13. 在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m, -2m+3),过点A作y轴的平行线交二次函数$y=x^2$的图象于点B.

(1)点B的纵坐标为(用含m的代数式表示).
(2)当点A落在二次函数$y=x^2$的图象上时,求m的值.
(3)当$m＜0$时,若$AB=2$,求m的值.

13. (1)$m^2$ 解析:由题意,知点 B 的横坐标是 $m$,
∴ 将 $x=m$ 代入 $y=x^2$,得 $y=m^2$.
∴ 点 B 的纵坐标为 $m^2$.
(2)把 $A(m,-2m+3)$ 代入 $y=x^2$,得 $-2m+3=m^2$.
解得 $m_1=-3,m_2=1$.
(3)由题意,得 $|-2m+3-m^2|=2$.
①$-2m+3-m^2=2$,
解得 $m_1=-\sqrt{2}-1,m_2=\sqrt{2}-1$.
∵ $m＜0$,
∴ $m=-\sqrt{2}-1$,符合题意.
②$-2m+3-m^2=-2$,
解得 $m_1=-\sqrt{6}-1,m_2=\sqrt{6}-1$.
∵ $m＜0$,
∴ $m=-\sqrt{6}-1$,符合题意.
综上所述,$m$ 的值为$-\sqrt{2}-1$ 或$-\sqrt{6}-1$.

【分析】
(1) 平行于y轴的直线上所有点横坐标相同，因此点B的横坐标和点A一致为m，将x=m代入二次函数$y=x^2$即可求出点B的纵坐标；
(2) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点A坐标代入$y=x^2$得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的值；
(3) 平行于y轴的线段长度等于线段两端点纵坐标差的绝对值，据此列出含绝对值的方程，分两种情况去掉绝对值求解，再结合$m＜0$的条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
(1) 由题意知AB平行于y轴，点A的横坐标为m，因此点B的横坐标也为m，将$x=m$代入$y=x^2$，得$y=m^2$，即点B的纵坐标为$m^2$。
(2) 当点A落在二次函数$y=x^2$的图象上时，将$A(m,-2m+3)$代入解析式得：
$m^2=-2m+3$
整理得$m^2+2m-3=0$，因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，
解得$m_1=-3$，$m_2=1$。
(3) 由题意得AB的长度为两点纵坐标差的绝对值，即：
$|-2m+3 - m^2|=2$
分两种情况讨论：
① 当$-2m+3 - m^2=2$时，整理得$m^2+2m-1=0$，由求根公式得$m=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，
$\because m＜0$，$\therefore$舍去$m=\sqrt{2}-1$，得$m=-\sqrt{2}-1$；
② 当$-2m+3 - m^2=-2$时，整理得$m^2+2m-5=0$，由求根公式得$m=\frac{-2\pm\sqrt{4+20}}{2}=-1\pm\sqrt{6}$，
$\because m＜0$，$\therefore$舍去$m=\sqrt{6}-1$，得$m=-\sqrt{6}-1$。
综上，符合条件的m的值为$-\sqrt{2}-1$或$-\sqrt{6}-1$。
【答案】
(1) $m^2$
(2) $m$的值为$-3$或$1$
(3) $m$的值为$-\sqrt{2}-1$或$-\sqrt{6}-1$
【知识点】
二次函数点的坐标特征，平行于坐标轴的线段计算，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是掌握函数图象上点的坐标和解析式的对应关系，第三问需要注意绝对值的分类讨论，以及根据限定条件对根进行取舍，很好地考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7