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例1 如图,若抛物线$y=ax^2$与直线$y=x+1$交于点$A(1,b)$和点$B(c,d)$,点$O$为原点.
(1)求$a,b$的值.
(2)求$△ AOB$的面积.
解:(1)∵ 点$A(1,b)$在直线$y=x+1$上,
∴ $b=2$.∴ 点$A$的坐标为$(1,2)$.
∴ 把点$A(1,2)$代入$y=ax^2$,得$a=2$.
(2)由(1),得$\begin{cases} y=2x^2, \\ y=x+1. \end{cases}$
解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$.
∴ $A(1,2),B(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
∵ 直线$y=x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$,
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×1×1=\frac{3}{4}$.
方法点拨 本题考查二次函数的解析式以及二次函数图象与一次函数图象的交点情况,解决办法是代入求解或联立方程组求解.
(1)求$a,b$的值.
(2)求$△ AOB$的面积.
解:(1)∵ 点$A(1,b)$在直线$y=x+1$上,
∴ $b=2$.∴ 点$A$的坐标为$(1,2)$.
∴ 把点$A(1,2)$代入$y=ax^2$,得$a=2$.
(2)由(1),得$\begin{cases} y=2x^2, \\ y=x+1. \end{cases}$
解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$.
∴ $A(1,2),B(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
∵ 直线$y=x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$,
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×1×1=\frac{3}{4}$.
方法点拨 本题考查二次函数的解析式以及二次函数图象与一次函数图象的交点情况,解决办法是代入求解或联立方程组求解.
答案
解：(1)
∵ 点$A(1,b)$在直线$y=x+1$上，
∴ $b=1+1=2$，
∴ 点$A$的坐标为$(1,2)$。
把点$A(1,2)$代入$y=ax^2$，得$2=a·1^2$，
解得$a=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得
$\begin{cases} y=2x^2 \\ y=x+1 \end{cases}$
消去$y$，得$2x^2=x+1$，
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x+1$，得$y=\frac{1}{2}$，
∴ 点$B$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
令直线$y=x+1$中$x=0$，得$y=1$，即直线$y=x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × 1 × 1 + \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
∵ 点$A(1,b)$在直线$y=x+1$上，
∴ $b=1+1=2$，
∴ 点$A$的坐标为$(1,2)$。
把点$A(1,2)$代入$y=ax^2$，得$2=a·1^2$，
解得$a=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得
$\begin{cases} y=2x^2 \\ y=x+1 \end{cases}$
消去$y$，得$2x^2=x+1$，
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x+1$，得$y=\frac{1}{2}$，
∴ 点$B$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
令直线$y=x+1$中$x=0$，得$y=1$，即直线$y=x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × 1 × 1 + \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 求a、b的值时，依据“点在函数图象上，则点的坐标满足该函数解析式”的性质，先将点A的横坐标代入直线解析式求出b，得到点A的完整坐标，再将点A坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
(2) 求△AOB的面积时，首先联立抛物线与直线的解析式，解方程组得到交点B的坐标；由于直接计算△AOB的底和高较为复杂，可找到直线与y轴的交点，将△AOB拆分为两个同底的小三角形，两个小三角形的底为直线与y轴交点到原点的距离，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△AOB的总面积。
【解析】
(1)
∵ 点$A(1,b)$在直线$y=x+1$上，
∴ $b=1+1=2$，
∴ 点$A$的坐标为$(1,2)$。
把点$A(1,2)$代入$y=ax^2$，得$2=a·1^2$，
解得$a=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得
$\begin{cases} y=2x^2 \\ y=x+1 \end{cases}$
消去$y$，得$2x^2=x+1$，
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x+1$，得$y=\frac{1}{2}$，
∴ 点$B$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
令直线$y=x+1$中$x=0$，得$y=1$，即直线$y=x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × 1 × 1 + \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=2$；
(2) $△ AOB$的面积为$\frac{3}{4}$。
【知识点】
函数点坐标性质、待定系数法、割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了函数交点的计算和不规则图形面积的求解技巧，解题关键是灵活运用点坐标与函数解析式的对应关系，用割补法可简化面积计算过程。
【难度系数】
0.75
(1) 求a、b的值时，依据“点在函数图象上，则点的坐标满足该函数解析式”的性质，先将点A的横坐标代入直线解析式求出b，得到点A的完整坐标，再将点A坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
(2) 求△AOB的面积时，首先联立抛物线与直线的解析式，解方程组得到交点B的坐标；由于直接计算△AOB的底和高较为复杂，可找到直线与y轴的交点，将△AOB拆分为两个同底的小三角形，两个小三角形的底为直线与y轴交点到原点的距离，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积再求和，即可得到△AOB的总面积。
【解析】
(1)
∵ 点$A(1,b)$在直线$y=x+1$上，
∴ $b=1+1=2$，
∴ 点$A$的坐标为$(1,2)$。
把点$A(1,2)$代入$y=ax^2$，得$2=a·1^2$，
解得$a=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得
$\begin{cases} y=2x^2 \\ y=x+1 \end{cases}$
消去$y$，得$2x^2=x+1$，
解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=1$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x+1$，得$y=\frac{1}{2}$，
∴ 点$B$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
令直线$y=x+1$中$x=0$，得$y=1$，即直线$y=x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × 1 × 1 + \frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=2$；
(2) $△ AOB$的面积为$\frac{3}{4}$。
【知识点】
函数点坐标性质、待定系数法、割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了函数交点的计算和不规则图形面积的求解技巧，解题关键是灵活运用点坐标与函数解析式的对应关系，用割补法可简化面积计算过程。
【难度系数】
0.75
例2 把图中图象的序号,填在对应函数解析式后面:
(1)函数$y=3x^2$的图象是
(2)函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象是
(3)函数$y=-x^2$的图象是
(4)函数$y=-\frac{3}{4}x^2$的图象是
答案:③ ① ④ ②
方法点拨 本题考查二次函数$y=ax^2$中$a$的正负、$|a|$的大小.当$a＞0$时,抛物线开口向上,当$a＜0$时,抛物线开口向下;$|a|$越大,抛物线开口越小,$|a|$越小,抛物线开口越大.
(1)函数$y=3x^2$的图象是
③
.(2)函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象是
①
.(3)函数$y=-x^2$的图象是
④
.(4)函数$y=-\frac{3}{4}x^2$的图象是
②
.答案:③ ① ④ ②
方法点拨 本题考查二次函数$y=ax^2$中$a$的正负、$|a|$的大小.当$a＞0$时,抛物线开口向上,当$a＜0$时,抛物线开口向下;$|a|$越大,抛物线开口越小,$|a|$越小,抛物线开口越大.
答案
答案:③ ① ④ ②
解析
【分析】
解题时可根据二次函数$y=ax^2$的性质分两步判断：第一步先看$a$的正负，确定抛物线的开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，先把函数分为开口向上、向下两类，对应到图中上下半部分的图象；第二步比较$|a|$的大小，$|a|$越大抛物线开口越窄，$|a|$越小开口越宽，对同一开口方向的函数逐一匹配对应图象即可。
【解析】
根据二次函数$y=ax^2$的性质：
1. 开口方向：$a＞0$时，抛物线开口向上；$a＜0$时，抛物线开口向下。
2. 开口大小：$|a|$越大，抛物线开口越窄；$|a|$越小，抛物线开口越宽。
对于$y=3x^2$和$y=\frac{1}{3}x^2$：$a$均为正数，开口向上，对应图象①、③。
因为$|3|＞\left|\frac{1}{3}\right|$，所以$y=3x^2$开口更窄，对应图象③；$y=\frac{1}{3}x^2$开口更宽，对应图象①。
对于$y=-x^2$和$y=-\frac{3}{4}x^2$：$a$均为负数，开口向下，对应图象②、④。
因为$|-1|＞\left|-\frac{3}{4}\right|$，所以$y=-x^2$开口更窄，对应图象④；$y=-\frac{3}{4}x^2$开口更宽，对应图象②。
【答案】
③ ① ④ ②
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；a与开口方向的关系；|a|与开口大小的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握$y=ax^2$中$a$的取值对图象的影响，熟练掌握相关性质即可快速完成图象与解析式的匹配。
【难度系数】
0.8
解题时可根据二次函数$y=ax^2$的性质分两步判断：第一步先看$a$的正负，确定抛物线的开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，先把函数分为开口向上、向下两类，对应到图中上下半部分的图象；第二步比较$|a|$的大小，$|a|$越大抛物线开口越窄，$|a|$越小开口越宽，对同一开口方向的函数逐一匹配对应图象即可。
【解析】
根据二次函数$y=ax^2$的性质：
1. 开口方向：$a＞0$时，抛物线开口向上；$a＜0$时，抛物线开口向下。
2. 开口大小：$|a|$越大，抛物线开口越窄；$|a|$越小，抛物线开口越宽。
对于$y=3x^2$和$y=\frac{1}{3}x^2$：$a$均为正数，开口向上，对应图象①、③。
因为$|3|＞\left|\frac{1}{3}\right|$，所以$y=3x^2$开口更窄，对应图象③；$y=\frac{1}{3}x^2$开口更宽，对应图象①。
对于$y=-x^2$和$y=-\frac{3}{4}x^2$：$a$均为负数，开口向下，对应图象②、④。
因为$|-1|＞\left|-\frac{3}{4}\right|$，所以$y=-x^2$开口更窄，对应图象④；$y=-\frac{3}{4}x^2$开口更宽，对应图象②。
【答案】
③ ① ④ ②
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；a与开口方向的关系；|a|与开口大小的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握$y=ax^2$中$a$的取值对图象的影响，熟练掌握相关性质即可快速完成图象与解析式的匹配。
【难度系数】
0.8
