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16.如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是
(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为
(3)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标.
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是
4
.(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为
(-4,3)
.(3)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标.
答案
16.解:(1)4 $△ ABC$图略. (2)$(-4,3)$ (3)$\because S_{△ ABP}=\frac{1}{2}BP· OA=4$,$\therefore \frac{1}{2}BP×1=4$,解得$BP=8$. $\therefore$点$P$的横坐标为$2+8=10$或$2-8=-6$. $\therefore$点$P$的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$.
解析
【分析】
(1)求网格中△ABC的面积，可采用割补法：先构造一个包含△ABC的矩形，用矩形面积减去周围3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
(2)关于y轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接套用规律即可得到点D的坐标；
(3)P在x轴上，△ABP中BP边在x轴上，对应的高为点A到x轴的距离（即OA的长度1），先根据三角形面积公式求出BP的长度，再分点P在点B的左侧、右侧两种情况计算P的横坐标，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 画出△ABC略，利用割补法计算面积：
取包围△ABC的矩形，x范围0~4，y范围0~3，矩形面积$=4×3=12$；
周围三个直角三角形的面积分别为：
① 以OA、OB为直角边的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$
② 以$(2,0)$、$(4,0)$、$(4,3)$为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$
③ 以$(0,1)$、$(0,3)$、$(4,3)$为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$
则$S_{△ABC}=12 - 1 - 3 - 4=4$。
(2) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，点C坐标为$(4,3)$，因此点D的坐标为$(-4,3)$。
(3) 设点P的坐标为$(x,0)$，A点坐标为$(0,1)$，则△ABP中BP边上的高为$OA=1$。
由三角形面积公式得：$S_{△ABP}=\frac{1}{2}·BP·OA=4$
代入$OA=1$得：$\frac{1}{2}×BP×1=4$，解得$BP=8$。
已知B点坐标为$(2,0)$：
若P在B的右侧，则$x=2+8=10$，即$P(10,0)$；
若P在B的左侧，则$x=2-8=-6$，即$P(-6,0)$。
综上，点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{(-4,3)}$；(3) $\boldsymbol{(10,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$
【知识点】
割补法求面积；关于y轴对称的点的坐标规律；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，解题时要注意第三问需分情况讨论点P的位置，避免漏解；割补法是计算网格中不规则图形面积的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)求网格中△ABC的面积，可采用割补法：先构造一个包含△ABC的矩形，用矩形面积减去周围3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
(2)关于y轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变，横坐标互为相反数，直接套用规律即可得到点D的坐标；
(3)P在x轴上，△ABP中BP边在x轴上，对应的高为点A到x轴的距离（即OA的长度1），先根据三角形面积公式求出BP的长度，再分点P在点B的左侧、右侧两种情况计算P的横坐标，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 画出△ABC略，利用割补法计算面积：
取包围△ABC的矩形，x范围0~4，y范围0~3，矩形面积$=4×3=12$；
周围三个直角三角形的面积分别为：
① 以OA、OB为直角边的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$
② 以$(2,0)$、$(4,0)$、$(4,3)$为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$
③ 以$(0,1)$、$(0,3)$、$(4,3)$为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$
则$S_{△ABC}=12 - 1 - 3 - 4=4$。
(2) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，点C坐标为$(4,3)$，因此点D的坐标为$(-4,3)$。
(3) 设点P的坐标为$(x,0)$，A点坐标为$(0,1)$，则△ABP中BP边上的高为$OA=1$。
由三角形面积公式得：$S_{△ABP}=\frac{1}{2}·BP·OA=4$
代入$OA=1$得：$\frac{1}{2}×BP×1=4$，解得$BP=8$。
已知B点坐标为$(2,0)$：
若P在B的右侧，则$x=2+8=10$，即$P(10,0)$；
若P在B的左侧，则$x=2-8=-6$，即$P(-6,0)$。
综上，点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{(-4,3)}$；(3) $\boldsymbol{(10,0)}$或$\boldsymbol{(-6,0)}$
【知识点】
割补法求面积；关于y轴对称的点的坐标规律；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，解题时要注意第三问需分情况讨论点P的位置，避免漏解；割补法是计算网格中不规则图形面积的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
17. NEW 新考向·综合与实践问题情境：
在平面直角坐标系$xOy$中有不重合的两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，小明在学习中发现，若$x_1=x_2$，则$AB// y$轴，且线段$AB$的长为$|y_1-y_2|$；若$y_1=y_2$，则$AB// x$轴，且线段$AB$的长为$|x_1-x_2|$。
【应用】
(1)若点$A(-1,1)$，$B(2,1)$，则$AB// x$轴，$AB$的长为
(2)若点$C(1,0)$，$CD// y$轴，且$CD=2$，则点$D$的坐标为
【拓展】
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$之间的折线距离为$d(M,N)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$.例如：图1中，点$M(-1,1)$与点$N(1,-2)$之间的折线距离为$d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5$.
解决下列问题：
(1)如图2，已知点$E(2,0)$，若$F(-1,-2)$，则$d(E,F)=$
(2)如图2，已知点$E(2,0)$，$H(1,t)$，若$d(E,H)=3$，则$t=$
(3)如图3，已知点$P(3,3)$，若点$Q$在$x$轴上，且$△ OPQ$的面积为3，则$d(P,Q)=$
在平面直角坐标系$xOy$中有不重合的两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，小明在学习中发现，若$x_1=x_2$，则$AB// y$轴，且线段$AB$的长为$|y_1-y_2|$；若$y_1=y_2$，则$AB// x$轴，且线段$AB$的长为$|x_1-x_2|$。
【应用】
(1)若点$A(-1,1)$，$B(2,1)$，则$AB// x$轴，$AB$的长为
3
.(2)若点$C(1,0)$，$CD// y$轴，且$CD=2$，则点$D$的坐标为
(1,2)或(1,-2)
.【拓展】
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$之间的折线距离为$d(M,N)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$.例如：图1中，点$M(-1,1)$与点$N(1,-2)$之间的折线距离为$d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5$.
解决下列问题：
(1)如图2，已知点$E(2,0)$，若$F(-1,-2)$，则$d(E,F)=$
5
.(2)如图2，已知点$E(2,0)$，$H(1,t)$，若$d(E,H)=3$，则$t=$
2或-2
.(3)如图3，已知点$P(3,3)$，若点$Q$在$x$轴上，且$△ OPQ$的面积为3，则$d(P,Q)=$
4或8
.答案
17.【应用】(1)3 (2)$(1,2)$或$(1,-2)$ 【拓展】(1)5 (2)2或$-2$ (3)4或8
解析
【分析】
解题时先明确题目给出的结论和新定义规则：①平行于x轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值，平行于y轴的线段长度为两点纵坐标差的绝对值；②两点折线距离为横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和。
应用(1)：直接代入平行x轴线段长度公式计算即可；
应用(2)：CD平行y轴说明C、D横坐标相同，结合线段长度列绝对值方程求D的纵坐标，注意分类讨论正负两种情况；
拓展(1)：直接代入折线距离公式计算；
拓展(2)：代入折线距离公式得到关于t的绝对值方程，解方程即可；
拓展(3)：先设Q的坐标为(x,0)，利用三角形面积公式求出x的取值，再代入折线距离公式分别计算两种情况的结果。
【解析】
【应用】
(1) 已知点$A(-1,1)$，$B(2,1)$，$AB// x$轴，根据规则线段$AB$的长为$|x_1-x_2|=|-1-2|=3$。
(2) 因为$CD// y$轴，所以点$C$和点$D$横坐标相同，均为1，设$D(1,y)$。由$CD=2$得$|0-y|=2$，解得$y=2$或$y=-2$，即点$D$的坐标为$(1,2)$或$(1,-2)$。
【拓展】
(1) 已知$E(2,0)$，$F(-1,-2)$，代入折线距离公式：
$d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=3+2=5$。
(2) 已知$E(2,0)$，$H(1,t)$，代入折线距离公式得：
$d(E,H)=|2-1|+|0-t|=1+|t|=3$，解得$|t|=2$，即$t=2$或$t=-2$。
(3) 设点$Q$坐标为$(x,0)$，$△ OPQ$的底为$OQ=|x|$，高为点$P$的纵坐标3，由面积公式得：
$\frac{1}{2}×|x|×3=3$，解得$|x|=2$，即$x=2$或$x=-2$。
①当$x=2$时，$Q(2,0)$，$d(P,Q)=|3-2|+|3-0|=1+3=4$；
②当$x=-2$时，$Q(-2,0)$，$d(P,Q)=|3-(-2)|+|3-0|=5+3=8$。
故$d(P,Q)$为4或8。
【答案】
【应用】(1)$3$ (2)$(1,2)$或$(1,-2)$ 【拓展】(1)$5$ (2)$2$或$-2$ (3)$4$或$8$
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，新定义运算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题目给出的线段长度计算规则和折线距离的定义，求解时注意绝对值运算需要分类讨论正负情况，避免漏解，同时结合三角形面积公式考查了坐标系内图形面积的计算，综合性适中。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目给出的结论和新定义规则：①平行于x轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值，平行于y轴的线段长度为两点纵坐标差的绝对值；②两点折线距离为横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和。
应用(1)：直接代入平行x轴线段长度公式计算即可；
应用(2)：CD平行y轴说明C、D横坐标相同，结合线段长度列绝对值方程求D的纵坐标，注意分类讨论正负两种情况；
拓展(1)：直接代入折线距离公式计算；
拓展(2)：代入折线距离公式得到关于t的绝对值方程，解方程即可；
拓展(3)：先设Q的坐标为(x,0)，利用三角形面积公式求出x的取值，再代入折线距离公式分别计算两种情况的结果。
【解析】
【应用】
(1) 已知点$A(-1,1)$，$B(2,1)$，$AB// x$轴，根据规则线段$AB$的长为$|x_1-x_2|=|-1-2|=3$。
(2) 因为$CD// y$轴，所以点$C$和点$D$横坐标相同，均为1，设$D(1,y)$。由$CD=2$得$|0-y|=2$，解得$y=2$或$y=-2$，即点$D$的坐标为$(1,2)$或$(1,-2)$。
【拓展】
(1) 已知$E(2,0)$，$F(-1,-2)$，代入折线距离公式：
$d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=3+2=5$。
(2) 已知$E(2,0)$，$H(1,t)$，代入折线距离公式得：
$d(E,H)=|2-1|+|0-t|=1+|t|=3$，解得$|t|=2$，即$t=2$或$t=-2$。
(3) 设点$Q$坐标为$(x,0)$，$△ OPQ$的底为$OQ=|x|$，高为点$P$的纵坐标3，由面积公式得：
$\frac{1}{2}×|x|×3=3$，解得$|x|=2$，即$x=2$或$x=-2$。
①当$x=2$时，$Q(2,0)$，$d(P,Q)=|3-2|+|3-0|=1+3=4$；
②当$x=-2$时，$Q(-2,0)$，$d(P,Q)=|3-(-2)|+|3-0|=5+3=8$。
故$d(P,Q)$为4或8。
【答案】
【应用】(1)$3$ (2)$(1,2)$或$(1,-2)$ 【拓展】(1)$5$ (2)$2$或$-2$ (3)$4$或$8$
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，新定义运算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题目给出的线段长度计算规则和折线距离的定义，求解时注意绝对值运算需要分类讨论正负情况，避免漏解，同时结合三角形面积公式考查了坐标系内图形面积的计算，综合性适中。
【难度系数】
0.7
