坐标、开口大小与$a$的关系逐一判断即可：首先明确相关性质：1.顶点坐标：$y=ax^2$的顶点恒为坐标原点；2.最值与开口方向：$a＞0$时开口向上，顶点为最小值点，$a＜0$时开口向下，顶点为最大值点；3.增减性：$a＞0$时，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小；$a＜0$时相反；4.开口大小：$|a|$越大，抛物线开口越小，$|a|$越小，开口越大。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
①对于$y=-x^2$，$a=-1＜0$，开口向下，顶点为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值0，该说法正确；
②对于$y=2x^2$，$a=2＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，该说法正确；
③三条抛物线的$|a|$分别为$2$、$1$、$\frac{1}{2}$，根据$|a|$越大开口越小，可知$y=2x^2$开口最小，$y=-\frac{1}{2}x^2$开口最大，因此该说法错误；
④不论$a$为正数还是负数，抛物线$y=ax^2$的顶点坐标都是$(0,0)$，即坐标原点，该说法正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数$y=ax^2$的各项性质的熟记，易错点是容易混淆开口大小与$|a|$的对应关系，只要牢固掌握基础性质就能准确判断。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a＜0$，二次函数$y=-ax^2$的图象上有三个点$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$，则有（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
6. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据已知条件$a＜0$，判断二次函数$y=-ax^2$的二次项系数符号，确定图象开口方向；第二步，明确$y=ax^2$类型的二次函数对称轴为y轴（$x=0$）；第三步，结合开口方向对应的函数值变化规律：开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，只需比较三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），即可得出y值的大小关系。也可以直接将三个点的横坐标代入函数表达式，结合$a＜0$的条件比较函数值大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，
∴二次函数$y=-ax^2$的图象开口向上，对称轴为y轴（$x=0$）。
对于开口向上的抛物线$y=ax^2$，横坐标的绝对值越大，对应的函数值越大。
三个点的横坐标绝对值分别为：$|-2|=2$，$|1|=1$，$|3|=3$。
∵$1＜2＜3$，
∴对应的函数值满足$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：代入计算比较
将三个点的横坐标代入函数表达式得：
$y_1=-a×(-2)^2=-4a$，$y_2=-a×1^2=-a$，$y_3=-a×3^2=-9a$。
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，
∴$-9a ＞ -4a ＞ -a$，即$y_3＞y_1＞y_2$，也就是$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质、绝对值的性质
【点评】
本题是二次函数$y=ax^2$性质的基础应用，既可以通过代入计算比较大小，也可以利用抛物线的对称性和增减性快速判断，熟练掌握二次函数图象性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先根据已知条件$a＜0$，判断二次函数$y=-ax^2$的二次项系数符号，确定图象开口方向；第二步，明确$y=ax^2$类型的二次函数对称轴为y轴（$x=0$）；第三步，结合开口方向对应的函数值变化规律：开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大，只需比较三个点横坐标的绝对值（即到y轴的距离），即可得出y值的大小关系。也可以直接将三个点的横坐标代入函数表达式，结合$a＜0$的条件比较函数值大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，
∴二次函数$y=-ax^2$的图象开口向上，对称轴为y轴（$x=0$）。
对于开口向上的抛物线$y=ax^2$，横坐标的绝对值越大，对应的函数值越大。
三个点的横坐标绝对值分别为：$|-2|=2$，$|1|=1$，$|3|=3$。
∵$1＜2＜3$，
∴对应的函数值满足$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：代入计算比较
将三个点的横坐标代入函数表达式得：
$y_1=-a×(-2)^2=-4a$，$y_2=-a×1^2=-a$，$y_3=-a×3^2=-9a$。
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，
∴$-9a ＞ -4a ＞ -a$，即$y_3＞y_1＞y_2$，也就是$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质、绝对值的性质
【点评】
本题是二次函数$y=ax^2$性质的基础应用，既可以通过代入计算比较大小，也可以利用抛物线的对称性和增减性快速判断，熟练掌握二次函数图象性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 已知$y=(k+2)x^{k^2 + k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(1) 求$k$的值。
(2) 如果$P(m,n)$是此二次函数的图象上一点，且$-2 ≤ m ≤ 1$，那么$n$的取值范围为
(1) 求$k$的值。
(2) 如果$P(m,n)$是此二次函数的图象上一点，且$-2 ≤ m ≤ 1$，那么$n$的取值范围为
$-4≤n≤0$
。答案
7. (1)由$y=(k+2)x^{k^2 + k -4}$是二次函数,且当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大,得$\begin{cases} k^2 + k -4=2, \\ k+2＜0. \end{cases}$
解得 $k=-3$.
(2)由(1)得 $y=-x^2$,其图象的对称轴为$y$轴，
∴ 当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大.
∴ 当$-2≤m＜0$时,$-4≤n＜0$；
当$0≤m≤1$时,$-1≤n≤0$.
∴ $-4≤n≤0$.
解得 $k=-3$.
(2)由(1)得 $y=-x^2$,其图象的对称轴为$y$轴，
∴ 当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大.
∴ 当$-2≤m＜0$时,$-4≤n＜0$；
当$0≤m≤1$时,$-1≤n≤0$.
∴ $-4≤n≤0$.
解析
【分析】
(1) 求k的值时，首先根据二次函数的定义，自变量x的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0，得到第一个方程；再结合“x＜0时y随x的增大而增大”的性质，可判断二次函数开口向下，即二次项系数小于0，联立方程和不等式即可筛选出符合条件的k值。
(2) 求出k后先确定二次函数的解析式，明确函数的开口方向、对称轴，再结合给定的m的取值范围，根据函数在不同区间的增减性，分别计算对应n的最大值和最小值，合并后得到n的取值范围。
【解析】
(1) 已知$y=(k+2)x^{k^2 + k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此需满足条件：
$\begin{cases} k^2 + k -4=2 \\ k+2＜0 \end{cases}$
解方程$k^2 +k -4=2$，整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
结合不等式$k+2＜0$，即$k＜-2$，可得$k=-3$。
(2) 将$k=-3$代入解析式，得二次函数为$y=-x^2$，其图象开口向下，对称轴为y轴。
根据函数性质：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大。
分区间讨论n的取值：
① 当$-2≤m＜0$时，函数单调递增，$m=-2$时$n=-4$，$m$趋近于0时$n$趋近于0，故$-4≤n＜0$；
② 当$0≤m≤1$时，函数单调递减，$m=0$时$n=0$，$m=1$时$n=-1$，故$-1≤n≤0$。
合并两个区间的结果，得$n$的取值范围为$-4≤n≤0$。
【答案】
(1) $k=-3$；(2) $-4≤n≤0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数定义和性质的综合应用，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，求解区间函数值范围时，需结合对称轴和增减性分析，避免直接代入端点计算导致的最值遗漏问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求k的值时，首先根据二次函数的定义，自变量x的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0，得到第一个方程；再结合“x＜0时y随x的增大而增大”的性质，可判断二次函数开口向下，即二次项系数小于0，联立方程和不等式即可筛选出符合条件的k值。
(2) 求出k后先确定二次函数的解析式，明确函数的开口方向、对称轴，再结合给定的m的取值范围，根据函数在不同区间的增减性，分别计算对应n的最大值和最小值，合并后得到n的取值范围。
【解析】
(1) 已知$y=(k+2)x^{k^2 + k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此需满足条件：
$\begin{cases} k^2 + k -4=2 \\ k+2＜0 \end{cases}$
解方程$k^2 +k -4=2$，整理得$k^2 +k -6=0$，因式分解得$(k+3)(k-2)=0$，解得$k=-3$或$k=2$。
结合不等式$k+2＜0$，即$k＜-2$，可得$k=-3$。
(2) 将$k=-3$代入解析式，得二次函数为$y=-x^2$，其图象开口向下，对称轴为y轴。
根据函数性质：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大。
分区间讨论n的取值：
① 当$-2≤m＜0$时，函数单调递增，$m=-2$时$n=-4$，$m$趋近于0时$n$趋近于0，故$-4≤n＜0$；
② 当$0≤m≤1$时，函数单调递减，$m=0$时$n=0$，$m=1$时$n=-1$，故$-1≤n≤0$。
合并两个区间的结果，得$n$的取值范围为$-4≤n≤0$。
【答案】
(1) $k=-3$；(2) $-4≤n≤0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数定义和性质的综合应用，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，求解区间函数值范围时，需结合对称轴和增减性分析，避免直接代入端点计算导致的最值遗漏问题。
【难度系数】
0.7
8. 已知$y=(k-1)x^{k^2-2}$是关于x的二次函数，且有最大值，则k=（
A.-2
B.2
C.1
D.-1
A
）A.-2
B.2
C.1
D.-1
答案
8. A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和性质分步推导：首先，二次函数要求自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此可列出关于k的方程和不等式，初步确定k的可能取值；其次，函数有最大值说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0，据此筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
∵ $y=(k-1)x^{k^2-2}$是关于x的二次函数
∴ 自变量x的次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - 2 = 2 \\k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解$k^2 - 2 = 2$得$k^2=4$，即$k=\pm2$；
$k-1≠0$即$k≠1$，因此k的可能取值为2或-2。
又
∵ 该二次函数有最大值，
∴ 抛物线开口向下，二次项系数小于0，即：
$k - 1 ＜ 0$，解得$k ＜ 1$。
结合k的可能取值，只有$k=-2$满足$k＜1$，因此$k=-2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数定义和性质的基础综合题，解题时需注意二次项系数不为0是二次函数的隐含前提，再结合函数的最值特征判断二次项系数的符号，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合二次函数的定义和性质分步推导：首先，二次函数要求自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此可列出关于k的方程和不等式，初步确定k的可能取值；其次，函数有最大值说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0，据此筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
∵ $y=(k-1)x^{k^2-2}$是关于x的二次函数
∴ 自变量x的次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - 2 = 2 \\k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解$k^2 - 2 = 2$得$k^2=4$，即$k=\pm2$；
$k-1≠0$即$k≠1$，因此k的可能取值为2或-2。
又
∵ 该二次函数有最大值，
∴ 抛物线开口向下，二次项系数小于0，即：
$k - 1 ＜ 0$，解得$k ＜ 1$。
结合k的可能取值，只有$k=-2$满足$k＜1$，因此$k=-2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数定义和性质的基础综合题，解题时需注意二次项系数不为0是二次函数的隐含前提，再结合函数的最值特征判断二次项系数的符号，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图,当$ab＞0$时,函数$y=ax^2$与函数$y=bx+a$的图象大致是 (
C
)答案
9. C
解析
【分析】
本题属于函数图象共存类问题，解题思路如下：首先根据已知条件ab＞0，可得出a和b同号的结论，即a、b要么同时为正，要么同时为负。接下来先通过二次函数y=ax²的开口方向判断a的符号，再推导得到b的符号，最后验证一次函数y=bx+a的斜率、与y轴交点是否符合b、a的符号特征，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
已知ab＞0，因此a与b符号相同，分两种情况讨论：
1. 当a＞0时，b＞0：
二次函数y=ax²的开口向上；
一次函数y=bx+a的斜率为正（图象从左到右上升），且与y轴交于正半轴（截距a＞0），不符合该特征的选项直接排除。
2. 当a＜0时，b＜0：
二次函数y=ax²的开口向下；
一次函数y=bx+a的斜率为负（图象从左到右下降），且与y轴交于负半轴（截距a＜0）。
逐一验证选项：只有选项C满足“二次函数开口向下，一次函数下降且与y轴交于负半轴”的特征，符合a＜0、b＜0的情况，其余选项均不符合两种情况的任意一种。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，不等式符号规律
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，核心考查参数与函数图象特征的对应关系，解题时要抓住“参数符号→图象特征”的对应逻辑，通过分类讨论或逐个验证选项的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题属于函数图象共存类问题，解题思路如下：首先根据已知条件ab＞0，可得出a和b同号的结论，即a、b要么同时为正，要么同时为负。接下来先通过二次函数y=ax²的开口方向判断a的符号，再推导得到b的符号，最后验证一次函数y=bx+a的斜率、与y轴交点是否符合b、a的符号特征，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
已知ab＞0，因此a与b符号相同，分两种情况讨论：
1. 当a＞0时，b＞0：
二次函数y=ax²的开口向上；
一次函数y=bx+a的斜率为正（图象从左到右上升），且与y轴交于正半轴（截距a＞0），不符合该特征的选项直接排除。
2. 当a＜0时，b＜0：
二次函数y=ax²的开口向下；
一次函数y=bx+a的斜率为负（图象从左到右下降），且与y轴交于负半轴（截距a＜0）。
逐一验证选项：只有选项C满足“二次函数开口向下，一次函数下降且与y轴交于负半轴”的特征，符合a＜0、b＜0的情况，其余选项均不符合两种情况的任意一种。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，不等式符号规律
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，核心考查参数与函数图象特征的对应关系，解题时要抓住“参数符号→图象特征”的对应逻辑，通过分类讨论或逐个验证选项的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 如图,若抛物线$y=ax^2$与四条直线$x=1,x=2,y=1,y=2$围成的正方形有公共点(包括边界及顶点),则$a$的取值范围为
.
.
答案
10. $\frac{1}{4}≤a≤2$
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=ax^2$（$a＞0$）的性质：$a$越大，抛物线开口越窄；$a$越小，抛物线开口越宽。四条直线围成的正方形顶点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,2)$，要使抛物线与正方形有公共点，只需找到两个临界状态：抛物线开口最窄（$a$最大）时刚好经过正方形的左上角顶点$(1,2)$，开口最宽（$a$最小）时刚好经过正方形的右下角顶点$(2,1)$，代入两点即可求出$a$的临界值，进而得到取值范围。
【解析】
四条直线$x=1,x=2,y=1,y=2$围成的正方形的四个顶点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,2)$。
由于抛物线$y=ax^2$与该正方形有公共点，且开口向上，因此：
1. 求$a$的最大值：当抛物线经过点$(1,2)$时，$a$取最大值，将$x=1,y=2$代入$y=ax^2$，得：
$2=a× 1^2$，解得$a=2$；
2. 求$a$的最小值：当抛物线经过点$(2,1)$时，$a$取最小值，将$x=2,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a× 2^2$，解得$a=\frac{1}{4}$；
因此$a$的取值范围是$\frac{1}{4} \le a \le 2$。
【答案】
$\frac{1}{4} \le a \le 2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数图象交点问题
【点评】
本题结合二次函数开口大小与$a$的关系考查取值范围的求解，解题的核心是找准抛物线与正方形有交点的两个临界位置，代入求值即可，属于二次函数性质的常规应用。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线$y=ax^2$（$a＞0$）的性质：$a$越大，抛物线开口越窄；$a$越小，抛物线开口越宽。四条直线围成的正方形顶点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,2)$，要使抛物线与正方形有公共点，只需找到两个临界状态：抛物线开口最窄（$a$最大）时刚好经过正方形的左上角顶点$(1,2)$，开口最宽（$a$最小）时刚好经过正方形的右下角顶点$(2,1)$，代入两点即可求出$a$的临界值，进而得到取值范围。
【解析】
四条直线$x=1,x=2,y=1,y=2$围成的正方形的四个顶点为$(1,1)$、$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,2)$。
由于抛物线$y=ax^2$与该正方形有公共点，且开口向上，因此：
1. 求$a$的最大值：当抛物线经过点$(1,2)$时，$a$取最大值，将$x=1,y=2$代入$y=ax^2$，得：
$2=a× 1^2$，解得$a=2$；
2. 求$a$的最小值：当抛物线经过点$(2,1)$时，$a$取最小值，将$x=2,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a× 2^2$，解得$a=\frac{1}{4}$；
因此$a$的取值范围是$\frac{1}{4} \le a \le 2$。
【答案】
$\frac{1}{4} \le a \le 2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数图象交点问题
【点评】
本题结合二次函数开口大小与$a$的关系考查取值范围的求解，解题的核心是找准抛物线与正方形有交点的两个临界位置，代入求值即可，属于二次函数性质的常规应用。
【难度系数】
0.7
11. 如图, 四边形ABCO是正方形, 顶点B在抛物线$y=ax^2(a＜0)$上, 若正方形ABCO的边长为$\sqrt{2}$, 且边OC与y轴的负半轴的夹角为$15°$, 则a的值是
$-\sqrt{3}$
.答案
11. $-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要确定二次函数$y=ax^2$中$a$的值，只需得到抛物线上任意一点的坐标代入解析式即可。已知点B在抛物线上，因此解题核心是求点B的坐标：首先利用正方形的性质计算对角线OB的长度，再结合已知夹角推导OB与坐标轴的夹角，通过三角函数求出B点坐标，最后代入解析式计算$a$的值。
【解析】
解：连接OB，
∵ 四边形ABCO是边长为$\sqrt{2}$的正方形，
∴ 对角线$OB=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，且正方形对角线平分内角，$∠ BOC=45°$。
∵ 边OC与y轴负半轴的夹角为$15°$，
∴ OB与y轴负半轴的夹角为$45°-15°=30°$，即OB与x轴负半轴的夹角为$90°-30°=60°$。
∵ 点B在第三象限，
∴ 点B的横坐标为$-OB·\cos60°=-2×\frac{1}{2}=-1$，纵坐标为$-OB·\sin60°=-2×\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$，即$B(-1,-\sqrt{3})$。
将$B(-1,-\sqrt{3})$代入$y=ax^2$，得：
$-\sqrt{3}=a×(-1)^2$，
解得$a=-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 正方形的性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题的关键是结合正方形性质和角度关系求出抛物线上点的坐标，再代入二次函数解析式求解，能较好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
要确定二次函数$y=ax^2$中$a$的值，只需得到抛物线上任意一点的坐标代入解析式即可。已知点B在抛物线上，因此解题核心是求点B的坐标：首先利用正方形的性质计算对角线OB的长度，再结合已知夹角推导OB与坐标轴的夹角，通过三角函数求出B点坐标，最后代入解析式计算$a$的值。
【解析】
解：连接OB，
∵ 四边形ABCO是边长为$\sqrt{2}$的正方形，
∴ 对角线$OB=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，且正方形对角线平分内角，$∠ BOC=45°$。
∵ 边OC与y轴负半轴的夹角为$15°$，
∴ OB与y轴负半轴的夹角为$45°-15°=30°$，即OB与x轴负半轴的夹角为$90°-30°=60°$。
∵ 点B在第三象限，
∴ 点B的横坐标为$-OB·\cos60°=-2×\frac{1}{2}=-1$，纵坐标为$-OB·\sin60°=-2×\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$，即$B(-1,-\sqrt{3})$。
将$B(-1,-\sqrt{3})$代入$y=ax^2$，得：
$-\sqrt{3}=a×(-1)^2$，
解得$a=-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 正方形的性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题的关键是结合正方形性质和角度关系求出抛物线上点的坐标，再代入二次函数解析式求解，能较好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，A,B,C,D四点在抛物线$y=ax^2$上，且$AB// CD// x$轴，与y轴的交点分别为E,F，已知$AB=20$，$EF=3$，设$D(5,m)$。
(1)用含m的式子表示点B的坐标。
(2)求a的值。
(1)用含m的式子表示点B的坐标。
(2)求a的值。
答案
12. (1)
∵ 抛物线$y=ax^2$关于$y$轴对称，$AB=20$，
∴ $BE=10$.
∵ $EF=3,D(5,m)$，
∴ $B(10,m-3)$.
(2)
∵ $D(5,m),B(10,m-3)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴ $\begin{cases} 25a=m, \\ 100a=m-3. \end{cases}$
解得 $a=-\frac{1}{25}$.
∵ 抛物线$y=ax^2$关于$y$轴对称，$AB=20$，
∴ $BE=10$.
∵ $EF=3,D(5,m)$，
∴ $B(10,m-3)$.
(2)
∵ $D(5,m),B(10,m-3)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴ $\begin{cases} 25a=m, \\ 100a=m-3. \end{cases}$
解得 $a=-\frac{1}{25}$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其对称轴为y轴，平行于x轴的弦的两端点关于y轴对称。已知$AB=20$，可推出B点的横坐标；再结合$EF$的长度和D点的纵坐标，就能得到B点的纵坐标，进而求出B点坐标。
(2) 抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式，将D、B两点坐标分别代入$y=ax^2$，得到关于a、m的二元一次方程组，消去m即可求出a的值。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2$关于y轴对称，且$AB// x$轴，
∴ A、B两点关于y轴对称，
∵ $AB=20$，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=10$，即点B的横坐标为10。
∵ $CD// x$轴，$D(5,m)$，$EF=3$，且AB在CD的下方，
∴ 点B的纵坐标为$m-3$，
∴ 点B的坐标为$(10,m-3)$。
(2)
∵ $D(5,m)$、$B(10,m-3)$都在抛物线$y=ax^2$上，
∴ 将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases} 25a=m \\ 100a=m-3 \end{cases}$
把$m=25a$代入第二个式子，得$100a=25a-3$，
移项计算得$75a=-3$，解得$a=-\frac{1}{25}$。
【答案】
(1) $B(10,m-3)$；(2) $a=-\frac{1}{25}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象点的特征，解二元一次方程组
【点评】
本题考察二次函数$y=ax^2$的基础性质，结合对称性求点坐标，再通过代入法求参数，核心是掌握二次函数的对称性以及图象上点的坐标与解析式的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：其对称轴为y轴，平行于x轴的弦的两端点关于y轴对称。已知$AB=20$，可推出B点的横坐标；再结合$EF$的长度和D点的纵坐标，就能得到B点的纵坐标，进而求出B点坐标。
(2) 抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式，将D、B两点坐标分别代入$y=ax^2$，得到关于a、m的二元一次方程组，消去m即可求出a的值。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2$关于y轴对称，且$AB// x$轴，
∴ A、B两点关于y轴对称，
∵ $AB=20$，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=10$，即点B的横坐标为10。
∵ $CD// x$轴，$D(5,m)$，$EF=3$，且AB在CD的下方，
∴ 点B的纵坐标为$m-3$，
∴ 点B的坐标为$(10,m-3)$。
(2)
∵ $D(5,m)$、$B(10,m-3)$都在抛物线$y=ax^2$上，
∴ 将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases} 25a=m \\ 100a=m-3 \end{cases}$
把$m=25a$代入第二个式子，得$100a=25a-3$，
移项计算得$75a=-3$，解得$a=-\frac{1}{25}$。
【答案】
(1) $B(10,m-3)$；(2) $a=-\frac{1}{25}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象点的特征，解二元一次方程组
【点评】
本题考察二次函数$y=ax^2$的基础性质，结合对称性求点坐标，再通过代入法求参数，核心是掌握二次函数的对称性以及图象上点的坐标与解析式的对应关系。
【难度系数】
0.8
